高三数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件文.ppt

文数 课标版,第三节 圆的方程,1.圆的定义 在平面内,到 定点 的距离等于 定长 的点的 集合 叫做 圆.,教材研读,2.确定一个圆最基本的要素是 圆心 和 半径 .,3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中 (a,b) 为圆心, r 为半径.,5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,6.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0) (1)点在圆上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)点在圆外: (x0-a)2+(y0-b)2r2 ; (3)点在圆内: (x0-a)2+(y0-b)2r2 .,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=0. () (2)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C0,B=0,D2+ E2-4AF0. () (3)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆. () (4)(x-2)2+(y+1)2=a2(a0)表示以(2,1)为圆心,a为半径的圆. () (5)圆x2+2x+y2+y=0的圆心是 . () (6)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则 + +Dx0+Ey0+F0. (),1.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案 D 由题意得圆的半径为 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故 选D.,2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 答案 D 圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).,3.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是 ( ) A.-1a1 B.0a1 C.-1a D.- a1 答案 D 由(2a)2+(a-2)25得- a1.,4.已知点A(-1, ),B(1,- ),则以线段AB为直径的圆的方程是 ( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2= C.x2+y2=1 D.x2+y2=4 答案 D AB的中点坐标为(0,0).由题意知,AB的中点为圆心,|AB|= =4,圆的方程为x2+y2= =4.,5.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 . 答案 解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0可化为 +(y+a)2=- a2-a+1, 因为该方程表示圆,所以- a2-a+10, 即3a2+4a-40,所以-2a .,考点一 求圆的方程 典例1 (1)(2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于 M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 B.8 C.4 D.10 (2)圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程为 . 答案 (1)C (2) + =,考点突破,解析 (1)设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由| PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|= =5,于是圆P的方程为(x- 1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22 ,则|MN|=|(-2+2 )-(-2-2 )|=4 . (2)解法一(几何法):因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所以圆 心在直线y-1=x-1,即x-y=0上. 又已知圆心在直线y=-x+1上,故联立 解得 故圆心坐标是 . 所以半径r= =,. 故所求圆的方程为 + = . 解法二(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 解得 所以r= =,. 故所求圆的方程为 + = .,1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方 程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据 已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.,方法指导,2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.,1-1 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切, 则该圆的标准方程是 ( ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 答案 A 由于圆C的半径为1,圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心 为(a,1)(a0),又由圆与直线4x-3y=0相切可得 =1,解得a=2(舍负), 故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.,1-2 求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程. 解析 解法一:圆过A(5,2),B(3,-2)两点, 圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 易知线段AB的垂直平分线的方程为y=- (x-4). 设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有 解得 C(2,1),r=|CA|= = , 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 解得 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.,解法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0), 则 解得D=-4,E=-2,F=-5,所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.,考点二 与圆有关的最值问题 典例2 (1)已知点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则 PAB面积的最大值与最小值分别是 ( ) A.2, (4- ) B. (4+ ), (4- ) C. ,4- D. ( +2), ( -2),(2)若实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则 的最大值为 ,最小值 为 . 答案 (1)B (2) ;- 解析 (1)由题意知|AB|= = , lAB:2x-y+2=0, 由题易知圆心坐标为(1,0), 圆心到直线lAB的距离d= = = . SPAB的最大值为 = (4+ ), SPAB的最小值为 = (4- ).,(2)原方程可化为(x-2)2+y2=3. = , 表示点P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的连线的斜率.如图. 由图知 的最大值和最小值分别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜,率.易知|PB|=|PA|= = , kPA= = = , kPB=- =- =- , 的最大值为 ,最小值为- .,方法技巧 1.与圆的几何性质有关的最值 (1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离的最小值为|AO|-r,最大值为|AO| +r; (2)过圆内一点的弦最长的为圆的直径,最短的为以该点为中点的弦; (3)记圆心到直线的距离为d,若直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距 离为d+r,最小距离为d-r; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.,2.与圆上点(x,y)有关的最值 (1)形如 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可 用三角代换求解; (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方 的最值问题.,变式2-1 在本例(2)的条件下,求y-x的最大值和最小值. 解析 y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时, 纵截距b取得最大值或最小值,此时 = ,解得b=-2 . 所以y-x的最大值为-2+ ,最小值为-2- .,变式2-2 在本例(2)的条件下,求x2+y2的最大值和最小值. 解析 x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,过 原点和圆心的直线与圆有两个交点,在两个交点处取得最大值和最小 值. 又圆心到原点的距离为 =2. 所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 , x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .,考点三 与圆有关的轨迹问题 典例3 已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上 的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合); (2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程. 解析 (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2 y). 因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x2). (2)设PQ的中点为N(x,y), 在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接 法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程; (3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点 的关系,代入已知点满足的关系式.,3-1 已知定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以 OM、