2019届高考数学一轮复习 第4单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入作业 理.doc

第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业(二十四)第24讲平面向量的概念及其线性运算基础热身1.下列说法中正确的是()A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线C.向量AB与CD共线,则A,B,C,D四点一定共线D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量2.下列四项中不能化简为AD的是()A.MB+AD-BMB.(MB+AD)+(BC+CM)C.(AB+CD)+BCD.OC-OA+CD3.已知点O为ABC的外接圆的圆心,且OA+OB-OC=0,则ABC的内角A等于()A.30B.60C.90D.1204.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=PD,则实数的值为.5.已知四边形OABC中,CB=12OA,若OA=a,OC=b,则AB=.能力提升6.2017赣州二模 如图K24-1所示,已知AB=a,AC=b,DC=3BD,AE=2EC,则DE=()图K24-1A.34b-13aB.512a-34bC.34a-13bD.512b-34a7.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则AP=()A.(AB+AD),(0,1)B.(AB+BC),0,22C.(AB-AD),(0,1)D.(AB-BC),0,228.2017北京海淀区期末 如图K24-2所示,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD=AC+AE,则-=()图K24-2A.3B.2C.1D.-39.2017鞍山第一中学模拟 已知ABC的外心P满足3AP=AB+AC,则cos A=()A.12B.32C.-13D.3310.2017湖南长郡中学月考 设D,E,F分别是ABC的边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,则AD+BE+CF与BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直11.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是.12.2017哈尔滨三模 在ABC中,已知ABAC,AB=AC,点M满足AM=tAB+(1-t)AC,若BAM=3,则t=.13.(15分)设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.14.(15分)如图K24-3所示,在OCB中,点A是BC的中点,点D满足OD=2BD,DC与OA交于点E.设OA=a,OB=b.(1)用向量a,b表示OC,DC;(2)若OE=OA,求实数的值.图K24-3难点突破15.(5分)2017太原三模 在ABC中,AB=3,AC=2,BAC=60,点P是ABC内一点(含边界),若AP=23AB+AC,则AP的取值范围为()A.2,210+333B.2,83C.0,2133D.2,213316.(5分)如图K24-4所示,将两个直角三角形拼在一起,当E点在线段AB上移动时,若AE=AC+AD,则当取得最大值时,-的值是.图K24-4课时作业(二十五)第25讲平面向量基本定理及坐标表示基础热身1.若a,b是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是()A.a-b,b-aB.a+b,a-bC.2b-3a,6a-4bD.2a+b,a+12b2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,0)D.(4,3) 3.在ABC中,D为BC上一点,且BD=15BC,以向量AB,AC作为一组基底,则AD=()A.15AB+45ACB.25AB+35ACC.35AB+25ACD.45AB+15AC4.2017北京昌平区二模 已知a=(1,3),b=(3,k),若ab,则k=.5.2017合肥一中、马鞍山二中等六校联考 在ABC中,D为边BC上靠近点B的三等分点,连接AD,E为AD的中点,若CE=mAB+nAC,则m+n=.能力提升6.2017广州月考 已知点A(1,-1),B(2,t),若向量AB=(1,3),则t=()A.2B.3C.4D.-27.已知向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=c(R),则+x的值为()A.-112B.112C.-292D.2928.2017吉林梅河口一模 向量a,b,c在正方形网格中的位置如图K25-1所示,若c=a+b(,R),则=()图K25-1A.2B.4C.5D.79.2017四川凉山一诊 设向量a=(cos x,-sin x),b=-cos2-x,cos x,且a=tb,t0,则sin 2x=()A.1B.-1C.1D.010.如图K25-2所示,在ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=m+29AB+29BC,则实数m的值为()图K25-2A.19B.13C.1D.311.2017株洲一模 平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且AB与BC共线,则x=.12.2017潮州二模 在ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点.若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=(用坐标表示).13.(15分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.14.(15分)2017太原模拟 已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.难点突破15.(5分)2017湖北重点中学联考 已知G为ADE的重心,点P为DEG内一点(含边界),B,C分别为AD,AE上的三等分点(B,C均靠近点A),若AP=AB+AC(,R),则+12的取值范围是()A.1,2B.1,32C.32,2D.32,316.(5分)2017四川资阳三诊 在直角梯形ABCD中,ABAD,ADBC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD的中点,以A为圆心,AD为半径的半圆分别交BA及BA的延长线于点M,N,点P在MDN 上运动(如图K25-3所示).若AP=AE+BF,其中,R,则2-5的取值范围为()A.-2,2B.-2,22C.-22,2D.-22,22图K25-3课时作业(二十六)第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例基础热身1.2017贵阳二模 已知向量a,b满足|a+b|=23,ab=2,则|a-b|=()A.8B.4C.2D.12.已知a=(1,2),b=(-1,3),则|2a-b|=()A.2B.2C.10D.103.2017北京东城区二模 已知向量a=(1,2),b=(x,4),且ab,则x=()A.-2B.-4C.-8D.-164.2017唐山模拟 已知向量a=(3,-1),b=(2,1),则a在b方向上的投影为.5.2017南充三诊 已知平面向量a,b满足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为.能力提升6.2017东莞模拟 已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角为120,则|a-3b|=()A.7B.10C.13D.47.2017鹰潭模拟 已知向量a=(1,2),b=(x,-1),若a(a-b),则ab=()A.-52B.52C.2D.-28.已知向量AB与AC的夹角为120,且AB=2,AC=4,若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为()A.45B.-45C.25D.-259.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+b(R),向量d如图K26-1所示,则()图K26-1A.存在0,使cdB.存在0,使=60C.存在0,使=30D.存在0,使c=md(m是不为0的常数)10.已知非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|BC=0,且AB|AB|AC|AC|=-12,则ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰非等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形11.若向量a与b的夹角为3,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为.12.2017武汉模拟 已知平面向量a,b满足a=1,a与b-a的夹角为60,记m=a+(1-)b (R),则m的取值范围为.13.(15分)2017黄山模拟 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(3,1),n=(cos A+1,sin A),且mn=2+3.(1)求角A的大小;(2)若a=3,cos B=33,求ABC的面积.14.(15分)已知向量a=sinx+6,1,b=(4,4cos x-3).(1)若ab,求sinx+43的值;(2)设f(x)=ab,若0,2,f-6=23,求cos 的值.难点突破15.(5分)2017上饶重点中学联考 在等腰三角形AOB中,若OA=OB=5,且|OA+OB|12|AB|,则OAOB的取值范围为()A.-15,25)B.-15,15C.0,25D.0,1516.(5分)已知ABC的外接圆的圆心为O,AB=23,AC=22,A为钝角,M是BC的中点,则AMAO=()A.3B.4C.5D.6课时作业(二十七)第27讲数系的扩充与复数的引入基础热身1.设i为虚数单位,则i3+i5=()A.0B.1C.-1D.22.2017遂宁三诊 复数z=cos23+isin3在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.2017豫北重点中学联考 复数z=(2+3i)i的实部与虚部之和为()A.1B.-1C.5D.-54.2017石家庄三模 复数2i1+i=.5.设i为虚数单位,复数z1=1-2i,z2=4+3i,则|z1+z2|=.能力提升6.2017山西实验中学联考 若复数z满足ziz-i=1,其中i为虚数单位,则复数z的共轭复数为()A.-12+i2B.-12-i2C.12-i2D.12+i27.2017成都三诊 已知复数z1=2+6i,z2=-2i.若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则z=()A.5B.5C.25D.2178.2017大同三模 如图K27-1所示的网格纸中小正方形的边长是1,复平面内点Z对应的复数z满足(z1-i)z=1,则复数z1=()图K27-1A.-25+45iB.25+45iC.25-45iD.-25-45i9.2017长郡中学模拟 若复数z=a+2i(aR),且满足4zz-1=|-i|,则a=()A.1B.1C.2D.210.2017抚州第一中学模拟 已知集合A=N,B=xR|z=3+xi,且|z|=5(i为虚数单位),则AB=()A.4B.-4C.4D.-411.2017广元三诊 欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e3i表示的复数的模为()A.12B.1C.32D.312.已知复数z=i20171-2i,则复数z的虚部为.13.2017郑州模拟 已知a+ii=b+2i(a,bR),其中i为虚数单位,则a-b=.14.2017池州联考 已知复数z=2+ai1+2i,其中a为整数,且z在复平面内对应的点在第四象限,则a的最大值为.难点突破15.(5分)2017枣庄模拟 已知m为实数,i为虚数单位,若m+(m2-4)i0,则m+2i2-2i=()A.iB.1C.-iD.-116.(5分)2017鹰潭模拟 “复数z=1sin+cosi-12(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“=6+2k(kZ)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 课时作业(二十四)1.D解析 当b=0时,a与c不一定共线,A错误;如图所示,a=AB,c=BC,b=BD,b与a,c均不共线,但a与c共线,B错误;在ABCD中,AB与CD共线,但A,B,C,D四点不共线,C错误;若a与b中有一个为零向量,则a与b一定共线,当a与b不共线时,a与b一定都是非零向量,故D正确.2.A解析 根据向量的线性运算可知,MB+AD-BM=2MB+ADAD,故选A.3.A解析 由OA+OB-OC=0得OA+OB=OC,如图所示,由O为ABC的外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且CAO=60,故A=30.故选A.4.-2解析 因为D是BC的中点,所以AB+AC=2AD.由PA+BP+CP=0,得BA=PC.又AP=PD,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点(如图所示),因此AP=AB+AC=2AD=-2PD,所以=-2.5.-12a+b解析 AB=OB-OA,OB=OC+CB=b+12a,所以AB=b+12a-a=b-12a.6.D解析 由平面向量的三角形法则可知,DE=DC+CE=34BC+-13AC=34(AC-AB)-13AC=-34AB+512AC=-34a+512b,故选D.7.A解析 根据向量的平行四边形法则,得 AC=AB+AD.因为点P在对角线AC上(不包括端点A,C),所以AP与AC共线,所以AP=AC=(AB+AD),(0,1),故选A.8.D解析 E是DC的中点,AE=12(AC+AD),AD=-AC+2AE,=-1,=2,则-=-1-2=-3.9.A解析 设点D为BC的中点,则AB+AC=2AD,结合题意可得2AD=3AP,据此可知ABC的外心与重心重合,则ABC是等边三角形,所以cos A=cos 3=12,故选A.10.A解析 因为DC=2BD,所以BD=13BC,则AD=BD-BA=13BC-BA,同理BE=13BC+23BA,CF=13BA-BC,则AD+BE+CF=-13BC,即AD+BE+CF与BC反向平行,故选A.11.梯形解析 由已知得AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,故AD与BC共线,且|AD|BC,所以四边形ABCD是梯形.12.3-12解析 由题意可得AM=tAB+AC-tAC,所以AM-AC=tAB-tAC,即CM=tCB,所以CM与CB共线,即B,M,C三点共线,且t=|CM|CB|.又由条件知BC=2AC,所以t=|CM|2|AC|.在ABC中,由正弦定理知|CM|AC|=sin30sin105=126+24=26+2,所以t=22(6+2)=3-12.13.解:(1)证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,AB与BD共线.又AB与BD有公共点B,A,B,D三点共线.(2)若ka+b与a+kb共线,则存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a与b是不共线的非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0,k=1. 14.解:(1)OA=12(OB+OC),OC=2OA-OB=2a-b,DC=OC-OD=OC-23OB=2a-53b.(2)D,E,C三点共线,DE=mDC=2ma-53mb(0m1).在ODE中,DE=OE-OD=OA-23OB=a-23b.由得2ma-53mb=a-23b,即2m=,-53m=-23,解得m=25,=45.15.D解析 在AB上取一点D,使得AD=23AB,过D作DHAC,交BC于H.AP=23AB+AC,且点P是ABC内一点(含边界),点P在线段DH上.当P在D点时,|AP|取得最小值2;当P在H点时,|AP|取得最大值,此时B,P,C三点共线,AP=23AB+AC,=13,AP=13AC+23AB,AP2=19AC2+49AB2+49ABAC=529,|AP|=2133.故|AP|的取值范围为2,2133.故选D.16.3-2解析 如图所示,作BMAD交AC于M,作BNAC交AD于N,则AMBN且AM=BN.由题意知,当取得最大值时,点E与点B重合.在RtABC中,AB=12AC,在ABM中,由正弦定理得AM=|AB|sin45sin75=3-12AC,则max=|AM|AC|=3-12.又在RtABD中,AB=22|AD|,在ABN中,由正弦定理得AN=|AB|sin60sin75=3-32|AD|,则=|AN|AD|=3-32,-=3-2.课时作业(二十五)1.B解析 显然向量a+b与向量a-b不共线,故选B.2.A解析 易得b-a=(3-1,1-2)=(2,-1),故选A.3.D解析 由题意得AD=AB+BD=AB+15(AC-AB)=45AB+15AC,故选D. 4.3解析 a=(1,3),b=(3,k),ab,k1-33=0,k=3.5.-12解析 由图可知CE=12(CD+CA)=1223CB-AC=13(AB-AC)-12AC=13AB-56AC,m+n=13-56=-12.6.A解析 由题意得AB=(2-1,t+1)=(1,3),则t+1=3,解得t=2,故选A.7.C解析 由已知可得(1,2)+(-3,5)=(4,x),4=-2,x=7,=-12,x=-14,+x=-292,故选C.8.B解析 以a的终点,b的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由题意得c=(-+6,+2)=(-1,-3),则有-+6=-1,+2=-3,解得=-2,=-12,故=4.9.C解析 因为b=-cos2-x,cos x=(-sin x,cos x),a=tb,所以cos xcos x-(-sin x)(-sin x)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,即tan x=1,所以x=k2+4(kZ),则2x=k+2(kZ),所以sin 2x=1,故选C.10.A解析 AP=m+29AB+29BC =mAB+29AC,设BP=tBN(0t1),则AP=AB+BP=AB+t(BC+CN)=AB+tBC-34AC=(1-t)AB+14tAC,所以m=1-t且t4=29,故m=1-t=1-89=19,故选A.11.1解析 由题知AB=(3,6),BC=(x-3,-4).因为AB与BC共线,所以3(-4)-6(x-3)=0,解得x=1.12.(-6,21)解析 依题意得BC=3PC.因为点Q是AC的中点,所以PA+PC=2PQ,所以PC=2PQ-PA=(-2,7),故BC=3PC=(-6,21). 13.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=-1,n=-1. (3)设O为坐标原点,CM=OM-OC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又CN=ON-OC=-2b,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),MN=(9,-18).14.解:(1)OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时,则有4t20,2t1+4t20,故所求的充要条件为t20且t1+2t20.(2)证明:当t1=1时,由(1)知OM=(4t2,4t2+2).因为AB=OB-OA=(4,4),所以AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB,又AB与AM有公共点A,所以不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.15.D解析 由题意可知,点P位于D,E,G三点时,+12取得最值.当点P在点D处时,=3,=0,则+12=3;当点P在点E处时,=0,=3,则+12=32;当点P在点G处时,=1,=1,则+12=32.故选D.16.C解析 建立平面直角坐标系如图所示,则B(2,0),D(0,1),E(2,1),F1,32.设P(cos ,sin )(0),由AP=AE+BF得(cos ,sin )=(2,1)+-1,32,则2-5=2cos -2sin =22sin+34,又0,所以34+3474,则-2222sin+342,所以2-5的取值范围是-22,2,故选C.课时作业(二十六)1.C解析 |a-b|2=(a-b)2=(a+b)2-4ab=(23)2-42=4,|a-b|=2.故选C.2.D解析 2a-b=2(1,2)-(-1,3)=(3,1),|2a-b|=32+12=10,故选D. 3.C解析 ab,ab=x+8=0,x=-8,故选C.4.5解析 a在b方向上的投影为ab|b|=32+(-1)122+12=5.5.32解析 a(a+b)=a2+ab=3,ab=-1,cos=ab|a|b|=-12,向量a与b夹角的正弦值为32.6.C解析 |a-3b|2=a2-6ab+9b2=1-6cos 120+9=13,所以|a-3b|=13.7.A解析 由题意得a-b=(1-x,3).a(a-b),13=2(1-x),解得x=-12,则ab=1-12+2(-1)=-52.8.C解析 因为ABAC=24cos 120=-4,所以APBC=(AB+AC)(AC-AB)=-4+16-4+4=0,解得=25,故选C.9.D解析 由图知d=(4,3),由题得c=a+b=(1,).若cd,则4+3=0,解得=-43,故A错误;若向量c与d的夹角为60,则有4+3=51+2cos 60,即112+96+39=0,有两个负根,故B错误;若向量c与d的夹角为30,则有4+3=51+2cos 30,即392-96+11=0,有两个正根,故C错误;若向量c与d共线,则有4=3,解得=340,故选D.10.B解析 AB|AB|表示与AB同向的单位向量,AC|AC|表示与AC同向的单位向量,所以AB|AB|+AC|AC|表示以与AB同向的单位向量和与AC同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线.因为AB|AB|+AC|AC|BC=0,所以AB=AC,又由AB|AB| AC|AC|=-12得AB与AC的夹角为120,所以ABC为等腰非等边三角形,故选B.11.6解析 由题意得ab=2112=1,则a(a+2b)=a2+2ab=22+21=6,|a+2b|=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=23,所以cos=a(a+2b)|a+2b|a|=6232=32,则a与a+2b的夹角为6.12.32,+解析 如图所示,设OA=a,OB=b,OC=m,则|OA|=1,OAB=120.m=a+(1-)b(R),A,B,C三点共线.点O到直线AB的距离为|OA|sin 60=32,|OC|32,|m|的取值范围为32,+.13.解:(1) mn=3cos A+3+sin A=2sinA+3+3=2+3,sinA+3=1.又0A,A=6.(2)cos B=33,sin B=63,由bsinB=asinA得b=36312=22,SABC=12absin C=12322sin(A+B)=6(sin Acos B+cos Asin B)=22+3.14.解:(1)因为ab,所以ab=4sinx+6+4cos x-3 =23sin x+6cos x-3=43sinx+3-3=0,所以sinx+3=14,所以sinx+43=-sinx+3=-14.(2)由(1)知f(x)=43sinx+3-3,所以由f-6=23得sin+6=34.又0,2,所以+66,23,又因为3432,所以+66,3,所以cos+6=74,所以cos =cos+6-6=cos+6cos6+sin+6sin6=7432+3412=3+218.15.A解析 |OA+OB|12|AB|=12|OB-OA|,所以|OA+OB|214|OB-OA|2,即(OA+OB)214(OB-OA)2,所以OA2+2OAOB+OB214(OB2-2OAOB+OA2),即52+2OAOB+5214(52-2OAOB+52),则OAOB-15.又OAOB|OA|OB|=55=25,当且仅当OA与OB同向时取等号,因此上式等号