一定是直角三角形吗

1 / 8 一定是直角三角形吗 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 2 一定是直角三角形吗 1勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长 a， b，c 满足 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形 (2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足 a2 b2 c2 能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来比如：如果在 ABc 中， AB c， Bc a， cA b，并且满足 a2 b2 c2(如图 所示 )，那么 c 90. 作 A1B1c1 ，使 c1 90 ， B1c1 a， c1A1 b，则 A1B21 a2 b2. a2 b2 c2， A1B1 c(A1B1 0) 在 ABc 和 A1B1c1 中， Bc a B1c1， cA b c1A1， AB c A1B1， ABcA1B1c1. c c1 90. 辨误区勾股定理的逆定理的条件 (1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，2 / 8 当然也不能说 “ 斜边 ” 和 “ 直角边 ” (2)当满足 a2 b2 c2 时， c 是斜边， c 是直角 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形 对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有： 说明三角形中有一个直角； 说明三角形中有两边互相垂直； 勾股定理的逆定理 . 【例 1】如图所示， c 90 ， Ac 3， Bc 4， AD12， BD 13，问： ADAB 吗？试说明理由 解： ADAB. 理由：根据勾股定理得 AB Ac2 Bc2 5. 在 ABD 中， AB2 AD2 52 122 169， BD2 132 169， 所以 AB2 AD2 BD2. 由勾股定理的逆定理知 ABD 为直角三角形，且 BAD 90. 故 ADAB. 2勾股定理的逆定理与勾股定理的关系 勾股定理是通过 “ 形 ” 的状态来反映 “ 数 ” 的关系的，而勾股定理的逆定理是通过 “ 数 ” 的关系来反映 “ 形 ” 的状态的 3 / 8 (1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的 (2)联系： 两者都与 a2 b2 c2 有关， 两者所讨论的问题都是直角三 角形问题 (3)区别：勾股定理是以 “ 一个三角形是直角三角形 ” 为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系 “a2 b2c2” ；勾股定理的逆定理则是以 “ 一个三角形的三边满足 a2 b2 c2” 为条件，进而得到这个三角形是 “ 直角三角形 ” (4)二者关系可列表如下： 定理勾股定理勾股定理的逆定理 内容如果直角三角形的两直角边长分别为 a， b，斜边长为 c，那么 a2 b2 c2 如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形 题设直角三角形的两直角边长分别为 a， b，斜边长为 c 三角 形的三边长 a， b， c 满足 a2 b2 c2 结论 a2 b2 c2 三角形是直角三角形 用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法 【例 2】如图，在 ABc 中， D 为 Bc 边上的点，已知： AB13， AD 12， Ac 15， BD 5，求 Dc. 分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求4 / 8 数据 解： AD2 BD2 122 52 132 AB2， 由勾股定理的逆定理知 ADB 为直角三角形 ADBc. 在 RtADc 中，由勾股定理，得 Dc2 Ac2 AD2 152 122 92.Dc 9. 3勾股数 勾股数：满足 a2 b2 c2 的三个正整数，称为勾股数 (1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件： 满足 a2 b2 c2； 都是正整数两者缺一不可 (2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足 a2 b2 c2(但不一定是勾股数 )，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以 ,为边长的三角形是直角三角形 【例 3】 7,24,25 ； 8,15,19 ； , ； 3n,4n,5n(n 1，且为自然数 ) 上面各组数中，勾股数有 _组 ( ) A 1B 2c 3D 4 解析： 72 242 252，且 7,24,25 都是正整数， 7,24,25是勾股数 82 152192 ， 8,15,19 不是勾股数 , 不是正整数， ，不是勾股数 (3n)2 (4n)2 25n2 (5n)2(n 1，且为自然数 )，5 / 8 且它们都是正整数， 3n,4n,5n(n 1，且为自然数 )是勾股数 . 答案： B 析规律勾股数的判断方法 判断勾股数要看两个条件，一看能否满足 a2 b2 c2，二看是否都是正整数这两者缺一不可 4 勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角 【例 4】如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB Dc 8m， AD Bc 6m， Ac 9m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？ 分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三 角形 解： AD2 Dc2 62 82 100， Ac2 92 81， AD2 Dc2Ac2. ADc 不是直角三角形， ADc90. 又 按标准应为长方形，四个角应为直角， 6 / 8 该农民挖的地基不合格 5利用非负数的性质判定三角形的形状 在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为 a2 b2 c2 0 的形式，再由 a 0， b 0， c 0，求得三角形三边之长，利用计算来判断 ABc 是否是直角三角形 谈重点判定三角形的形状 由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件 等式变形，再根据它的结构特点，得出 a， b， c 的关系，从而判断三角形的形状 【例 5】如果一个三角形的三边长 a， b， c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c，试说明这个三角形是直角三角形 分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出 a， b， c 的值，然后再说明 解：将式子变形，得 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 0， 即 a2 10a 25 b2 24b 144 c2 26c 169 0. 整理，得 (a 5)2 (b 12)2 (c 13)2 0. 因此 a 5 0， b 12 0， c 13 0， a 5， b 12， c 13. a2 b2 52 122 132 c2， 这个三角形是直角三角形 6勾股定理及其逆定理的综合应用 7 / 8 (1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型 (直角三角形 )来解决 (2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定 理去验证其是否是直角三角形 【例 6】如图所示，在四边形 ABcD 中， AD 3cm， AB 4cm，BAD 90 ， Bc 12cm， cD 13cm.求四边形 ABcD 的面积 分析：根据 AD 3cm， AB 4cm， BAD 90 ，可连接 BD构成直角三角形，通过判断 BcD 是直角三角形解决问题 解：连接 BD，在 ABD 中， AD 3c