浙江专用2020版高考数学一轮总复习专题8立体几何8.5空间向量及其应用课件.ppt

高考数学（浙江专用）,8.5空间向量及其应用,考点一空间角,考点清单,1.两条异面直线所成的角的范围是.当=时,这两条异面直线互相垂直.2.斜线AO与它在平面内的射影所成的角叫做直线和平面所成的角(或夹角).3.斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角.如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角为90;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面所成的角为0.,考向基础,4.直线和平面所成角的范围为.5.斜线和所交平面所成的角的范围为.6.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为、的二面角记为-l-.7.一个平面垂直于二面角的棱l,且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,则AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角,相交成直二面角的两个平面互相垂直.,8.空间角公式(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,为l1、l2所成的角,则cos=|cos|=.(2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与所成的角,则sin=|cos|=.(3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=.,【知识拓展】设二面角-l-两个平面的法向量分别为n1,n2,在两个半平面内各取一点A,B(两点都不在直线l上),二面角记为,则有如下结论:若n1和n2同号,则cos=cos,若n1和n2异号,则cos=-cos.,考向突破,考向一求异面直线所成的角,例1在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.,解析建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),所以=(-1,0,2),=(-1,2,1),故cos=.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.,答案B,考向二求直线与平面所成的角,例2(2018浙江杭州高三教学质检,19)如图,在三棱锥A-BCD中,BAC=BAD=DAC=60,AC=AD=2,AB=3.(1)证明:ABCD;(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值.,解析(1)证明:AB=AB,BAC=BAD=60,AC=AD,ABCABD,BC=BD,(2分)如图,取CD的中点E,连接AE,BE,则AECD,BECD,又AEBE=E,CD平面ABE,(5分),AB平面ABE,ABCD.(7分)(2)解法一:在ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos60=7,BD=,DE=1,BE=,AE=,AB2=BE2+AE2,AEBE.(9分)设点C到平面ABD的距离为h,CD与平面ABD所成的角为,VA-BCD=VC-ABD,即CDSABE=hSABD,(11分)h=,(13分),sin=,故CD与平面ABD所成角的正弦值为.(15分)解法二:在ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos60=7,BD=,DE=1,BE=,AE=,AB2=BE2+AE2,AEBE.(9分)以EB,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,如图.,则A(0,0,),B(,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),=(,0,-),=(0,-2,0),=(0,-1,-).(11分)设平面ABD的法向量为m=(x,y,z).,则取m=(1,-,),(13分)设CD与平面ABD所成的角为,则sin=|cos|=.故CD与平面ABD所成角的正弦值为.(15分),考向三求二面角,例3(2018浙江名校协作体期初联考,17)如图,棱长为3的正方体的顶点A在平面内,三条棱AB,AC,AD都在平面的同侧.若顶点B,C到平面的距离分别为,则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为.,解析分别以AB,AC,AD所在直线为x,y,z轴,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,3),平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).设平面的单位法向量为n=(x,y,z),其中x2+y2+z2=1.由条件知|cos|=,得|x|=,同理,由|cos|=,得|y|=,由x2+y2+z2=1,得|z|=,则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为|cos|=|z|=.,答案,考点二空间向量在立体几何中的应用,考向基础1.空间向量及运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;ab(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3;aba1b1+a2b2+a3b3=0.(2)设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则=-=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).这就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.2.两个向量的夹角及两点间的距离公式(1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=;|b|=,ab=a1b1+a2b2+a3b3,cos=.,(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|=或者dAB=|,其中dAB表示A与B两点间的距离,这就是空间两点间的距离公式.3.若a,b均为非零向量,则向量a在向量b上的射影为|a|cos=.4.设n是平面M的一个法向量,AB、CD是M内的两条相交直线,则n=0,n=0,由此可求出法向量n(向量及已知).5.利用空间向量证明线面平行:只要在平面内找到一条直线的方向向量b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=b即可.或者已,知直线上的A、B两点坐标,在平面内找出两点C、D,写成坐标形式,=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),只需证明x1=x2且y1=y2且z1=z2.6.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个方向向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可.7.证明线面垂直:已知直线l,平面,要证l,只要在l上取一个非零向量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证pa且pb,也就是ap=0且bp=0.8.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.,方法1求直线与平面所成角的方法1.按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影),解三角形.2.求平面的法向量,利用直线所在的方向向量与平面的法向量所成的锐角和直线与平面所成角互余求线面角.3.利用等体积法求点到面的距离,由距离与斜线段长的比值等于线面角的正弦值求线面角.,方法技巧,例1(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,19)如图,DC平面ABC,DEBC,ABC=120,AB=BC=CD=2DE=2.(1)已知F为线段EA的中点,线段BC上一点M满足CM=CB,求证:FM平面ACD;(2)求直线BD与平面AEB所成角的正弦值.,解析(1)证明:取AD的中点N,连接FN,NC,则FNDE,且FN=DE,FNBC,且FN=CB,FNCM,四边形FMCN为平行四边形,FMNC,又FM平面ACD,NC平面ACD,FM平面ACD.(2)取AC的中点O,连接OB,ON,易知OA、OB、ON两两垂直,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,ON所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(,0,0),B(0,1,0),E,D(-,0,2),故=(,-1,0),=,=(-,-1,2),设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则即取y=2,则x=,z=1,故n=,cos=-,故直线BD与平面AEB所成角的正弦值为.,方法2求二面角的方法二面角的平面角的作法是重点,构造平面角主要有以下方法:(1)根据定义;(2)利用二面角的棱的垂面;(3)利用两同底等腰三角形底边上的两条中线;(4)射影法,利用面积射影定理S射=S斜cos;(5)向量法,利用组成二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角相等或互补.,例2(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAB底面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,点M在线段PC上(不含端点),且BM平面PAC.(1)求证:AP平面BCP;(2)求二面角B-AC-P的正弦值.,解析(1)证明:BM平面PAC,BMAP.侧面PAB底面ABCD,且BCAB,侧面PAB底面ABCD=AB,BC侧面ABCD,BC侧面PAB,BCAP.又BC与BM是平面BCP内两相交直线,AP平面BCP.(2)设AB的中点为O,CD的中点为N,连接OP、ON,则ONAB.由平面PAB平面ABCD,且POAB,得PO底面ABCD,POON.分别以OB、ON、OP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.,由AP平面BCP,得APBP,又PA=PB,AB=2,OP=1.则各点坐标为A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,1).平面ABC的一