吉林省长春市普通高中2018届高三数学一模考试试题理（含解析）.doc

长春市普通高中2018届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设为虚数单位，则（ ）A. B. C. 5 D. -5【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2. 集合的子集的个数为（ ）A. 4 B. 7 C. 8 D. 16【答案】C【解析】集合含有3个元素，则其子集的个数为.本题选择C选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升其中正确结论的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出均正确.故选D.4. 等差数列an中，已知|a6|=|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时的n的值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】因为等差数列中，所以，有， 所以当时前项和取最小值.故选C.5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）A. 95，94 B. 92，86 C. 99，86 D. 95，91【答案】B【解析】 由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=3x上，则角的取值集合是（ ）A. |=2k3,kZ B. |=2k+23,kZC. |=k23,kZ D. |=k3,kZ【答案】D【解析】因为直线y=3x的倾斜角是23 ，所以终边落在直线y=3x上的角的取值集合为 |=k3,kZ或者|=k+23,kZ.故选D. 7. 已知x0,y0，且4x+y=xy，则x+y的最小值为（ ）A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B【解析】由题意可得：4y+1x=1，则：x+y=x+y4y+1x=5+4xy+yx5+24xyyx=9，当且仅当x=3,y=6时等号成立，综上可得：则x+y的最小值为9.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误8. 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，且四棱锥的体积为，则等于（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为 ，从而球的半径 .故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】 由题意可知S=1+5+9+4033，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知O为坐标原点，设F1,F2分别是双曲线x2y2=1的左、右焦点，点P为双曲线上任一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 12【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，从而，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在R上的奇函数fx满足fx+=fx，当x0,2时，fx=x，则函数gx=xfx1在区间32,3上所有零点之和为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】fx+=f-x =f(x)T=2,gx=x-fx-1=0 f(x)=1x 作图如下： ，四个交点分别关于(,0) 对称，所以零点之和为22=4 ，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角,满足22，0+，则3的取值范围是_【答案】,2【解析】结合题意可知：3=2+，且：2,+0,，利用不等式的性质可知：3-的取值范围是-,2.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径14. 已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等，且|a|=|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|=_【答案】2【解析】因为平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等，所以由题意可知，a,b,c的夹角为120，又知|a|=|b|=1，|c|=3，所以a.b=12 ，ac=bc=32，|a+b+c|= 1+1+9+212+232+232=2 故答案为2.15. 在ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(12bsinC)cosA=sinAcosC，且a=23，ABC面积的最大值为_【答案】33【解析】由(12b-sinC)cosA=sinAcosC 可得12bcosA=sinA+C=sinB，cosA2=sinBb=sinAa，得 tanA=3,A=3，由余弦定理12=b2+c2bc2bcbc=bc， ABC面积的最大值为121232=33，当且仅当b=c时取到最大值，故答案为33. 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为_【答案】23【解析】设圆锥的底面半径为R，由题意可得其体积为：V=13Sh=13R29R2=23R22R229R2=2333=23.当且仅当R=6时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为23.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分17. 已知数列an的前n项和Sn=2n+1+n2（）求数列an的通项公式；（）设bn=log2（an1)，求证：1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+11【答案】()an=2n+1；（）证明见解析.【解析】试题分析：()利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列an的通项公式 ；（）化简bn=log2an1 =log22n=n，则1bnbn+1=1n-1n+1，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：()由Sn=2n+1+n-2Sn-1=2n+(n-1)-2(n2)，则an=2n+1 (n2).当n=1时，a1=S1=3，综上an=2n+1. （）由bn=log2(an-1)=log22n=n.1b1b2+1b2b3+1b3b4+.+1bnbn+1 =112+123+134+.+1n(n+1) =(1-12)+(12-13)+(13-14)+.+(1n-1n+1)=1-1n+11. 得证. 18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量0,1000(1000,30003000,+节数61812（）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数（）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列与数学期望【答案】()2；（）1003.【解析】试题分析：()因为 36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，所以12 节应选出12636=2 节；（）X的所有可能取值为0,1,2,3，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析：()根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （）X的可能取值为0，20，40，60P(X=0)=1C62=115P(X=20)=C31C21C62=615=25P(X=40)=C21+C32C62=515=13P(X=60)=C31C62=315=15则X的分布列为0204060即EX=1003 .19. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设PA=1,ABC=60，三棱锥EACD的体积为38，求二面角DAEC的余弦值【答案】()证明见解析；（）1313.【解析】试题分析：() )连接BD交AC于点O，连接OE，根据中位线定理可得PB/OE，由线面平行的判定定理即可证明PB/平面AEC；（）以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴，以AP方向为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：()连接BD交AC于点O，连接OE在PBD中，&PE=DEBO=DOPB/OEOE平面ACEPB平面ACEPB/平面ACE （）VP-ABCD=2VP-ACD=4VE-ACD=32，设菱形ABCD的边长为aVP-ABCD=13SABCDPA=13(234a2)1=32，则a=3.取BC中点M，连接AM.以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴，以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系. D(0,3,0)，A(0,0,0)，E(0,32,12)，C(32,32,0) AE=(0,32,12)，AC=(32,32,0)，n1=(1,-3,3)，n2=(1,0,0)cos=|n1n2|n1|n2|=11+3+9=1313，即二面角D-AE-C的余弦值为1313.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆C的两个焦点为F11,0,F21,0，且经过点E(3,32)（）求椭圆C的方程；（）过F1的直线与椭圆C交于A,B两点（点A位于x轴上方），若AF1=F1B，且23，求直线的斜率k的取值范围【答案】()x24+y23=1；（）00，有y=kx+1x24+y23=1，整理得3k2+4y2-6ky-9=0，设Ax1,y1，Bx2,y2，有y1=-y2，y1y2=-1-2y1+y22，1-2=43+4k2，+1-2=43+4k2，由于23，所以12+1-243，1243+4k243，解得00恒成立，求整数a的最大值；（）证明：ln2+(ln3ln2)2+(ln4ln3)3 +ln(n+1)lnnn0恒成立等价于exln(x+a)恒成立，先证明当a2时恒成立，再证明a3时不恒成立，进而可得结果；（）由exln(x+2)，令x=-n+1n，即e-n+1nln(-n+1n+2)，即e-n+1lnn(-n+1n+2)，令n=1,2,3,4. ，各式相加即可得结果.试题解析：()由题意可知，f(x)和g(x)在(0,1)处有相同的切线，即在(0,1)处f(1)=g(1)且f(1)=g(1)，解得a=1,b=1. （）现证明exx+1，设F(x)=ex-x-1，令F(x)=ex-1=0，即x=0，因此F(x)min=F(0)=0，即F(x)0恒成立，即exx+1，同理可证lnxx-1. 由题意，当a2时，exx+1且ln(x+2)x+1，即exx+1ln(x+2)，即a=2时，f(x)-g(x)0成立.当a3时，e0ln(x+2)，令x=-n+1n，即e-n+1nln(-n+1n+2)，即e-n+1lnn(-n+1n+2)由此可知，当n=1时，e0ln2，当n=2时，e-1(ln3-ln2)2，当n=3时，e-2(ln4-ln3)3，当n=n时，e-n+1ln(n+1)-lnnn. 综上：e0+e-1+e-2+.+e-n+1ln2+(ln3-ln2)2+(ln4-ln3)3+.+ln(n+1)-lnnn11-1ee0+e-1+e-2+.+e-n+1ln2+ln3-ln22+ln4-ln33+.+lnn+1-lnnn. 即ln2+(ln3-ln2)2+(ln4-ln3)3+.+ln(n+1)-lnnnee-1. （二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为1,2，点M的极坐标为(3,2)，若直线过点P，且倾斜角为6，圆C以M圆心，3为