数学与应用数学专业毕业论文-小议数学符号的教与学.doc

小议数学符号的教与学With the study on mathematical symbols to teach 姓 名: 班 级： 指导教师： 完成时间： 2015年4月15日 目 录 摘要 3Abstract 4第一章 数学符号的概述61.1 数学符号的发展史6 1.1.1 数学符号的形成6 1.1.2 现代的数学符号9第二章 数学符号产生的意义11 2.1 数学符号发展的意义11 2.1.1 数学符号对于数学发展的意义112.1.2 数学符号对于其他学科的意义11第三章 数学符号的教学123.1 数学符号的教学12 3.1.1 数学符号教学的中重点是准确理解其含义123.1.2 数学符号在教学中的注意事项143.1.3 关于数学符号在数学教学中的建议14参考文献 17 小议数学符号的教与学摘要 符号是数学的语言，是人们进行表达、计算、推理、交流和解决数学问题的工具，学习数学的目的之一是使学生懂得数学符号的意义，会运用数学符号解决实际问题，发展学生的符号感。数学符号准确、清晰，具有简约思维、提高效率、便于交流的功能。当数量、图形之间的关系能够用适当的数学符号表达后，人们就可以在这个基础上，根据自己的需要，深入进行推理和计算，因而能更迅速地得到问题的解答或发现新的规律。其次，缩短了学习的时间。初等数学发展到今天，已有两千多年的历史，内容非常丰富，而其中主要的内容今天能够在小学和中学阶段学完，这里数学符号是起了重要作用的，数学符号出现与发展对于人类数学史的进步意义重大。研究数学符号的发展尤其必要。关键词：数学符号 数学史 发展意义 数学语言 教学 With the study on mathematical symbols to teachAbstract Symbols are the language of mathematics, it is the expression, reasoning, calculation, communication and a tool to solve mathematical problems, one of the purposes of mathematics learning is to make the students understand the meaning of mathematical symbol, will use mathematical symbols to solve practical problems, the development of students symbol sense. Clear and accurate, mathematical symbols, with simple thinking, improve efficiency, facilitate the communication function.When the relationship between quantity, between graphs be expressed with mathematical symbols appropriate, people can on this basis, according to their own needs, in-depth reasoning and calculation, and thus can more quickly get answers to questions or discover new rules. Secondly, shorten the learning time. Elementary mathematics development to today, has been two thousand years of history, the content is very rich, of which the main content today to finish in the primary school and middle school stage, here the mathematical symbol is played an important role in the emergence and development, the mathematical symbol for the progress of human history of mathematics significance. Research on the development of mathematical symbols is necessary especially. Key words: Mathematical symbols；The history of Mathematics； The significance of the develop-ment； The language of Mathematics；Teaching引 言 数学是一种符号型学科，从某种意义上来说，数学正是因为其简练性和抽象性才显示出其美丽，在新课程标准中也强调发展学生的符号感，所以也要求教师在教学过程中培养学生符号感。数学符号是数学语言，基本有三种形态，符号语言、文字语言、图形语言，数学的教学离不开数学符号，数学符号是数学的重要组成部分，数学符号极大的方便了学习数学，加快了数学的发展，全球通用数学符号，使得数学更具国际化、全球化。通过探究数学符号，体验数学符号语言、明化数学问题、简化数学推理过程，从而促进人们创造新的数学思维。 第一章 数学符号的概述 1.1 数学符号的发展史1.1.1数学符号的形成数学是上帝用来书写宇宙的文字伽利略 符号常能比发明他们的数学家更能推广克莱恩 教学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言自然用这个语言讲话、超世主也用这个语言讲过话，而世界的保护者继续用它讲话戴尔曼 数学符号不仅随着数学发展的需要而产生，而且也随着数学的发展不断完善。比如，古代各民族都有自己的记数符号，但在长期使用过程中，印度阿拉伯数码记数方法显示出更多的优点，因而其他的数码符号逐渐淘汰，国际上都采用了这种记数方法。 符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去记录复杂的事物，符号也正是这样产生的。 一是来源于象形，实际上是缩小的图形。如平行符号“”是两条平行的直线；垂直符号“”是互相垂直的两条直线；三角形符号“”是一个缩小了的三角形。二是来源于会意，即由图形就可以看出某种特殊的意义。如用两条长度相等的线段“=”并列在一起，表示等号；加一条斜线“”，表示不等号；用符号“”表示大于（左侧大，右边小），“”表示小于（左侧小，右边大）。三是来源于文字的缩写。如我们以后将要学到的平方根号“”中的“”，是从拉丁字母Radix（根值）的第一个字母r演变而来。相似符号“”是把拉丁字母S横过来写，而S是Sindlar（相似）的第一个字母。还有大量的符号是人们经过规定沿用下来的。当然这些符号并不是一开始就都是这种形状，而是有一个演变过程的.下面我讲具体介绍一些常用数学符号的来源： “+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“”最后都变成了“+”号。 “”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“”了.也有人说，卖酒的商人用“”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“_”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“”用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“”号像拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“”号。他自己还提出用“”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“”作为乘号。他认为“”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。 “”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的代数学里，才根据群众创造，正式将“”作为除号。 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的几何学中，第一次用“”表示根号。“”是由拉丁字线“r”变，“”是括线。 十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号，他还在几何学中用“”表示相似，用“”表示全等。 大于号“”和小于号“1是不等式x21的正数解，用符号语言表示为：（1）0N；（2）长方形 平行四边形；（3）x|x1=x|x21且x0。“、 、=”具有不同的含义，能够彼此区别开来。 符号语言的精确性要求学生必须准确理解数学符号的含义。然而，学生对数学符号的认识普遍存在模糊性。例如学生对符号y=ax与y=xa的理解经常模糊不清，原因在于对符号的含义理解不清。这种模糊性产生的根本原因是学生对数学概念、性质、定理把握不准。 由于数学符号具有高度的集约性、抽象性、丰富性、精确性，学生难以真正理解其含义。因此，如何帮助学生准确理解数学符号的含义便成为数学符号教学的重点和难点。数学符号教学容易停留在机械学习的层面，即学生在没有充分理解数学符号的情况下，死记硬背数学公式或表达式，使得对数学符号语言的认识停留在表面上。任何一个符号表达式都包括两方面内容：语义内容与语法内容。语义内容指符号表达式所表达的内在数学含义，例如“a+b=b+a”这一表达式的语义内容是：在“+”这种运算中，元素的次序不同并不影响运算的结果。语法内容指符号表达式的形式结构。与机械学习相对的是奥苏尔贝（D.P.Ausubel）的有意义的学习理论。数学有意义的学习是在思考、理解符号所表示的知识后，将其融会贯通的学习形式。有意义的学习过程就是在原有认知结构的基础上形成新的认知结构的过程，原有认知结构是新的学习的最关键因素，一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的，通过与学生原来的有关知识相互联系、相互作用后转化为主体的知识结构。比如，如果学生仅从形式上记住函数y=f（x），那么，在遇到u=f（x）、s=f（t）时，就会认为是两个不同函数。如果在理解函数y=f（x）的文字意义与符号意义的同时，还能将其与映射概念以及基本初等函数融会贯通，就能理解y=f（x）的真正含义。 使用通俗性语言数学符号的抽象性使学生普遍感到难以理解，因而成为教学的难点。中等数学涉及的符号大多是在逐次抽象中产生的，是对已经符号化的问题进一步抽象化处理后的再数学化，是数学的内部活动，具有更高的抽象性。这种不断上升的、新的、更高级别的抽象程度是数学发展的一个重要特征。要使学生能够接受并理解这种更高级别的抽象性，教学时就必须采用生动有趣、通俗易懂的语言，从具体的描述性语言开始，逐步抽象成比较简约的语言。 遵循直观性原则，建立具体模型人们总是希望借助直观、具体的事物理解抽象的事物。针对中专学生形象思维能力较好、抽象思维能力较差的特点，笔者认为进行数学符号教学时，应遵循直观性原则。直观性原则指在教学中让学生观察所学事物或教师的形象描述，引导学生形成对所学事物的清晰表象，丰富他们的感性知识，使他们正确理解书本知识，发展其认识能力。直观性原则反映了人类认识的基本规律。在引入一个新的数学符号时，首先要向学生介绍各种有代表性的实体模型，使同一知识对象可以通过多样化的载体呈现出来，形成一定的感性认识。如在讲授组合公式Cnm时，可以借助“从四名学生中任选两人值日，有多少种分法？”“上、下午各一人值日有多少种分法？”等经常发生在学生身边的事例帮助学生理解该公式。 提倡动手实践，获得感性认识不少学生都存在对数学符号记不住、分不清的问题。他们认为数学就是枯燥的符号加概念、是数字游戏，没有实际意义，习惯于教师讲、学生听的授课模式，很少主动探讨问题。教育心理学研究表明，如果学生只听讲，不读书，只能记住所学内容的15%；如果只看书不听讲，只能记住所学内容的25%；如果既读书又听讲，则可记住所学内容的65%；如果在听讲、读书的同时动手实践，让耳、眼、口、手、脑等多种感官同时积极参与活动，相互影响、相互促进，则能获得更好的学习效果。如讲授组合公式时，可以让学生自己动手“分一分”，归纳有多少种分法，“数一数”排列、组合的数值。学生在这些实物、模型、问题等元素的作用下，通过各种感官及大脑的复杂反应活动，建立起关于事物的特征与联系的感觉、知觉、表象或观念，从而获得了对事物的感性认识。 运用科学思维方法，理解数学符号学生在获得感性认知的基础上，能否理解所学知识，与学生是否掌握科学的思维方法有关。思维方法是思维的钥匙，掌握了科学的思维方法，才能对已获得的感性材料进行合理加工、处理，把握事物的本质特性和内在联系，获得简洁的概括性认识。科学的思维方法和数学紧密联系，体现在教学活动之中，并且在教学活动中得到培养和发展。在整个教学活动中，教师起到引导、点拨作用。以组合公式为例，教师引导学生采用猜想、检验、归纳等方法，根据定义脱离具体模型对符号的实质进行分析，让学生掌握符号的抽象含义。这一过程超越了具体问题的情景，深刻揭示了不同问题的共同性、普遍性，提升了学生的认识、思考水平，使学生不但获得了科学的思维方法，也了解了符号的特性，理解了符号的本质含义。 重视对比、辨析，认识符号本质要引导学生将新的数学符号与相关的旧知识进行对比，分析它们的区别与联系，帮助学生理解不同符号的内在逻辑联系和符号自身的含义。如将新符号y=ax与旧知识y=xa进行对比时，有的学生则因为概念不清，没有理解符号的本质含义，将这两个符号混淆在一起，教师在教学中应分析它们的区别与联系，帮助学生深入理解这两组数学符号。 重视口头语言与符号语言的转化训练数学语言要求极其精炼、准确、富有严密的逻辑性，对概念、定理的叙述必须严密完整、准确无误，不可随意编造、简化，例如应读成（稍停）的平方，不可读成平方。口头语言是通过自己的叙述，重新对数学符号赋予意义。学生首先将符号语言内化，然后将其转化为口头语言，也就是说，口头语言能够促进学生对符号语言的理解。在将符号语言转化成口头语言时，学生经常感到“只能意会，无法言传”，存在较大困难。另外，数学教育的根本目的在于帮助学生用数学的思维方法解决生活中的问题，准确地将文字语言转化为符号语言是实现这一目标的基本要求。然而，学生对这两种语言进行相互转化的能力普遍较差，这种现象在立体几何的学习中表现得尤为突出，学生常常对用符号语言表述证明过程感到困难。可见，培养学生对两种语言相互转化的能力不容忽视。 总之，数学符号语言教学具有长期性的特点，不可急于求成。 3.1. 2 数学符号教学的注意事项 1.认识上的误区：由于在数学学习中存在着大量的数学符号，很多学生认为数学是一门神秘而又难于理解的学科，甚至部分数学成绩不好的学生多年以后仍然对数学耿耿于怀。认为数学难学几乎成了一个积重难返的现象。为什么很少人抱怨语文难学呢？（顶多有人说语文没学好。）其实，语文和数学有共同之处，都是充满语言的课程，只不过语文的主体内容是大家司空见惯、非常熟悉的母语，而数学所包含的是数学语言，这其中的典型代表就是数学符号。对于这部分学生，说明他们没有真正认识到数学符号的意义，误解了数学符号出现、存在的功能及作用，所以觉得神秘又难学。 2.理解上的误区：数学符号存在和应用于数学过程中，有着它特定的含义和背景。部分学生对数学符号的内涵理解不够，仅注重数学符号的外形，而忽视了数学符号的本质，对于数学公式存在着死记硬背的现象，本末倒置，效果很不好。 3.书写上的误区：教学中经常可以看到，当出现新的数学符号时，部分学员会模仿书写，或者到作业时发现对数学符号书写不是很清楚，然后再去翻看教材，或者有些学生干脆自己造符号，这些都说明没有掌握数学符号的规范写法，主要表现在大小写、正斜体不分、字母符号位置不对等。在此举几例学生易出现错误的数学符号对比： 例如“” “、” “、”等等 4.读音上的误区：对数学符号分不清是希腊字母还是英文字母，因此造成读音上出现了错误。如：自然对数记号ln，不少学生甚至老师都把它读成与log（劳格）完全一样。空集记号，很多教师把它读作希腊字母中“phi，读音：斐”，其实是丹麦字母，读作“欧”。极限一词源于拉丁文“limes”，缩写为“lim”，读音一般采用英文“limit”的读音。 3.1.3 关于数学符号在数学教学中的建议 1.正确认识数学符号的地位、作用和功能，消除数学符号的神秘感。要认识到数学符号在记述和表述抽象的数学思维中的功能，要高度重视它在数学教学和研究中的作用。正如英国数学家怀特海所作的精辟见解：“在数学中，符号的引入往往是为了理论的易于表述和解决问题，而不是使问题看起来更加复杂。”数学家欧拉也特别强调，在教育和科研中符号的简化和规则化既有助于学生的学习，又有助于数学的发展。 2.规范数学符号的书写和读法。数学符号的书写、读法一定要正确、准确，应以教材为标准达到规范化，尤其是规范如今大量使用的多媒体课件中出现的数学符号，同时要纠正学生中出现的错误。例如：， 这二者是旧体和新体之分； ，u前者是希腊字母，后者是英文字母。对数记号log源于拉丁文“logos”的缩写，自然对数记号ln是英文“natural logarithm”的缩写，二者的读音不同。对最好读作：“的自然对数”，不能读作“（劳格x）”。 3.充分发挥数学符号的思维功能，让学生理解数学符号的含义和实质，正确使用符号表示概念、运算和推理。在教学中，