“失控”难得--收获喜人.doc

“失控”难得， 收获喜人记新课程理念下的一堂数学课谢平（兰州四中 甘肃 兰州 730050） “动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.” 这是普通高中新课程标准强调的教学理念.作为一线的教师，笔者在教学中不断地尝试着用新的课程理念指导教学,力求让每节课出新、出彩、出亮点.而正是这些新理念，使我的一堂数学课“失控”了，课堂教学的过程与我的预设相去甚远，然而，正是这样的“失控”，却成就了一次真正“双赢”的教学.收获了意外的喜人效果.下面笔者将这节课的过程描述及课后反思奉献给大家.1 教学实录11温故知新，例题讲解那是九月的一个早晨，笔者和往常一样，经过精心解读教材、精心备课之后，带着想法、带着教育梦想、带着智慧走进高二（1）班课堂，这个班的数学基础比较好，学生上课积极投入，喜欢讨论发言.本节课的重点是由已知条件求直线方程.笔者在备课时准备四道典型例题，第一道例题如下：已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点、，求取得最小值时直线的方程.该题目的知识点是由已知条件求直线方程，难点是直线方程形式的选用.可选用直线的点斜式方程，也可选用直线的截距式方程.笔者选用了运算相对简单的后者.分析 设直线方程为：0，0），由题设有1=，故.所以=的最小值等于8，当且仅当即时等号成立，所求直线的方程为：.12变式演练，课堂“失控”美籍匈牙利数学家G波利亚对解题后的思考有着精辟的论述：“不断变换你的问题；我们必须一再的变换它；重新叙述它；变换它；直至最后成功地找到某些有用的东西为至.” 笔者正是在这一思想下将例题中的改为+，使得问题变形为：求+取得最小值时直线的方程.笔者的初衷是想通过变式练习，让学生巩固前面学过的均值不等式，进一步培养学生研究问题和解决问题的能力.同时，这种螺旋式、往复递进的复习对学生恒久掌握知识有很好的效果，更可以拓展教学的外延.按照笔者平常的惯例，先让学生动手思考，然后提问讲评，最后总结解题方法.学生们动手非常积极，还不时的讨论着，很快有了结果.学生1：先求+的最小值，即的最小值，由，得=，故=+的最小值为，当且仅当时等号成立，所以+取得最小值时直线的方程为.1.2.1一石激起千层浪学生1的解法在学生中引起了一阵骚动，还没等他坐下，笔者更没有来得及讲评，只听见其余同学七嘴八舌，议论纷纷，教室里一下子沸腾了.学生2：上式在当时取等号，与在当，即时取等号是相矛盾的，所以这种解法是错误.学生3（大声说：“我用均值凑数法”）： 因为 =1，且=（=1+2，当且仅当时等号成立，所以=+取得最小值的直线的方程为.学生4：学生3的解法中等号成立的条件是，不满足 =1 .因此，该解法也是错误的.学生5（直接站起来大声说：“1的巧代法”）：因为 =1，所以）=1+2+，当且仅当即时取等号，此时，直线的方程为：；学生6（我还可以用减少变量个数的方法做）：由=1得：，由图可知，则，当且仅当时取等号，此时，直线的方程为：；面对“乱哄哄”的学生们，笔者心中不禁犹豫起来，怎么办？讲解吧，超出了备课的范围；不讲吧，新课程理念告诫笔者，教师是学生亲密的合作伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解和尊重.在课堂上，教师应当和学生建立和谐的教学关系，要允许学生发散想象，鼓励学生大胆提出问题，和学生共同讨论，把课堂建设成一种师生共同探索研究的学习氛围.更何况笔者经常用波利亚的“你能用不同方式导出这一结果吗”这一名句引导学生思考.想到这，笔者不免有点汗颜.1.2.2风卷海浪花万朵在静听、关注学生的同时，受学生的启发，笔者慢慢地回过了神，心中略知一二.环视了一下苦思的学生说：“看来这是一个值得探究的问题，让我们来一个思维群英会！请把不同的想法都展示出来.“学生7（有点不好意思，和学生4的解法大同小异）：由=1得：，由图可知1；则，当且仅当时取等号，此时，直线的方程为：；师：非常好！学生8（笑嘻嘻地）：我想应该可以用三角函数法，可是没有做出来.（教室里又是一阵哄堂大笑）师：用三角函数求最值是一种常用方法，但是，需要引进一个参数，如何引进？学生9（自信地站起来说：“我能用三角函数做”）：过向轴、轴作垂线，垂足分别为、，并设=，则=，当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为：.学生9的说法赢来一片赞叹声.学生的思维像丝瓜的藤蔓一般攀缘而上，潜藏的智慧不由自主地泉涌与“井喷”.一时间，笔者似乎对课堂失去了“控制”.略做梳理之后，笔者发现他们的解法虽然有些是对的，有些是错的，但不管结果怎样，同学们迸发出的思维火花，让我十分惊讶.同时，笔者知道：在新课程理念下，教师必须理智地对待突发的课堂生成，灵活地调整教学策略，及时捕捉教育契机和智慧火花，巧妙地选择有价值的问题作为“节点”，或顺水推舟，或见风使舵，或将计就计，或借题发挥，有效的激活学生的思维，激发学生的学习热情，真正“让课堂焕发生命活力”.因此，这是一个提高学生思维质量，拓宽学生思维境界的良好契机.错误的解法反而是很好的教育素材，让学生在错误中去感悟正确的解题思路，也是一种有效的教学策略. 紧接着，笔者先让学生在黑板上板演各种不同的解法，然后和学生一起总结前面的各钟解法，这时发现：学生1的解法中等号成立的条件既要满足，又要满足 .这样的条件自相矛盾，因此，该解法是错误的.学生3的解法中等号成立的条件是，不满足 =1 .因此，该解法也是错误的.前两种错误的原因在于多次运用均值不等式求最值，没有注意等号成立的条件.学生5、6、7、9的解法都是依据均值不等式求最值，其中等号成立的条件都是：当且仅当时取等号，因此，+的最小值为.此时，所求直线的方程为：；通过6种解法的探讨，学生不仅求出了满足条件的直线方程，而且更深刻地理解了均值不等式中“一正、二定、三相等”中相等的含义.为了更进一步明晰刚才暴露的知识“盲点”，笔者又编了这样一道变式练习：若正数、满足，求的最小值.这次学生很快就解了出来：=（）（）=（4+1+）=.当且仅当，时取等号.1.3千招易得，一问难求苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者.”正当笔者美滋滋地认为这个问题已经圆满解决的时候，谁知学生10（总爱找点“麻烦”）又站了起来.学生10：学生3的“均值凑数法”在解决某些类似问题时答案是正确的，但在本题中解法为什么是错误的呢？学生3的思路还能“挽救”吗？想想平时，学生在课堂上总是“挽救”笔者刻意“制造”的错误解法，笔者不禁哑口无言.学生们也很快沉寂下去，好半天没有反应.与此同时，笔者也在快速思考，在思路还没生成以前，笔者准备把“球”踢给学生.师：如何构造等号成立的条件呢？学生11（班上的数学“尖子”）：能挽救！只需要引进一个参数即可：设0,则=（；当且仅当，即，时等号成立，代入，得，故时， +的最小值为，此时，所求直线的方程为：.学生11一气呵成的回答赢得了同学们雷鸣般的掌声，笔者不禁拍案叫绝.面对学生，笔者不得不承认“师未必贤于弟子，弟子不必不如师.”这句古话.看到学生脸上洋溢的笑容，笔者内心产生了一种从未有过的喜悦和享受！14水到渠成，顺势而发接着笔者总结刚才的各种解法，同学们都赞成学生5的解法是这种题型最简便的解法.而这种解法正是笔者准备的解法.看到学生们兴致勃勃地分享着自己的“思维果实”，看着每个人脸上洋溢的笑容，笔者的情绪也深深地受到感染.学生的思维火花同时也唤醒了我心灵深处潜藏的智慧.笔者自己也“失控”了，联想到柯西不等式也可以用来求解这类最值问题，干脆趁热打铁，让学生“跳一小步，摘一大桃”.师：你们的思维太活跃了，想分享老师的思维果实吗？生：想！师：请看：根据柯西不等式的二维形式：当且仅当时等号成立.因此， 即可得：，当且仅当，即时等号成立，+的最小值为，此时，所求直线的方程为：.下课的铃声惊醒了深深陶醉在各种精彩思维中的笔者和同学们，此时此刻，笔者才发现课前准备的四道例题只完成了一道2 课后反思21师生互动是课堂的生命线新课标指出，数学教学活动应是教师组织下的师生、生生的多边活动.这堂课结束后，笔者感到很兴奋，也很成功.主要是因为师生在交流过程中，真正实现了情感的交融.在情绪相互感染、思维火花相互碰撞中，师生相辅相称地共同构建了教学内容.虽然，笔者在备课时并没有想到这么多的方法，也没有完成预设的教学计划，甚至有悖于教学重点；但是，笔者心中却滋生了从没有过的兴奋.学生解决问题的多种思路，尤其是学生10找的“麻烦”，学生11一气呵成的解答，更是锦上添花，使笔者和其他学生也生成了许多意想不到的收获既肯定了学生正确的一面，又通过引导让学生自己从错误中走了出来，培养了学生的批判能力和研究问题的能力，为笔者今后的教学提供了很好的素材.这是生对师的启发和促动.而柯西不等式的提出，却又是师对生的促动.出乎意料之外，却又在情理之中.从课后作业反馈来看，学生对知识的掌握收到了意外的效果.而且，在以后的教学中学生还经常提到柯西不等式，说明这节课对他们影响之深.因此，这虽然是一堂“失控”的数学课，却更是一堂很“有效”的数学课！对笔者而言，这不仅是一种享受，更是一种提高.22以人为本，和谐发展“以人为本，突出学生的发展”是新课标的基本理念之一，而课堂教学方式的改变则是促进学生发展的关键.联想我们平时的教学，要求备课尽可能仔细、充分，但是备课再仔细、再充分，也不可能预见课堂教学中可能发生的一切，出现“失控”是在所难免的.有时候，课堂因无法预约而精彩，因节外生枝而生动.这是新课程提倡的课堂教学，也是许多教师孜孜以求的教学效果.苏霍姆林斯基曾说：“教育的技巧并不在于能预见课堂的每个细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙的在学生不知不觉中做出了相应的变动.”这一精辟之论道明了教学中必须面对突变的课堂情景，“意外”对教师来说是一种重要的教学资源，它能产生意想不到的教学好效果.而且，教师要善于对待学生的发问.不能为了所谓的“教学任务”，敷衍了事，更不能为了所谓