高一数学下册期末解三角形练习题及答案.doc

1 在ABC中，若，则等于（ ）A B C D 2 若为ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A B C D 3 在ABC中，角均为锐角，且则ABC的形状是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 4 等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ）A B C D 5 在中，若，则等于（ ）A B C D 6 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A B C D 参考答案一、选择题 1 C 2 A 3 C 都是锐角，则4 D 作出图形5 D 或 6 B 设中间角为，则为所求7ABC的三边分别为a，b，c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形解析：2bac，4b2(ac)2，又b2ac，(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.答案：D8ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()A. B.C.或 D.或解析：，sinC.0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC；(2)当C120时，A30，SABC1sin30.答案：D9在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b2c2bca2，且，则角C的值为()A45 B60C90 D120解析：由b2c2bca2，得b2c2a2bc，cosA，A60.又，sinBsinA，B30，C180AB90.答案：C10如图，四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A.B5C6D7解析：连接BD，在BCD中，BCCD2，BCD120，CBD30，BD2，SBCD22sin120.在ABD中，ABD1203090，AB4，BD2，SABDABBD424，四边形ABCD的面积是5.答案：B11ABC中，若cos(2BC)2sinAsinB0，则ABC中一定是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形解析：cos(2BC)cos(BA)cos(BA)cosAcosBsinAsinB，cos(2BC)2sinAsinBcosAcosBsinAsinB0，即cos(AB)0.AB.答案：C12如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50m B50mC25m D.m解析：由正弦定理得，AB50(m)答案：A二、填空题1 在ABC中，则的最大值是_ 2 在ABC中，若_ 3 在ABC中，若_ 4 在ABC中，若，则_ 1 2 3 4 ，令 5在ABC中，若b5，B，sinA，则a_.解析： 由正弦定理有：，即，得a. 答案：6如图，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，则AD的长度等于_解析： 在ABC中，由余弦定理，有cosC，则ACB30.在ACD中，由正弦定理，有，AD，即AD的长度等于.答案：三、解答题1在中， （）求的值； （）设，求的面积1解：（）由，得，由，得所以（）由正弦定理得所以的面积2在锐角ABC中，求证： 2 证明：ABC是锐角三角形，即 ，即；同理；3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC时，求b及c的长解：(1)因为cos2C12sin2C及0C，所以sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C，得cosC.由余弦定理c2a2b22abcosC，得b2b120.解得b或2，所以或4在中，的对边分别是，已知.（1）求的值；(2)若，求边的值 解（1）由 正弦定理得： 所以，又，所以。 （2）由（1）得，又由，得展开得：，所以，又且，解得，而，所以。 6某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10，此时v30， 即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0AC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)，则在RtCOD中，CD10tan，OD.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以.由此可得，v.又v30，故sin(30).从而，3090.由于30时，tan取得最小值，且最小值为.于是，当30时，t取得最小值，且最小值为.解法三：(1)同解法一或解法二(2)设小艇与轮船在B处相遇，依据题意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000.若0v30，则由3600001600(v2900)1600(v2675)0.得v15.从而，t，v15，30)当t时，令x，则x0,15)，t，当且仅当x0，即v15时等号成立当t时，同理可得.若v30，则t；综合可知，当v30时，t取最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，OAOBAB20，航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇高中数学（必修5）第一章：解三角形 11正弦定理与余弦定理 基础训练A组一、选择题1在中，角，则边等于（ ）A B C D 2以、为边长的三角形一定是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角或钝角三角形3在中，若，则角等于（ ）A B C D 4边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A B C D 5在中，若，则角等于（ ）A B C D6在中，若，则最大角的余弦是（ ）A B C D 二、填空题7在中，若，则角_9在中，若，则边_10在中，若，则ABC的形状是_三、解答题11在中，角所对的边分别为，证明：12在ABC中，若，请判断三角形的形状13在ABC中，若，则求证：1417在中，面积为，求边的长在ABC中，最大角为最小角的倍，且三边为三个连续整数，求值提高训练B组 一、选择题1在中，若角，则边等于（ ）A B C D 2在中，则三角形最小的内角是（ ）A60B45C30D以上都错3在中，若，则三边的比等于（ ）A B C D4在中，若，则的值为（ ）A B C D5在中，若，则的形状是（ ）A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形 6在钝角中，若，则最大边的取值范围是是（ ）A B C D 二、填空题7在中，若则角一定大于角，对吗？填_（对或错）8在中，C是钝角，设则的大小关系是_9在中，若，则10在中，则的最大值是_3在中，若，则角的大小为（ ）A B C D4在中，则此三角形的最小边长为（ ）A B C D11正弦定理与余弦定理 基础训练A组 1C 2A 由余弦定理得：，且角最大，最大内角为锐角3D ，或4B 设中间角为，则为所求5B 6C ，为最大角，7 8 由得为钝角，即角为锐角9 10等腰直角三角形 ，同理11证明： 所以命题成立12解：， ，等腰或直角三角形 13证明：要证，只要 证，即， 而，原式成立14解：，设，则，而，即，得11正弦定理与余弦定理 提高训练B组 1D 2B ，边为最小边，3B 4A 令，则，得，5B 6A ，为钝角， 7对 由则得8 9 ，即，10 11证明：将，代入右边 得右边左边， 12（1）证明：在中，得而得所以（2）解； 12-13应用举例实习作业 基础训练A组 1D 仰角与俯角的定义理解2A 坡底要伸长的长度刚好是斜坡长 3D 4C ，有两个解5C 6B 设货轮按北偏西的方向航行分钟后处， 得，速度为海里/小时7， 使用计算器，注意余角8直角三角形 设，则，代入得到，为直角三角形9 为锐角三角形，且，即10 ，11解： 由正弦定理，12解：设航行小时后甲船到达点，乙船到达点，在中， 海里， 海里， ，由余弦定理得： 当（小时）时， 最小，从而得最小，航行小时，两船这间距离最近13解： （1）方程有两个相等实根，即，由余弦定理得：，（2）为钝角， ，此方程没有实数根14解：如图在中， ，由余弦定理知，在中，由正弦定理知：，在中，由余弦定理知12-13应用举例实习作业 提高训练B组 1A ，而，为钝角，从而无解2A 塔高为（米）3A ， 4B 5C 6D 设 ，则，得7 使用计算器，运用余弦定理求解8等腰三角形 由已知等式得： ，即 或，得，即9 边最长，最大， ，,10 ， 11解：在中，设，由余弦定理，得，即，整理，得， (舍去)，即，在中，由正弦定理，得12解： 设游击手能接着球，接球点为，而游击手从点跑出，本垒为点（如图所示），设从击出球到接着球的时间为，球速为，则，在中，由正弦定理，得， ，而，即,这样的不存在，因此，游击手不能接着球. 提高训练C组1C 方位角的认识2C 由已知得，即，为钝角3B 4B ，边最小,由，得5A ， 6C 由正弦定理得到两直线的斜率乘积为 ，所以两直线垂直7C 刚好是个腰长为的等腰三角形，且顶角为，8C 9D 由正弦定理得： ，或从而或10C ，11A 易知，即，即12D ， ，或所以或13 设，则，得14锐角 ，为锐角同理可知、也为锐角，故为锐角三角形15 ， 另解：，得， 即，即， 得，即16 由得，又，17解：，由及 得，（舍），由正弦定理，代入 得18解：在 中， ， ， ，根据正弦定理有，同理，在中， ， ，根据正弦定理有又在中， ，根据勾股定理有所以炮兵阵地到目标的距离为米19解：， 此时取得等号20解：由，得, ABC为锐角三角形, 又是方程的两根，, , , 21解：（1）由由及正弦定理得于是； （2）由，由余弦定理，得，22解：（1） ， 函数的最小正周期， 令，解得， 函数的单调递减区间是； （2）由，得， 在ABC中， ， ，解得， 又，解得， ，由，得，即特别补充D组1B 由得，即，由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知，且，从而，2 ， 显然最大，则，而最大角不可能小于，即，而，即，得，即，3 由，得，即两条边的夹角的余弦为，得两条边的夹角的正弦为，得三角形的面积是4 设两边为，则，得，得三角形的面积是5解：在中，由，得， 而，得， 由，得，即边6解：（1）因为，得， 即，而，得；（2）显然，即最短的边为，由，得，且，得，即最短的边长为7解：，由及 得，（舍），由正弦定理，代入 得8解：， 即，得， 而，得，即， 得， 而， 得，9解：设且，是钝角，解得，或，当时，不合题意，舍去当时， ，最大角的余弦值10解：设小时后渔船在点追上鱼群由题意，在中， ，由正弦定理得，故11解：（1）设甲、乙两人最初的位置是、， 则， （2）设甲、乙两人小时后的位置分别是、，则，当时，当时，；当时，上述三式统一为，即（3），当小时时，即在第分钟末，最短，最短距离是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 正弦定理和余弦定理同步练习基础达标一、选择题1.在ABC中,a=1,b=,A=30,则B等于( )A.60 B.60或120C.30或150 D.120解析:b=a=1,A=30,B有两个解.=,sinB=.B=60或120.答案:B2.在ABC中,A=60,C=45,b=2,则此三角形的最小边长为( )A.2 B.2-2 C.-1 D.2(-1)解析:A=60,C=45,B=180-60-45=75,故c边最小.=,c=2-2.答案:B3.ABC中,根据下列条件,确定ABC有两解的是( )A.a=18,b=20,A=120 B.a=60,c=48,B=60C.a=3,b=6,A=30 D.a=14,b=16,A=45解析:三角形有两解,则已知角必为锐角,故排除A;B是已知两边及夹角,只有一解;在C中,sinB=1,只有一解.答案:D4.已知ABC中,a=,b=1,B=30,则其面积等于( )A.或 B. C.或 D.解析:=,sinA=.A=60或120. 当A=60时,C=90,SABC=ab=; 当A=120时,C=30,SABC=absinC=.答案:C5.在ABC中,若=,则B的值为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析:=,=.sinB=cosB.B=45.答案:B6.在ABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是( )A. B.0 C.1 D.解析:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.答案:B7.已知ABC中,acosB=bcosA,则ABC为( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形解析:a=2RsinA,b=2RsinB,sinAcosB=sinBcosA,即tanA=tanB.A=B.ABC为等腰三角形.答案:A8.在ABC中,C=2B,则等于( )A. B. C. D.解析:=.答案:A二、填空题9.三角形的两边分别为3 cm和5 cm,它们所夹角的余弦为方程5x2-7x-6=0的根,则这个三角形的面积是_.答案:6 cm210.ABC中,已知b=2a,B=A+60,则A=_.解析:=,=, 即=. 整理得sinA=cosA,即tanA=.A=30.答案:30三、解答题11.已知三角形的两角分别是45、60,它们夹边的长是1,求最小边长.解:如图所示,A=75, 故最小的边长为b. =.解得b=-1.12.如图所示,ABBC,CD=33,ACB=15,BCD=75,BDC=45,求AB的长.解:在DBC中,DBC=180-(BDC+BCD)=180-(45+75)=60. 在BCD中,由正弦定理,得=,BC=11. 在RtABC中,AB=BCtan15=11(2-)=22-33.更上一层1.在ABC中,已知tanA=,tanB=,且最长边为1,求:(1)角C的大小;(2)ABC最短边的长.解:(1)tanC=tan(-A-B)=-tan(A+B)=-=-1,C=.(2)tanA=tanB,C=,C为最大角,B为最小角. 又tanB=,sinB=. 由正弦定理,得=,b=.2.在ABC中,已知A+C=2B,tanAtanC=2+.(1)求A、B、C的值;(2)若顶点C的对边c上的高等于4,求ABC各边的长.思路分析:结合题目的条件,由tanAtanC=2+,A+C=2B,可知B=60,A+C=120,可利用两角和的正切公式求tanA+tanC,从而构造方程求A与C的正切值,再求角A与C.解:(1)A+C=2B,A+C+B=180,B=60.A+C=120.tan(A+C)=-, 则tanA+tanC=3+. 那么tanA、tanC即为x2-(3+)x+(2+)=0的两根.或或(2)如图,当时,CD=4,CB=8,BD=4,AD=4,AC=4.AB=4+4. 当时,如图.CD=4,CB=8,BD=4,AC=4(-)=4(-1).AB=BD+AD=4+4(2-)=8-8.3.某人在草地上散步,看到他西方有两根相距6米的标杆,当他向正北方向步行3分钟后,看到一根标杆在其西南方向上,另一根标杆在其南偏西30方向上,求此人步行的速度.解:如图所示,A、B两点的距离为6米,当此人沿正北方向走到C点时,测得BCO=45,ACO=30,BCA=BCO-ACO=45-30=15. 由题意,知BAC=120,ABC=45. 在ABC中,由正弦定理,得=, 即有AC=6+6. 在RtAOC中,有OC=ACcos30=(6+6)=9+3. 设步行速度为x米/分, 则x=3+4.73. 即此人步行的速度约为4.73米/分.解三角形应用举例同步练习1在ABC中，下列各式正确的是（ ）A. B.asinCcsinBC.asin(AB)csinAD.c2a2b22abcos(AB) 2已知三角形的三边长分别为a、b、，则这个三角形的最大角是（ ）A.135 B.120 C.60 D.90 3海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60的视角，从B岛望A岛和C岛成75角的视角，则B