江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题03导数背景下零点问题集合与其他知识的交汇问题含解析.doc

问题3导数背景下零点问题一、考情分析近几年高考命题情况来看,对这部分内容的考查题型有小题也有大题,作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题,在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型：(1)确定函数零点(图象交点及方程根的个数问题；(2)根据函数零点图象交点及方程根的个数求参数的值或取值范围问题二、经验分享(1) 用导数确定函数零点或方程根个数的方法：构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.(2)解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：在该区间上构造与方程相应的函数；利用导数研究该函数在该区间上的单调性,若是单调函数,则进行下一步；判断该函数在该区间端点处的函数值异号；得出结论.(3) 在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用三、知识拓展三次函数的零点对于三次函数的导函数为,1.若恒成立,则是增(减)函数,有1个零点；2.若有两个不同实根,若,则有2个零点；若,则有1个零点；若,则有3个零点.四、题型分析(一) 确定函数零点或方程根的个数问题【例1】【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】已知函数，其中且，（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.【解析】（1）因为，所以令，得当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以为的极值点因为，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以为的极值点因为，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于当时，在上单调递减所以即，得当时，在上单调递增所以即，得当时，在上，在上单调递减；在上，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或【点评】证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.【小试牛刀】【启东中学2018届高三上学期月考】设,函数.（1）证明在上仅有一个零点；（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:【解析】（1）,在上为增函数, ,又,即,由零点存在性定理可知,在上为增函数,且,在上仅有一个零点.（2）,设点,则,在点处的切线与轴平行, , ,点处切线与直线平行,点处切线的斜率,又题目需证明,即,则只需证明,即.令,则,易知,当时,单调递减,当时,单调递增,即,得证. (二) 根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围【例2】【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=,若函数y=f（f（x）a）1有三个零点,则a的取值范围是_【答案】【解析】当x0时,由f（x）1=0得x2+2x+1=1,得x=2或x=0,当x0时,由f（x）1=0得,得x=0,由,y=f（f（x）a）1=0得f（x）a=0或f（x）a=2,即f（x）=a,f（x）=a2,作出函数f（x）的图象如图：y=1（x0）,y=,当x（0,1）时,y0,函数是增函数,x（1,+）时,y0,函数是减函数,x=1时,函数取得最大值：,当1a2时,即a（3,3+）时,y=f（f（x）a）1有4个零点,当a2=1+时,即a=3+时则y=f（f（x）a）1有三个零点,当a3+时,y=f（f（x）a）1有1个零点当a=1+时,则y=f（f（x）a）1有三个零点,当时,即a（1+,3）时,y=f（f（x）a）1有三个零点综上a,函数有3个零点故答案为：【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解【小试牛刀】已知函数f(x)x2xsinxcosx的图象与直线yb有两个不同交点,求b的取值范围【解析】f(x)x(2cosx),令f(x)0,得x0.当x0时,f(x)0,f(x)在(0,)上递增当x0时,f(x)1时,曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知,b的取值范围是(1,)(三) 根据函数零点满足条件证明不等式【例3】【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】已知函数（1）讨论的单调性；（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点 求实数的取值范围； 证明：【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可；问题转化为证，即证，设函数，根据函数的单调性证明即可【解析】（1）的定义域为，且当时，成立，所以在为增函数； 当时，（i）当时，所以在上为增函数；（ii）当时，所以在上为减函数 （2）由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意；当时，的最小值为，依题意知 ，解得 一方面，由于，在为增函数，且函数的图象在上不间断所以在上有唯一的一个零点另一方面， 因为，所以，令，当时，所以又，在为减函数，且函数的图象在上不间断所以在有唯一的一个零点综上，实数的取值范围是 设 又则 下面证明不妨设，由知要证，即证因为，在上为减函数，所以只要证又，即证 设函数所以，所以在为增函数.所以，所以成立从而成立.所以，即成立.五、迁移运用1【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】已知函数在上的零点为，函数在上的零点为则的范围为_.【答案】（1，）【解析】由得,因为,所以,因此,因为从而，因此，令,则,所以（1，）.2【江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试】已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则_.【答案】【解析】由题意，直线可得y=k(x-)恒过定点（，0），即x2=k0恰有三个公共点，其直线必与（x）的相切，因为f（x）关于（，0）对称，所以x1+x3=，导函数几何意义：f（2x）=-sin2=k所以切线方程：y- 过（，0）所以，= = 故答案为：3【江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高三11月月考】设是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则的取值范围为_【答案】【解析】，时，在单调递减，且在有一个小于0的零点；时，在单调递增，在有一个小于1的零点，因此满足条件.（1）时，在单调递减，在上没有零点.又,故在上也没有零点，因此不满足题意.(2)时，在 上单调递减，在上单调递增，在上没有零点.又，故在上也没有零点，因此不满足题意.(3)时，在 上没有零点，在上只有零点2，满足条件.(4)时，在上没有零点，在上有两个不相等的零点，且和为,故满足题意的范围是.综上所述，的取值范围为，故答案为.4.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数的零点在区间内,则正整数的值为_【答案】2【解析】由函数的解析式可得函数在上是增函数,且, ,故有,根据函数零点的判定定理可得函数在区间上存在零点,结合所给的条件可得,故,故答案为2.5.【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两个零点,则正实数的值为_【答案】【解析】考查函数,其余条件均不变,则：当x0时,f(x)=x+2x,单调递增,f(1)=1+210,由零点存在定理,可得f(x)在(1,0)有且只有一个零点；则由题意可得x0时,f(x)=axlnx有且只有一个零点,即有有且只有一个实根.令,当xe时,g(x)0,g(x)递减;当0x0,g(x)递增.即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为,如图g(x)的图象,当直线y=a(a0)与g(x)的图象只有一个交点时,则.回归原问题,则原问题中.6【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数,若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得,则实数的取值范围为_.【答案】【解析】结合函数的解析式：可得：,令y=0,解得：x=0,当x0时,y0,当x0,yy0,则f（f（y0）=f（c）f（y0）=cy0,不满足f（f（y0）=y0同理假设f（y0）=c0,g（x）在（0,e）单调递增,当x=e时取最大值,最大值为,当x0时,a-,a的取值范围.7【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】已知函数，求函数的单调增区间；若函数有三个互不相同的零点0，其中若，求a的值；若对任意的，都有成立，求a的取值范围【解析】（1）由题意，求得函数的导数，当，即时，恒成立，在R上单调递增；当时，令，解得，的解集为，即的单调增区间为，；由题意可知，解得，；由题意可知，若，即时，在上恒成立，且，符合题意；当时，设，则，当时，整理得，即，解得，又，8【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)【解析】（1）当时，则，所以，所以切线方程为.（2），当时，恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；当时，令，解得，列表如下：-0+极小值由表可知，.（i）当，即时，所以符合题意；（ii）当，即时，因为，且，所以，故存在，使得，所以不符题意；（iii）当，即时，因为，设，则，所以单调递增，即，所以，又因为，所以，故存在，使得，所以不符题意；综上，的取值范围为.（3），则，当时，恒成立，所以单调递增，所以，即符合题意；当时，恒成立，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，且当时，即在上单调递减，所以，即不符题意；综上，的取值范围为.9【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知函数.（1）当a=2，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.【解析】（1）当a=2时，令，解得x=1. 列表：x10+极小值所以，当x=1时，有极小值，没有极大值（2）因为. 所以，.当时，所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意， 当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即为最小值.1当时，在上单调递减，在上单调递增，只有一个零点，不合题意； 2当时，故，最多有两个零点.注意到，令,取，使得，下面先证明；设，令，解得.列表x0+极小值所以，当，有极小值.所以，故，即.因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意3当时，故，最多有两个零点.注意到，取，则，因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.10【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】已知函数 (a，bR)（1）当ab1时，求的单调增区间；（2）当a0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围【解析】（1）当ab1时，令，解得或所以f（x）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或，因为函数f（x）有两个不同的零点，所以或，当时，得a0，不合题意，舍去：当时，代入得即，所以.法二：由于，所以，由得，设，令，得，当时，h(x)递减：当时，,递增当时，单调递增当时, 的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，所以时，方程恰有一个根2，此时函数恰有两个零点-2和1（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满足，解得. 又因为，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. 设,则,当时，,递增：当时，,递减所以,所以,所以由和得，.11【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】已知函数 ()（1）若，求函数的图像在处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间；（3）若，已知函数在其定义域内有两个不同的零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）当，时，所以，即函数的图像在处的切线方程为；（2）当时，当时，在上恒成立，即在上单调递增；当时，的解集为，的解集为，即的单调增区间为，单调减区间为；（3）当时，当时，则在上恒成立，则单调递减，函数最多有一个零点，所以不符题意；当时，令，解得，列表如下：+0-极大值由表可知，因为函数有两个零点，所以，解得，此时，所以存在，使得，设，令，解得，列表可知，所以，故存在，使得， 设，因为，所以，因为，解得，且，因为，所以，即，整理得，设，则，当时，在上恒成立，所以单调递增，所以，即在上单调递增，所以，即符合题意；当时，的解集为，即在上单调递减，因为，所以在上恒成立，即在上单调递减，因为，所以在上恒成立，即不符合题意；综上，.12【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx,g（x）=（aR,e为自然对数的底数）（）当a=1时,求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在上无零点,求a的最小值；（）若对任意给定的x0（0,e,在（0,e上总存在两个不同的xi（i=1,2）,使得f（xi）=g（x0）成立,求a的取值范围【解析】（1）当a=1时,f（x）=x12lnx,则f（x）=1,由f（x）0,得x2；由f（x）0,得0x2故f（x）的单调减区间为（0,2,单调增区间为2,+）；（2）因为f（x）0在区间上恒成立不可能,故要使函数上无零点,只要对任意的,f（x）0恒成立,即对恒成立令,则,再令,则,故m（x）在上为减函数,于是,从而,l（x）0,于是l（x）在上为增函数,所以,故要使恒成立,只要a24ln2,+）,综上,若函数f（x）在 上无零点,则a的最小值为24ln2；（3）g（x）=e1xxe1x=（1x）e1x,当x（0,1）时,g（x）0,函数g（x）单调递增；当x（1,e时,g（x）0,函数g（x）单调递减又因为g（0）=0,g（1）=1,g（e）=ee1e0,所以,函数g（x）在（0,e上的值域为（0,1当a=2时,不合题意；当a2时,f（x）=,x（0,e当x=时,f（x）=0由题意得,f（x）在（0,e上不单调,故,即此时,当x变化时,f（x）,f（x）的变化情况如下：x（0,）（,ef（x）0+f（x）最小值又因为,当x0时,2a0,f（x）+,所以,对任意给定的x0（0,e,在（0,e上总存在两个不同的xi（i=1,2）,使得f（xi）=g（x0）成立,当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=,则h,令h（a）=0,得a=0或a=2,故当a（,0）时,h（a）0,函数h（a）单调递增；当时,h（a）0,函数h（a）单调递减所以,对任意,有h（a）h（0）=0,即对任意恒成立由式解得：综合可知,当a的范围是时,对任意给定的x0（0,e,在（0,e上总存在两个不同的xi（i=1,2）,使f（xi）=g（x0）成立13【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为4,且满足.（1）求实数和的值；（2）试问：是否存在这样的定值,使得当变化时,曲线在点处的切线互相平行？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；（3）讨论函数