2018年高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象（选学）课件 新人教B版必修1.ppt

2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学),一,二,三,一、奇偶函数的定义【问题思考】,提示:y=的定义域为x|x0,经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得:若x的取值互为相反数,则其函数值相等.即对xx|x0总有f(-x)=f(x)成立,我们把这类函数称为偶函数.(2)你还能得出函数f(x)=x5在xR时仍有上述(1)问中的规律吗?提示:f(x)=x5满足的规律是对xR,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把这类函数称为奇函数.2.一个函数具有奇偶性,其定义域有什么特点?提示:一个函数若具有奇偶性,其定义域一定关于原点对称,这等价于定义中的“对D内的任意一个x,都有-xD”这一说法.,一,二,三,3.填写下表:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,一,二,三,4.做一做:(1)下列函数是偶函数的为()A.y=2|x|-1,x-1,2B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x-1,0)(0,1答案:D(2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=-x2C.y=D.y=x|x|答案:D,一,二,三,二、奇、偶函数的图象特征【问题思考】1.如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?提示:f(x)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.2.若f(x)为奇函数,且点(x,f(x)在其图象上,则哪一个点一定在其图象上?若f(x)为偶函数呢?提示:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x)一定在其图象上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x)一定在其图象上.,一,二,三,3.填空.(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.名师点拨奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0a0时,f(x)=x|x-2|,求当x0.f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).f(x)=x|x+2|.故当x0时的解析式,则x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x0时的解析式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,若本例题中题干不变,如何求当x0时,f(x)的表达式?解:只需将f(0)单独求出.因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0.又因为f(x)=x|x+2|,x0,所以f(x)=x|x+2|,x0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,奇、偶函数图象的应用【例3】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)解析:由偶函数f(x)在(-,0上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在0,+)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如图的草图.由图可知使f(x)0的x的取值范围是(-,-2)(2,+),故选C.答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.研究函数图象时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性.2.利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图象)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图象),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2奇函数f(x)的定义域为-5,5,它在y轴右侧的图象如图所示,则f(x)0;x(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0,或2x5.答案:x|-2x0,或2x0,x0的情况分别说明,不能简单地比较f(-x)与f(x).,1,2,3,4,5,6,1.下列函数是偶函数的为()A.f(x)=x2B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x+x3答案:A,1,2,3,4,5,6,2.有下列说法:偶函数的图象一定与y轴相交;若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,xR;若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图象.其中不正确的是()A.B.C.D.解析:中可举反例f(x)=x2+2,x(-,-2)(2,+);中f(x)在x=0处可能无定义;中也可以是f(x)=0,xA(A为关于原点对称的数集);中该图形可能不是函数的图象.故均错误.答案:D,1,2,3,4,5,6,3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.解析:f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,25+523+2b=-18.f(2)=25+235+2b-8=-18-8=-26.答案:-26,1,2,3,4,5,6,4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x(-,0)时,f(x)=x-x4;当x(0,+)时,f(x)=.解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,即答案为-x-x4.方法二:设x(0,+),则-x(-,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x).f(x)在区间(0,+)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.答案:-x-x4,1,2,3,4,5,6,5.函数f(x)(xR),若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数.证明:令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x