【13朝阳二模】北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理科数学.解析版.doc

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类） 2013.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，集合，则= A. B. C. D. 【答案】D【解析】,【考点】集合的运算、并集（2）若，则实数的值为 A B C D 【答案】B【解析】解得【考点】微积分基本定理（3）执行如图所示的程序框图若输出的结果是，则判断框内的条件是A. ? B. ? C. ? D. ?否开始S = 0n = 1S=S+n输出S结束是n=n+21侧视图正视图11俯视图 （第3题图） （第5题图）（第3题图）【答案】C【解析】列举法：S=014916n=13579则7不满足条件，9满足条件，故选择C【考点】程序框图、条件的判断（4）若双曲线的渐近线与抛物线有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A B C D 【答案】A【解析】双曲线的渐近线为得，则所以【考点】圆锥曲线、双曲线的离心率（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A B C D【答案】A【解析】【考点】三视图、求椎体体积（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A种 B种 C种 D种【答案】C【解析】【考点】排列组合（7）已知函数，定义函数 给出下列命题：；函数是奇函数；当时，若，总有成立，其中所有正确命题的序号是A B C D 【答案】D【解析】画出函数的草图当时 当时对应的图象分别为当时 当时 显然，错；正确；对于，,由图知，为减函数，所以，推出，正确；【考点】函数的性质、指数函数、分段函数（8）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是A B C D【答案】D【解析】如图，建系当与重合时，故A、B排除；,，设所以答案选D【考点】空间向量与立体几何第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）为虚数单位，计算 【答案】【解析】【考点】复数的运算（10）若直线与圆（为参数）相交于，两点，且弦的中点坐标是，则直线的倾斜角为 【答案】【解析】将化为直角方程得，圆心为圆心与的中点连线的斜率为，所以斜率为，故倾斜角为.【考点】参数方程、直线与圆（11）如图，切圆于点，割线经过圆心，则 ，的面积是 【答案】;【解析】由切割线定理，,又，故所以,则，易知，,则,过作,由,得【考点】几何证明选讲（12）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨【答案】30【解析】，当且仅当，即【考点】均值不等式、实际应用题（13）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是 【答案】【解析】如图，画出区域，只需求质点落入阴影部分的概率，【考点】线性规划、几何概型（14）数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记例如当时，；当时，.则当时， ；试写出 【答案】，【解析】当时，令【考点】新定义型数列三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在中， 所对的边分别为，且.（）求函数的最大值；（）若，求b的值【答案】（） （）【解析】（15）（本小题满分13分）解：（）因为.因为为三角形的内角，所以，所以.所以当，即时，取得最大值，且最大值为. 6分（）由题意知，所以又因为，所以，所以又因为，所以由正弦定理得， 13分 【考点】三角函数、解三角形（16）（本小题满分14分）ADBCPEFGH如图，四边形是正方形，平面， 分别为，的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的大小；（）在线段上是否存在一点,使直线与直线 所成的角为？若存在，求出线段的长；若 不存在，请说明理由.【答案】（）略 （） （）【解析】（16）（本小题满分14分）（）证明：因为,分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面. 4分（）因为平面，ADBCPEFGHzyx所以平面，所以，.又因为四边形是正方形，所以.如图，建立空间直角坐标系，因为,所以， 5分因为， 分别为，的中点，所以，. 所以，.设为平面的一个法向量，则,即，再令，得.,.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以=.所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 9分（）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.依题意可设,其中.由,则. 又因为,，所以.因为直线与直线所成角为，所以=，即，解得.所以，.所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时. 14分【考点】空间向量与立体几何、动点问题（17）（本小题满分13分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩（分）9070604030人数（名）461073（）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或”的概率；（）根据（）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数，求的分布列及其数学期望；（）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于分”的概率【答案】（）;（）随机变量的分布列为0123 所以 （）【解析】（17）（本小题满分13分）解：（）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“或”的频率为 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为3分（）由已知得，随机变量的可能取值为0，1，2，3 所以；随机变量的分布列为0123 所以 9分（）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为显然基本事件的总数为不妨设，当时，或或，其基本事件数为；当时，或，其基本事件数为；当时，其基本事件数为；所以所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分的概率为 13分【考点】概率分布列、二项分布（18）（本小题满分13分）已知函数（），.（）求函数的单调区间；（）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（）当时,函数的单调递增区间是，单调递减区间是，当时,函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（）的取值范围是. 【解析】（18）（本小题满分1 3分）解：（）函数的定义域为，.1分当时，当变化时，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，. 3分当时，当变化时，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 5分（）依题意，“当时，对于任意，恒成立”等价于 “当 时，对于任意， 成立”. 当时，由（）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数的最小值为.所以应满足. 6分因为，所以. 7分当时，函数，显然不满足，故不成立. 8分当时，令得，.（）当，即时，在上，所以函数在上单调递增， 所以函数. 由得，所以. 10分（）当，即时, 在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.由得，所以. 11分（）当，即时,显然在上，函数在上单调递增，且. 显然不成立，故不成立. 12分综上所述，的取值范围是. 13分【考点】函数与导数、单调区间、恒成立问题（双变量）（19）（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为,且.（）求椭圆的方程；（）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围【答案】（）;（）【解析】（19）（本小题满分14分）解：（）依题意不妨设，则，.由，得.又因为，解得.所以椭圆的方程为. 4分（）依题直线的方程为. 由得. 设，则，. 6分所以弦的中点为. 7分所以. 9分直线的方程为，由，得，则，所以. 11分所以. 12分又因为，所以.所以.所以的取值范围是. 14分【考点】圆锥曲线、椭圆、弦长问题（20）（本小题满分13分）已知实数（）满足，记（）求及的值；（）当时，求的最小值；（）求的最小值 注：表示中任意两个数,（）的乘积之和.【答案】（）由已知得（）（）【解析】（20）（本小题满分1