2019高考数学二轮复习 第8讲 三角恒等变换与正、余弦定理专题突破 文.doc

第8讲三角恒等变换与正、余弦定理1.(1)2016全国卷 已知是第四象限角,且sin+=,则tan-=.(2)2017全国卷 已知,tan =2,则cos-=.试做_命题角度不同名三角函数的求值(1)解决“已知角”与“所求角”不同名的求值问题:关键一,根据“所求角”与“已知角”的和或差的关系进行“变角”,对角的分拆要尽可能化成同角、补角、余角或特殊角;关键二,利用诱导公式进行“变名”求值.(2)常见的配角技巧:2=(+)+(-),=(+)-,=-,=+,=+-+,+-=等.2.(1)2016全国卷 若tan =-,则cos 2=()A.-B.-C.D.(2)2013全国卷 已知sin 2=,则cos2=()A.B.C. D.试做_命题角度求高次幂或倍角的三角函数值问题(1)解决已知正切值,求高次幂或倍角的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将倍角转化为“已知角”;关键二,“1”的代换,1=sin2+cos2=(sin +cos )2-2sin cos ;关键三,弦切互化,tan =.(2)解决已知倍角值,求高次幂的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将高次幂的三角函数转化为倍角;关键二,利用诱导公式进行变名求值.3.(1)2017全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.(2)2018全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.(3)2014全国卷 如图M2-8-1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45,以及MAC=75,从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.图M2-8-1 试做_命题角度正、余弦定理的应用(1)利用正、余弦定理求边、角的解题策略:关键一,利用正、余弦定理进行边角互化;关键二,运用三角恒等变换和A+B+C=进行化简、消元,求出所求角;关键三,已知两边和一边的对角或已知两角和一边,则选用正弦定理解三角形.(2)利用正、余弦定理,解决实际问题的一般步骤:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.小题1三角恒等变换与求值1 (1)2018全国卷 已知tan=,则tan =.(2)若sin-=,则cos+2=()A.B.C.-D.-听课笔记 _【考场点拨】高考中三角恒等变换与求值的常用解题策略:(1)“1”的代换,1=sin2+cos2;(2)降幂与升幂,二倍角公式的应用及逆用;(3)转化法,弦切互化,一般是切化弦;(4)角的拆分,2=(+)+(-),2=(+)-(-),=(+)-,=(+)-等.【自我检测】1.已知cos =,则sin-2= ()A.-B.C.D.-2.已知cos+=2cos(-),则tan+=()A.-B.-3C.D.33.已知sin +cos =,则sin2-=()A.B.C.D.4.2018全国卷 已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为3B.f(x)的最小正周期为,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4小题2利用正、余弦定理解三角形2 (1)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+c=20,三角形的面积为10,A=60,则a=()A.7B.8C.5D.6(2)在ABC中,若满足acos A=bcos B,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形听课笔记 _【考场点拨】高考中利用正、余弦定理解三角形的解题策略:在解三角形时,要有意识地考虑哪个定理更适合解题,甚至两个定理都需要,当给的条件含有角的余弦或边的二次式时,多考虑余弦定理,当给的条件含有角的正弦或边的一次式时,多考虑正弦定理.当以上特征不明显时,要考虑哪个定理更适合或者两个定理都要用.【自我检测】1.2018全国卷 在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.22.在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则SABC=()A.B.C.D.23.已知锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是()A.0,B.,C.,D.0,4.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=,则cos 2A=.小题3正、余弦定理的实际应用3 已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度方向的150 km处,以v km/h沿正西方向快速移动,2.5 h后到达距城市A西偏北(为锐角)度方向的200 km处,若cos =cos ,则v=()A.60B.80C.100D.125听课笔记 _【考场点拨】高考中三角形的应用的解题策略:三角形的应用实际上是把此类问题转化为解三角形问题,通过题设画出图形,在三角形中找出已知条件和所求的量,利用正弦定理或者余弦定理去解决.【自我检测】1.如图M2-8-2,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度图M2-8-2BC等于()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m2.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望B岛和C岛成60的视角,从B岛望A岛和C岛成75的视角,则B,C间的距离是()A.5 n mileB.10 n mileC. n mileD.5 n mile第8讲三角恒等变换与正、余弦定理 典型真题研析1.(1)-(2)解析 (1)方法一:因为是第四象限角,且sin+=0,所以+为第一象限角,所以cos+=,所以tan-=tan+-=-cot+=-=-.方法二:由sin+=,得sin +cos =,两边分别平方得2sin cos =-,所以(sin -cos )2=1-2sin cos =.因为是第四象限角,所以sin -cos =-,所以tan-=-.(2)因为,tan =2,所以sin =,cos =,于是cos=(cos +sin )=.2.(1)D(2)A解析 (1)cos 2=.(2)cos2=,故选A.3.(1)B(2)(3)150解析 (1)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=(sin A+cos A)sin C=0,所以sin A=-cos A,得A=.又由正弦定理=,得=,解得sin C=,所以C=.(2)由b2+c2-a2=8 得2bccos A=8,可知A为锐角,且bccos A=4.由已知及正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,因为sin B0,sin C0,所以可得sin A=,所以A=30,所以bccos 30=4,即bc=,所以ABC 的面积S=bcsin A=.(3)在RtABC中,BC=100,CAB=45,所以AC=100.在MAC中,MAC=75,MCA=60,所以AMC=45,由正弦定理有=,即AM=100 =100,于是在RtAMN中,有MN=sin 60100=150 . 考点考法探究小题1 例1(1)(2)D解析 (1)tan =tan -+=.(2)sin-=sin-+=cos+=,cos+2=cos 2+=2cos2+-1=-.故选D.【自我检测】1.A解析 sin-2=cos 2=2cos2-1=2-1=-,故选A.2.B解析 由cos+=2cos(-),可得-sin =-2cos ,得tan =2,则tan+=-3,故选B.3.B解析 将sin +cos =两边平方得1+2sin cos =,即sin 2=-,因为sin2-=,所以sin2-=.故选B.4.B解析 由题知,f(x)=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为=,当cos 2x=1时,f(x)取得最大值4,故选B.小题2 例2(1)A(2)D解析 (1)由题意可得,SABC=bcsin A=bcsin 60=10,bc=40,a+b+c=20,20-a=b+c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos 60=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,得a=7,故选A.(2)在ABC中,acos A=bcos B,由正弦定理=2R,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,sin Acos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B,sin 2A=sin 2B,2A=2B或2A=-2B,A=B或A+B=,ABC为等腰或直角三角形,故选D.【自我检测】1.A解析 由已知得cos C=2cos2-1=22-1=-,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=25+1-251-=32,所以AB=4,故选A.2.C解析 角A,B,C依次成等差数列,B=60,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,c=2,SABC=acsin B=,故选C.3.C解析 b2=a2+c2-2accos B,b2=a(a+c),ac=c2-2accos B,a=c-2acos B,sin A=sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin(B-A).ABC为锐角三角形,A=B-A,B=2A.0A,0B=2A,0C=-A-B=-3A,A,=sin A,故选C.4.解析 因为b2+c2-a2=2bccos A,由S=得b2+c2-a2=16S,即2bccos A=16bcsin A,所以cos A=4sin A,所以cos2A=16(1-cos2A),得cos2A=,所以cos 2A=2cos2A-1=2-1=.小题3 例3C 解析 由题意画出示意图,如图所示,在ABC中,BC=2.5v,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2200150cos(+),由正弦定理得=,即sin =sin .由sin2+cos2=1得sin =,故cos =,sin =,cos =,故cos(+)=-=0,代入得v=100.故选C.【自我检测】1.C解析 AC=120,AB=,由正弦定理得=,所以BC=120(-1),故选C.2.D解析 根据题意知AB=10,A=60,B=75,则C=45,=,BC=5.故选D.备选理由 在三角恒等变形时,有一种方法是转化法:弦切互化,一般是切化弦,但有时也互化解决问题,备用例1是弦化切的典型应用;解三角形时有时会涉及最值问题,解决的方法常用到三角函数的有界性、基本不等式等,备用例2作为例2的补充.例1配例1使用 已知tan-=,则sin2