小学数学中基本数学思想的类别与内涵.pdf

第 卷第期 年月 ， ， ， 核心素养研究 小学数学中基本数学思想的类别与内涵 刘加霞 （ 北京教育学院 初等教育系，北京 ） 摘要： 数学思想的内容非常丰富，不同人对其有不同理解。从个方面阐述小 学数学中包含的个层面种基本数学思想：从数学学科实质角度看有抽象、推理 与模型；从人类认识事物本源角度看有分类、结构化与对应；从数学问题解决方法 角度看有数形结合和化归思想。并分别阐述了这种基本数学思想的内涵以及在小 学数学教学内容中的具体表现。 关键词： 小学数学；基本数学思想；具体表现 中图分类号： 文献标志码： 文章编号： （ ） 收稿日期： 作者简介：刘加霞， 年生，女，吉林敦化人，北京教育学院初等教育系教师，教授，主要从事数学教育和教师教育研究。 数学思想是数学文化的实质和主要表现形 式，在文化传承中数学思想是最重要的内容。数 学思想的内容可以说 “ 博大精深” ，其应用处处 可见、可感。因此，了解小学阶段能够渗透哪些 基本数学思想至关重要，只有了解了这些基本数 学思想的内涵与实质，才能在教学中有效落实而 不只是 “ 贴标签” 。 通常说的 “ 数学思想方法”有层次之分，有 的是数学思想，有的是数学方法。一般来说，一 种数学方法未必是一种数学思想，但数学思想一 定是一种有效的数学方法。只有触及数学实质、 人类思维的本质和本源、应用范围广、意义深远 的数学方法才能称为数学思想。 小学阶段所学习的数学内容是数学大厦中最 基础、最本质的内容，小学数学的所有内容中都 渗透着数学思想。 本文将从数学学科实质、人的思维本源以及 问题解决方法三个角度阐述小学阶段最基本的 种数学思想。 一、从数学学科实质角度看有抽象思想、推 理思想、模型思想 数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽 象、推理和模型，其中抽象是最核心的。 这三 个基本数学思想是从促进数学产生发展、数学与 其他学科本质区别、体现出数学本质特征的角度 来确定的。 （ 一）抽象思想 史宁中教授认为，抽象分两个层次，一个是 直观描述，另一个是符号表达。 “ 直观描述的毛 病是必然引起悖论，因为凡是具体的东西，都能 举出反例，为了避免引起这些，就必须进一步抽 象，抽象到举不出反例来，这只有通过符号表 达，但符号表达也有问题，就是缺少物理背景， 缺少直观。 ” 抽象的内容在本质上只有两种：一 是数量与数量关系的抽象；二是图形与图形关系 的抽象。所以，数学在本质上研究这两种关系。 小学阶段的抽象主要体现在抽象的第一个层 次，其研究对象和关系基本上都是对 “ 现实”的 抽象，基本不脱离物理背景。例如，对现实数量 （ 个人、个苹果、根手指等）的抽象得到 “ 数” 。数量关系的本质是 “ 多和少” ，再抽象就 是数学内部的 “ 大和小” 。 “ 大小关系”是本质， 再进一步就是 “ 序的关系” 。“ 大小关系”的基础 是 “ 大一个” ，这就产生了加法，因此自然数和 加法是数学的基础，其他的都是派生出来的。 对现实物体形状 （ 如长方形的窗户、地板 砖、手帕等）的抽象得到 “ 图形” 。点、线、面 等也是最基本最重要的图形，由于其太抽象， 点、面并不是小学数学要研究的内容。 （ 二）推理思想 推理是从一个或几个已有的判断得出另一个 新判断的思维形式。推理分为两种形式：演绎推 理和合情推理。合情推理是从已有的事实出发， 凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结 果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出 发，按照逻辑推理的法则证明和计算。合情推理 用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结 论。 “ 如果说演绎推理的魅力在于逻辑的严谨， 那么归纳推理的魅力在于想象的丰富。 ” （ ） 演绎推理的常用形式有三段论、选言推理、 假言推理、关系推理等。合情推理的常用形式有 归纳推理和类比推理，类比推理其实质也是归纳 推理。归纳推理有两种结果：结果可能是必然 的、结果已知是或然的。因此，归纳推理中就必 然存在 “ 否定假说原则” ，而演绎推理则遵循 “ 排中律” 。“ 我们所说的否定假说原则充分体现 了人文关怀：如果这个世界都是偶然的，那么这 个世界就太混乱了；如果这个世界都是必然的， 那么这个世界就太寂寞了。 ” （ ） 合情推理在小学数学中比比皆是，尤其是归 纳推理。在认识数、运算、图形等的实质与性 质、规律时，其认识过程基本都运用了归纳推 理，其价值就在于给学生一个探索与发现的空 间，充分运用已有的知识、经验以及想象力让学 生去发现、去再创造。 （ 三）模型思想 数学模型还没有一个统一的、准确的定义， 一般认为：数学模型就是为了某种目的，用字 母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等 式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征 及其内在联系的数学结构表达式。数学模型有广 义和狭义之分，广义的模型包括任意的数、式、 性质、定律等，狭义的模型特指将现实的数学问 题抽象为一个数学的结构 （ 式子、方程、函数 等） ，通过对这个结构进行数学运算而求得实际 问题的答案，即我们常说的数学建模。 小学阶段模型思想更多地体现在广义角度， 任何数、算式、性质定律等都是一个模型。如 ， 此建模过程涉及小学阶段两类常见类型 （ 见图） ：一是直观模型，用直观形象的符号表 述数量关系或结构，二是用抽象的数学语言表示 数量关系和结构。即史宁中教授所说的：“ 数学模 型是借用数学的语言讲述现实世界的故事。 ” 图 数学模型示例 上述建模有三个层次，第一层次：从现实问 题到直观模型；第二层次：从直观模型到抽象的 算式模型；第三层次：从抽象的算式模型到现实 问题，或者从任意一方面到其他两方面。第三层 次是最高水平，只有达到 “ 有来有回”的过程， 才可称为学会了 “ 建模” 。 二、从人的思维发展本源看有分类思想、结 构化思想、对应思想 从人的思维本源角度看，我们认为分类、结 构化及对应也是三种重要的、基本的数学思想， 对于人类认识世界以及数学发展也具有不可估量 的作用。 （ 一）分类思想 分类是人类的一种基本活动，可以说，人的 一生不是在分类就是在被分类。例如，人一出生 即被分类，在随后的成长过程中不断地进行分类 和被分类。分类的根本目的是便于研究事物的属 性，揭示事物之间的规律性和内在联系。正是由 于分类活动无所不在，意义深远，影响广泛，它 既是一种基本的认知活动，也是研究问题广泛使 用的方法，故称之为分类思想。 史宁中教授认为，分类有两种：一种是按照 事物的形式进行分类，另一种是按照事物的实质 进行分类。“ 基于形式的分类往往只是一种 似 是而非的分类，我们称这种分类为原始分类” “ 原始分类仅仅是研究问题的开始，只有把握了 类中事物的共同性质才可能把握类中事物的本 质就可以基于这个性质重新进行分类，我们 称基于性质的分类为实质分类” 。 （ ） “ 形式和性质也是相互依存的，最初的分类 之所以侧重形式，是因为表象的东西比内在的东 西更为直观，更便于把握” 。 （ ）形式分类和实 质分类在小学阶段都涉及，往往先从形式分类开 始，初步把握事物的外显性质，然后再进行更深 入的实质分类，把握事物的本质属性。例如，在 小学阶段所学习的 “ 三角形分类”就是这样，按 照三角形的边进行分类得到等边三角形、等腰三 角形和一般三角形，这可以看作是形式分类，三 个类之间具有包含关系。按照三角形的角进行分 类得到锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 这是对三角形进行的实质分类，三个类之间是并 列关系。 如图所示，点在圆周上时， 是 直角三角形；在圆内时， 是钝角三角形； 在圆外时， 是锐角三角形。 图 三角形按照角的分类图 三角形的边与角满足余弦定理，即： 当 时 （ 直角三角形） ，上式即为勾 股定理 。 当 时 （ 锐角三角形） ，有 。 当 时 （ 钝角三角形） ，有 。 由此可以看出，按照三角形的角进行分类是 更本质的，是实质分类，这样的分类结果构成了 多么完美的数学结构！ 性质就是分类的标准，由于事物的性质有很 多，因此对事物进行分类的标准也有很多。选择 哪条标准进行分类取决于研究的目的，目的不同 分类的标准可以不同。但一旦分类标准确定下 来，分类活动就要基于这个标准。一般来说，在 同一分类标准下，每一类构成的集合其交集是空 集，其并集等于全集。分类思想在小学数学中无 处不在，分类活动可以表现在以下几方面 （ 数学 问题解决过程中的分类讨论蕴含其中）学习中。 （ ）给定分类标准 （ 唯一） ，学生进行分类。 （ ）学生自己确定分类标准 （ 标准可以不 同，但每一次分类标准唯一）进行分类。 （ ）给定分类结果，学生确定分类标准；或 者给定分类结果由学生基于经验对每一类进行 命名。 （ 二）结构化思想 形成结构并从结构的角度把握事物本质的过 程即为结构化。从无序、杂乱到有序、有结构 既是人的心理需要、学生学习数学的需要也是 数学发展的需要。因此，结构化也是一种基本 的数学思想，其在人类认识世界以及数学发展 过程中都具有重要意义。库恩在 科学革命的 结构一书中谈到， “ 科学发展的历史并不是 一个由个别科学贡献复合而成的累积过程 科学史表明：每经历一次科学革命，科学的结 构就发生一次质的变化” 。 任何一个数学内容都从属于某一结构，从 “ 结构”的角度来把握所学习的数学内容非常重 要，这样能把握内容的实质，建立内容之间的联 系。例如，课程标准中数学内容分为 “ 数与代 数” “ 图形与几何” “ 统计与概率” “ 综合与实 践” ，这就是义务教育阶段数学内容的一个大结 构。再如，现实世界中的数量关系非常复杂，但 从结构的角度看，其不外乎两个基本结构：加法 结构、乘法结构，其分别对应 “ 差比关系”和 “ 倍比关系” ，其他数量关系是这两个结构的复 合，例如 “ 和倍问题” “ 差倍问题” “ 植树问 题”等。 分类是使事物结构化的重要方式，结构化与 分类密切相关，尤其在小学阶段，可以说通过分 类形成了有序的集合结构。其次，公理化也是结 构化的重要方式，但在小学阶段的数学中不涉及 公理化方法。 在小学阶段，结构化除了经历分类外，还有 以下方法：首先解析不可缺少的、可以相区别的 单位要素，然后再组合这些要素。例如，在学习 “ 千以内数的认识”时，教师先呈现无序、无结 构的散乱的小木块 （ 只有一个计数单位 “ ” ） ， 让学生猜有多少块，其实是提出了有挑战性有难 度的问题，制造认知上的冲突。然后根据不同的 计数单位 （ 十、百、千）相互组合 （ 满足十进 制） ，即师生共同经历如下结构化的过程： 图 “ 千以内数的认识”的结构化 （ 三）对应思想 对应也是人类认识世界的一种本源、朴素的 思想，其在数学发展史上以及学生学习数学的过 程中都具有重要意义。对应思想本源地体现在任 何一个对象都从属于或对应于某一个类 （ 集合） ， 例如，你是你家庭中的一员，是一个班级的一 员，是某个组织的一员等。 对应思想更主要体现在两个集合中的元素之 间有对应关系，尤其是一一对应关系，即集合 中的任一元素，在集合中都有唯一的元素 与之对应；并且在集合中的任一元素，在集 合中也有唯一的元素与之对应。例如，正 奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一 对应。注意，一一对应只是对应中的一种，在数 学上 一 般 说 来 两 个 集 合 之 间 还 可 以 “ 多”对 “ 一” ，但不允许 “ 一”对 “ 多” 。 一一对应思想在小学数学中无处不在，如在 “ 自然数”的抽象过程中，根手指对应着数字 符号 “ ” 。对应更体现在 “ 数的大小比较”中， 在有限集合中，如果两个集合的元素能够建立起 一一对应关系，我们就说这两个集合的元素个数 相等，否则就有 “ 大于”或 “ 小于”关系。一一 对应思想更为重要的是应用于无限集合元素个数 的大小比较上，例如，自然数集与偶数集合的元 素个数能够建立一一对应关系，则说明这两个集 合元素个数相等，康托尔利用一一对应思想解决 了一直困惑伽利略的难题：自然数的个数多还是 平方数的个数多？ 三、从问题解决方法角度看有数形结合思想 和化归思想 在小学阶段解决数学问题时也涉及很多的数 学思想和方法，真正能称为思想的主要有数形结 合思想和化归思想 （ 我认为 “ 化归”是问题解决 的一种策略，还达不到 “ 思想”层面，但姑且也 称之为思想） 。 （ 一）数形结合思想 “ 数形结合”是问题解决过程中经常使用的 一种数学方法，因为数形结合思想涉及数学的两 大研究对象：数与形，其运用范围甚广，且影响 较为深远，因此也称之为 “ 数形结合思想” 。“ 数 无形时少直觉，形少数时难入微 （ 华罗庚） ”形 象生动、深刻地指明了 “ 数形结合”思想的价 值，也揭示了数形结合思想的本质。 理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能 脱离直观的图形与图象，同时对几何图形的深入 认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大 小、形状等几何特性，对函数图象也需要作 “ 细 致入微”的分析，例如，每一点处的坐标是多 少、斜率是多少，两点之间的长度是多少等都能 通过抽象的公式计算出来。通过 “ 数”与 “ 形” 的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又 把握得细微、深刻。 “ 数”与 “ 形”各展其长， 优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完 美地统一起来。 （ 二）化归 （ 转化）思想 “ 化归 （ 转化） ”是人类解决问题经常采用的 一种方法，指在解决问题的过程中，多次地将问 题进行 “ 变形” ，使原来比较难解决的问题，转 化为熟知的或已经解决的问题。特殊化方法，即 从 “ 特 例”入 手 也 是 化 归 思 想 中 常 见 的 一 种 方法。 化归的主要特点是它具有更强的目的性、方 向性与概括性。实现转化的核心是保证 “ 恒等变 换” ，或者说 “ 等量代换” ，违背这一根本原则， 将导致错误的问题解决。 哪些数学方法可以称为数学思想，可谓 “ 仁 者见仁、智者见智” ，并没有统一的标准，本文 所论及的几种数学思想是：是否揭示学科实质？ 在数学发展长河中是否具有重要作用？是否是人 类认识世界的基本思维方式？是否具有广泛的用 途 （ 即不仅