初中数学化概念教学的观察与思考.doc

初中数学化概念教学的观察与思考【摘 要】教学改革轰轰烈烈，而初中数学概念教学却依然低效本文以这种现象为缘起，在明晰数学化内涵和数学概念教学核心的前提下，通过观察、剖析“两类”概念教学的案例，感悟“数学化”在初中数学概念教学中的作用，提出了关于初中数学概念教学的几点建议【关键词】 数学化 数学概念教学 举例 观察 思考 建议 “概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式”随着教学研究不断深入，以提高概念教学有效性为目的的教学活动正在蓬勃开展，以“两种基本概念获得方式”为依据，构建教学模式，实施教学活动不但成为广大教师的共识，也成为一种行动然而，与之形成鲜明对照的是数学概念教学依然低效这是为什么呢？笔者认为，数学概念教学的 “数学化” 缺失是主要原因之一1数学化与数学概念教学11数学化的内涵弗赖登塔尔认为：数学化就是数学地组织现实世界的过程在此他所强调的数学化的对象分为两类，一类是现实客观事物，另一类是数学本身以此为依据数学化思想被分为两大类：横向数学化和纵向数学化横向数学化对客观世界进行数学化，结果是数学概念、运算法则、规律、定理和为解决具体问题而构造的数学模型等；纵向数学化对数学本身进行数学化，既可以是某些数学知识的深化，亦可以是对已有的数学知识进行分类、整理、综合构造，以形成不同层次的公理体系，使数学知识体系更系统，更完美112数学概念教学 从教育与发展心理学的观点上看，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念2 2数学概念教学关注“数学化”举例 案例1人教版数学八年级上册“1412函数”概念教学（多媒体呈现人教版教材第94页中的五个实际例子）环节一 引入概念：教师：（引导学生横向观察）请同学们观察每个问题中是否有两个相互联系的变量，同一个问题中的变量之间有什么联系？ 学生1：问题1有两个相互联系的变量t与S，它们可用式子表示为S=60t，每当t取定一个值时，S就随之确定一个值；学生2：问题2有两个相互联系的变量x与y，它们可用式子表示为y=10x，每当x取定一个值时，y就随之确定一个值；教师：（引导学生纵向比较）请比较上述5组变量，并概括其共同特点学生3：两个相互联系的变量都可以用式子表示，它们在变化过程中，一个量确定，另一个变量也随之唯一确定教师：当两个变量具备上述特点，我们就称“另一个变量”是“其中一个变量”的函数（出示课题函数）环节二 用数学语言准确表达概念：教师：现实生活中，许多问题中的两个变量都具有类似的特点，但它们不一定能用式子表示如果我们把这些变化过程中的两个变量分别用x、y来表示，那么这两个变量之间的关系的共同特点又怎样描述呢？下面让我们一起来表达师生：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值环节三 深化函数概念：教师：请探究下列问题（多媒体呈现教材第96页中的思考、思考）生4：有，也有教师：对的，对照函数的概念，请判断思考、思考中的y与x是否成函数关系吗？众生：成教师：回顾探讨过的7个问题，你发现两个变量之间的函数关系一定可以用式子表示吗？生5：不一定教师：请说说它们有哪些表达方式？生5：它们有的可用式子、有的可用图象、有的还可用表格教师：是的，表示函数的方法有上述三种，我们分别把它们称为解析法、图像法和列表法教师：请继续思考如下问题题目：式子y=2x、y=x2、y= 中，y是x的函数吗？为什么？生6：、是，但不是 教师：对的你能说说是或不是的理由吗？生6：在中：无论x取什么值，每当x取定一个值时，y就随之确定一个值，这符合函数的定义，所以它是；在中：虽然当x=2时，y的对应值是4，当x=-2时，y的对应值也是4，但这符合每当x取定一个值时，y就随之确定一个值的条件，也符合函数的定义，所以它是但在中当x=4时y有2和-2两个值与之对应，这不符合函数的定义，所以它不是教师：说得真好谁还能用“几对几”的形式，说明函数自变量与函数值之间的对应特点？生7： “一对一”、“多对一”，但不能“一对多”教师：说得对下面请继续探究（多媒体呈现教材第97页中的探究、探究）学生：环节四 运用概念：教师：请看例题（多媒体呈现教材第98页中的例1）学生：课堂观察：师生课堂配合默契，学生学习热情饱满分析思考：本案例教师以揭示变量与变量之间的对应关系为目标，以教材呈现的十个实际问题和教者补充的一个练习为载体，为学生构建一系列适合学习“函数概念”的数学活动： 活动一（环节一 ）：横向观察5个问题中的变量（感悟每个问题变量的特点）纵向比较5个问题中的变量（感悟5个问题变量的共同特点）概括变量的共同点（学生通过观察、分析、比较，抽象出变量的共性，使概念的“本质属性”从实际问题中分离出来，形成函数概念）这是一次横向数学化的过程活动二（环节二 ）：本环节中，教者指出“现实生活中，许多问题中的两个变量都具有类似的特点，但它们不一定能用式子表示”在这里，把五个问题引伸到一类问题，把“能用式子表示”排除于共性之外在明确概念的共同属性的前提下，用数学语言准确表达函数概念，这又是一次对数学问题的概括，它是一次纵向数学化的过程活动三（环节三 ）：探究思考、思考（此处，变化过程中的变量之间的关系只能用图象或表格表示，这恰好突出了“都能用式子表达”是概念的非本质属性，使学生进一步明确概念的本质属性）补充练习（体会变量中的单值对应关系）思考探究、探究（进一步认识变量间的单值对应关系，沟通函数概念与一元代数式的联系）这都是纵向数学化的过程活动四（环节四 ）：开展例1的学习与探究，体会函数应用的广泛性，掌握根据实际意义列函数解析式、找自变量的取值范围以及求函数值的方法，从而感悟函数的三要素（定义域、值域和对应关系），更深入地理解函数概念的本质属性（对应关系）这是再次纵向数学化的过程3数学概念教学缺失“数学化”举隅31看对象缺乏方法的指引 案例2：函数概念教学观察、比较与概括片段（多媒体呈现人教版教材的5个实例）教师：请观察5个实际例子，并指出每个问题的特点生1：问题（1）中含有一个常量60、两个变量t与S，这三个量互相联系着，它们之间的联系可用式子表示为S=60t，每当t取定一个值，S有唯一的值与之对应生2：问题（2）中含有一个常量10、两个变量x与y，这三个量互相联系着，它们的联系可用式子表示为y=10x，每当x取定一个值，y有唯一的值与之对应 教师：请比较5个问题，指出它们的共同特点生2：都含有常量和两个变量，这些“量”相互联系，它们都可用式子表示, 当其中一个变量取定一个值，另一个变量就有唯一确定的值与之对应课堂观察：学生的反响热列，课堂氛围轻松活跃分析思考：本环节中的5个问题是上节课的学习内容，学生十分熟悉，很有利于开展函数概念教学的探究活动但本片段中，教者虽然锁定了5个观察对象，但没有明确观察的内容和要求，于是 “观变量”变成了“自由瞧”，由此获得的“共同特点”未能聚焦在函数的本质属性上这就是它的“数学化” 缺失之处32寻本质缺乏属性的明晰案例3：函数概念教学抽象与概括片段（接案例2中的片段）教师：当两个变量具备上述特点，我们就称“另一个变量”是“其中一个变量”的函数（出示课题函数）教师：让我们一起用数学语言概括5个问题的共同特点 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值众生：（集体被动地附和着，声音很小）课堂观察：教师的抽象与概括牵强，学生的跟随被动，课堂氛围逐渐沉闷分析思考：本片段中，由于上个环节观察的失误，所获“共同特点”并非都是函数的本质属性，而教者又不能急中生智组织相应的探究加以区别（诸如“含有常量”、“两个变量之间的关系都能用式子表示”等非本质属性未从“共性”中甄别开来），函数的“本质属性”只能湮没在问题的“共同特点”之中，致使本质属性不能从实际问题中分离出来这也是它的 “数学化” 缺失之处 33抓应用缺乏概念的“精致”案例4：初三复习真题训练题目：我们知道，平面上的两条直线的位置关系只有两种情况：平行或相交。如图33在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2，8），B（4，-4），直线y=kx-2与直线AB有交点，求k的取值范围图33AByxO此题出示几分钟后，教师巡视课堂发现大部分学生不会做，已动手的学生在确定直线AB的解析式之后纠结于是“k=-2”还是“k-2”，于是提示：两条直线相交时，k不相等曾经纠结的学生好像明白了，教师一边板书，一边带领学生解题如下：解：设直线AB为：y=k1x+b依题意得：-2k1+b=84k1+b=-4解得：b =4k1 =-2 直线AB为 y=-2x+4y =-2x+4与 y=kx-2有交点 k-2课堂观察：教师的提示似乎有效，纠结的学生感觉自己明白了，余下的同学在教师的引导下也完成了解题，大家自我感觉良好（因为题目解完了，好像也会了）分析思考：此处教师引导学生直接运用从概念派生出来的结论（两直线相交，k不相等）来解决问题，表面上看，教学高速有效但笔者还是认为，这样的教学缺乏概念教学的“精致”在此，与问题相关的概念有二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组的解、坐标、直线、直线的交点、一次函数、一次函数的图像等，但教师没有引导学生回顾相关概念，没有通过探究相关概念的联系来再发现规律（两直线相交，k不相等），进而解决问题这样的教学，从知识的角度上看，学生丧失一次系统复习和进一步深刻理解相关概念的机会，从思维角度上看，弱化了学生用数学概念分析问题和解决问题的能力这同样是其“数学化” 缺失的表现4数学概念教学的几点建议41数学概念教学应关注“数学化”的过程图31概念教学与数学化发展和演变过程数学化发展和演变过程概念教学过程问题串（引入）抽象本质属性形成概念形成概念的深化概念的运用数学概念概念的深化概念的运用横向问题情境（问题串）纵向纵向由案例1不难看出，数学概念教学就是数学地组织现实世界的过程（数学化的过程），这个过程既体现了数学概念发生、发展的过程，也贯穿了学生学习的过程其互相联系如图31所示：可见，有效高质的数学概念教学与数学化活动是紧密联系的对于概念教学而言，它以横向数学化展开，以纵向数学化延续和深化从某种意义上说，“数学化”的成败决定着数学概念教学的成败，“数学化”水平的高低决定着数学概念教学质量的优劣以此为由，数学概念教学应关注“数学化”的过程42让学生经历发现数学概念本质属性的“数学化”过程由概念教学与数学化发展和演变过程框图可知：从创设“问题情境”到抽象“本质属性”的环节，既伴随着一次横向数学化的过程，也伴随着一次学生概念形成的心理过程（如图32所示）图3 2概念形成的心理过程-概括抽象检验比较类比找出共同属性形成概念确认本质属性辨别刺激模式易见，学生学习数学概念，先是借助问题情境（问题串），开展观察、分析、比较等数学活动，将概念的“本质属性”从具体的实际问题中分离出来，然后将概念纳入自己的概念体系之中这样，他们一方面获得关于相关概念的知识，另一方面获得关于认识一类事物的思想方法 43让学生经历将文字、图形语言概括成数学符号语言的“数学化”过程在得出一类事物的共同属性，并初步形成概念后，引导学生尝试用数学语言、符号来描述、解释“共同属性”，这对于学生来说又是一个抽象、概括数学问题的过程学生亲身经历这一过程，不但可以加深对概念的理解，而且能更好地接收数学信息、更好地表达数学思想、更好地运用概念解决实际和数学问题44 让学生在应用中有意识地回到数学概念中去案例4所反映的学生面对不熟悉的题束手无策，其主要根源在于他们没有把握数学基本概念及其联系的能力如果教师发现学生解题不畅，将“提示”变成“探究”效果大不一样：任意选取一个一次函数y=kx+b，如果把两个变量x、y看成两个未知数，它可以看成什么？（用方程的观点看一次函数）探究所得的二元一次方程的解、解所对应的图形及它与一次函数y=kx+b的图象关系（揭示二元一次方程的解与一次函数图象的关系）考察直线的倾斜程度与k的关系考察两条直线的位置关系与k的联系（揭示位置关系与k的联系）在这样的“探究”中，无形地把与“问题”相关的概念构成了一个有机的整体构成了一个互相关联的“概念系统”，学生不但在回顾概念、探究概念