2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2.1双曲线的简单几何性质训练案北师大版.docx

3.3.2.1 双曲线的简单几何性质A.基础达标1已知双曲线的渐近线为yx，焦点坐标为(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选D.因为焦点在x轴上，c4，c242a2b2a2(a)24a2，所以a24，b212.所以双曲线方程为1.故选D.2若双曲线1(a0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为()A1 B2C3 D6解析：选B.圆心(2，0)到一条渐近线的距离为.双曲线的渐近线方程为yx，圆心(2，0)到渐近线的距离为，得a1，故双曲线实轴长为2a2.3设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为()A. B.C1 D1解析：选B.由题意知|AB|BC|2c，又ABC120，过B作BDAC，D为垂足，则|AC|2|CD|2|BC|sin 602c，由双曲线定义|AC|BC|2c2c2a，所以e.4已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A.B.C.D.解析：选A.由题意得15，p8，y216x，当x1时，m216，m0，m4.所以M(1，4)，双曲线的左顶点A(，0)，kAM，由题意，所以a.5已知双曲线M的焦点与椭圆1的焦点相同，如果直线yx是双曲线M的一条渐近线，那么M的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D.设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线的焦点为(3，0)，c3，双曲线渐近线方程为yx，故即ba，ca3，得a，b，故双曲线M的方程为1.6以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_解析：双曲线右焦点坐标为(5，0)，双曲线的渐近线方程为yx，该圆的半径等于(5，0)到渐近线的距离，故半径为4，故该圆的标准方程为(x5)2y216，其一般方程为x2y210x90.答案：x2y210x907与双曲线x22y22有共同的渐近线，且过点M(，2)的双曲线方程是_解析：该双曲线的方程可设为x22y2(0)，将M(，2)代入，得6，故该双曲线方程为1.答案：18双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为_解析：由题意当x1时，yx2，所以e21()21，所以e(1，)答案：(1，)9双曲线C与椭圆1有相同的焦点，直线yx为C的一条渐近线，求双曲线C的方程解：由椭圆1，求得两焦点为(2，0)，(2，0)，由已知设双曲线方程为1(a0，b0)则渐近线为yx.因为yx为双曲线C的一条渐近线，所以.又两曲线有相同焦点，对于双曲线C：c2，所以a2b24.解得a21，b23.所以双曲线C的方程为x21.10已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)对于(2)中的点N，求F1NF2的面积解：(1)因为e，故可设等轴双曲线的方程为x2y2(0)，因为过点M(4，)，所以1610，所以6.所以双曲线方程为1.(2)证明：由(1)可知，在双曲线中，ab，所以c2.所以F1(2，0)，F2(2，0)所以(23，m)，(23，m)所以(23)(23)m23m2.因为点N(3，m)在双曲线上，所以9m26，所以m23.所以0.(3)因为F1NF2的底|F1F2|4，高h|m|，所以F1NF2的面积S6.B.能力提升1设F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0解析：选C.设线段PF1的中点为M，由于|PF2|F1F2|.故F2MPF1，即|F2M|2a，在Rt F1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义得4b2c2a，所以2bac，即(2ba)2a2b2，化简得3b24ab0，即3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即4x3y0.2已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，且PF1F22PF2F1，则这个双曲线的离心率是()A. B.2C.1 D.解析：选C.由题意得P在双曲线左支上，F1PF290，又因为PF1F22PF2F1，所以PF2F130，又|F1F2|2c，所以|PF1|c，|PF2|c，|PF2|PF1|(1)c2a，得e1.3若点O和点F(2，0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_解析：由F为左焦点得a23，则双曲线方程为y21.设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x02，y0)x2x0yx2x01x2x011.由点P在双曲线右支上得x0 ，所以32.答案：32，)4已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_解析：根据双曲线的对称性知x轴垂直平分线段AB，0AF2F1，令xc代入1，得y2，所以|yA|yB|，tanAF2F1(0，1)，所以b22ac，又b2c2a2，所以c2a22ac，即c22aca20，所以e22e10，1e1，故e(1，1)答案：(1，1)5已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，1)，一条渐近线与直线3xy10平行，求双曲线的标准方程解：由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线l：3xy10平行，所以，双曲线的一条渐近线方程为3xy0，即y3x.可设双曲线方程为9x2y2(0)由于双曲线过点P(3，1)，所以932(1)2，即80.所以所求双曲线的标准方程为1.6(选做题)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切证明：如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM|PF1|.又根据双曲线的定义，得|PF1|2