福建省泉州市2017届高三数学3月质量检测试题 理（含解析）.doc

2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为复数的共轭复数，且，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得 ，则选A.2. 已知集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得， ，则 ，故选B.3. 若实数满足约束条件，则的最小值是（ ）A. 255 B. 45 C. 1 D. 4【答案】B【解析】由约束条件约束条件x1y22x+y2，作出可行域如图，由图可知,z2=x2+y2的最小值为原点O(0,0)到直线2x+y-2=0的距离的平方，等于(21+4)2=45 ,故选：B.4. 已知向量a,b满足|a|=1,|ab|=3,a(ab)=0，则|b2a|= （ ）A. 2 B. 23 C. 4 D. 43【答案】A【解析】由题意得，|a|=1,|a-b|=3,a(a-b)=0则ab=1 ，|b|2=4 ，则|b-2a|= 4-41+41=2故选A.5. 已知Sn为数列an的前n项和且Sn=2an2，则S5S4的值为（ ）A. 8 B. 10 C. 16 D. 32【答案】D【解析】 Sn=2an-2Sn+1=2an+1-2 两式相减得：an+1=2an a1=2an是首项为2，公比为2的等比数列S5-S4=32 故选D.6. 已知函数f(x)=2sin(x+2)cos(x+2)(|2)，且对于任意的xR，f(x)f(6).则 （ ）A. f(x)=f(x+) B. f(x)=f(x+2)C. f(x)=f(3x) D. f(x)=f(6x)【答案】C【解析】函数f(x)=2sin(x+2)cos(x+2)(|2)，若对任意的xR，f(x)f(6)，则f(6)等于函数的最大值，即6+=2k+2(kZ)，则=2k+3,kZ，又|0时,f(x)=lnx+sinx ,可得：f(x)=1x+cosx ,令1x+cosx=0，作出y=1x 与y=cosx 图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，f()=ln1故选：D.8. 关于x的方程xlnxkx+1=0在区间1e,e上有两个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）A. (1,1+1e B. (1,e1 C. 1+1e,e1 D. (1,+)【答案】A【解析】关于x 的方程xlnx-kx+1=0，即：lnx+1x=k,令函数f(x)=lnx+1x,若方程xlnx-kx+1=0在在区间1e,e上有两个不等实根，即函数f(x)=lnx+1x与y=k在在区间1e,e有两个不相同的交点，f(x)=1x-1x2,令1x-1x2=0可得x=1，当x1e,1)时f(x)0，函数是增函数，函数的最小值为：f(1)=1，f(1e)=-1+e,f(e)=1+1e .函数的最大值为：1+1e方程f(x)+m=0 在关于x的方程xlnx-kx+1=0在区间1e,e上有两个不等实根，则实数k的取值范围是(1,1+1e.故选：A.【点睛】本题主要考查函数的导数的综合应用，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理，利用导数研究函数的极值，转化思想，属于中档题，解决问题的关键是对方程合理变形，转化成两个函数的交点问题，再利用导数求函数在区间上的最值问题.9. 机器人AlphaGo（阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法是寻找“a1,a2,a10”中“比较大的数”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为a1,a2,a10，其中最大的数记为T，则Tt= （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程，可得：i=1m=42，t=61，n=80i=2不满足条件t4m且t4n，m=61，t=80，n=12，i=3不满足条件t4m且t4n，m=80，t=12，n=79，i=4不满足条件t4m且t4n，m=12，t=79，n=18，i=5满足条件t4m且t4n，结束，输出t的值为79.由于最大的数记为T的值为82，则Tt=8279=3.故选：D.10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）A. 圆弧 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 双曲线的一部分【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行与旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选：D.11. 已知抛物线E的焦点为F，准线为过F的直线m与E交于A,B两点，C,D分别为A,B在上的射影，M为AB的中点，若m与不平行，则CMD是（ ）A. 等腰三角形且为锐角三角形 B. 等腰三角形且为钝角三角形C. 等腰直角三角形 D. 非等腰的直角三角形【答案】A【解析】:点A在抛物线y2=2px上，F为抛物线的焦点，C，D分别为A，B在上的射影，M为AB的中点，NM是M到抛物线准线的垂线，垂足为N，准线与x轴的交点为E，如图：CMD中，CN=ND，所以三角形CMD是等腰三角形，可得CFD=90 ，MNEF，可得：CMD0,b0)的一条渐近线，与圆(xc)2+y2=a2（其中c2=a2+b2）相交于A,B两点，若|AB|=a，则C的离心率为_【答案】72【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，圆(xc)2+y2=a2的圆心(c,0)，半径为：a，为双曲线C:的一条渐近线,与圆(xc)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A，B两点，若|AB|=a，可得(bca2+b2)2+(a2)2=a2 ,可得4b2=3a2，可得4(c2a2)=3a2，解得e=ca=72.故答案为：72.16. 如图，一张A4纸的长、宽分别为22a,2aA,B,C,D分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线掀折起，使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体关于该多面体的下列命题，正确的是_（写出所有正确命题的序号）该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2【答案】【解析】由题意得，该多面体是三棱锥，故正确，又根据题意可得，分析可得，平面平面，故正确，同理平面平面，故正确，综合分析得，多面体外接球的半径为，则该多面体外接球的表面积为，故正确,综合：答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosAcosCcos(A+C)=sin2B（1）证明：a,b,c成等比数列；（2）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6,SBAD=2SBCD，求BD【答案】（1）见解析；（2）BD=27.【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：b2=ac，即可得证（2）由已知可得：AD+CD=6，由三角形面积公式可得AD=2CD，从而可求AD=4，CD=2，由（1）可得：b2=36，利用角平分线的性质可得AB=2BC，即c=2a，从而可求a，c的值，进而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值试题解析：.解法一:（1）因为cosAcosC-cos(A+C)=sin2B，所以cosAcosC-(cosAcosC-sinAsinC)=sin2B ，化简可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理得，b2=ac，故a,b,c成等比数列.（2）由题意SBAD=2SBCD，得12BABDsinABD=212BCBDsinCBD，又因为BD是角平分线，所以ABD=CBD，即sinABD=sinCBD，化简得，BA=2BC，即c=2a.由（1）知，ac=b2，解得a=32,c=62，再由SBAD=2SBCD得，12ADh=2(12CDh)（h为ABC中AC边上的高），即AD=2CD，又因为AC=6，所以AD=4,CD=2.【注】利用角平分线定理得到AD=4,CD=2同样得分，在ABC中由余弦定理可得，cosA=b2+c2-a22bc=90722=542，在ABD中由余弦定理可得，BD2=AD2+AB2-2ADABcosA，即BD2=42+(62)2-2462542=28，求得BD=27.解法二：（1）同解法一.（2）同解法一，AD=4,CD=2.在ABC中由余弦定理可得，cosC=b2+a2-c22ab=-122，在BCD中由余弦定理可得，BD2=CD2+BC2-2CDBCcosC，即BD2=22+(32)2-2232-122=28，求得BD=27.解法三：（1）同解法一.（2）同解法二，AD=4,CD=2.在ABC中由余弦定理可得，cosB=a2+c2-b22ac=5472=34，由于cosB=1-2sin2B2，从而可得sinB2=122，在ABC中由余弦定理可得，cosC=b2+a2-c22ab=-122，求得sinC=78，在BCD中由正弦定理可得，CDsinCBD=BDsinC，即BD=CDsinCsinCBD=27.【注】若求得sinA的值后，在BDA中应用正弦定理求得BD的，请类比得分.解法四：（1）同解法一.（2）同解法一，AD=4,CD=2.在BCD中由余弦定理得，cosBDC=BD2+22-(32)222BD=BD2-144BD，在BDA中由余弦定理得，cosBDA=BD2+42-(62)224BD=BD2-568BD，因为BDA+BDC=，所以有cosBDC+cosBDA=0，故BD2-144BD+BD2-568BD=0，整理得，3BD2=84，即BD=27.18. 如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中，AF平面ABCD，DE平面ABCD，AD/BC,AB=CD,ABC=600,BC=AF=2AD=4DE=4（1）请在图中作出平面，使得DE，且BF/，并说明理由；（2）求直线EF和平面BCE所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）33926.【解析】试题分析：（1）取BC的中点P，连接EP，DP，证明平面ABF平面EDP，可得结论；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值试题解析：（1）如图，取BC中点P，连接PD,PE，则平面PDE即为所求的平面.显然，以下只需证明BF/平面；BC=2AD,AD/BC，AD/BP且AD=BP，四边形ABPD为平行四边形，AB/DP.又AB平面PDE，PD平面PDE，AB/平面PDE.AF平面ABCD，DE平面ABCD，AF/DE.又AF平面PDE，DE平面PDE，AF/平面PDE，又AF平面ABF,AB平面ABF,ABAF=A，平面ABF/平面PDE.又BF平面ABF，BF/平面PDE，即BF/平面.（2）过点A作AGAD并交BC于G，AF平面ABCD，AFAG,AFAD，即AG,AD,AF两两垂直，以A为原点，以AG,AD,AF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.在等腰梯形ABCD中，ABG=600,BC=2AD=4，BG=1,AG=3，则B(3,-1,0),C(3,3,0).AF=4DE=4，E(0,2,1),F(0,0,4)，BC=(0,4,0),BE=(-3,3,1).设平面BCE的法向量n=(x,y,z)，由nBC=0nBE=0，得4y=0-3x+3y+z=0，取x=3，可得平面BCE的一个法向量n=(3,0,3).设直线EF和平面BCE所成角为，又EF=(0,-2,3)，sin=|cosn,EF|=|30+0(-2)+33|3+94+9=33926，故直线EF和平面BCE所成角的正弦值为33926.19. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分20,40)40,60)60,80)80,100频数6a24b（）求a，b，c的值；（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为，求的分布列及数学期望E()；（）某评估机构以指标M（M=E()D()，其中D()表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效.若M0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？【答案】（1）a=18,b=12，c=0.015；（2）（3）见解析.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图的性质即可得出；（2）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生246010=4 ，则“合格”的学生数=6由题意可得=0，5，10，15，20利用“超几何分布列”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望；（3）利用D计算公式即可得出，可得M=E()D(),即可得出结论试题解析：（1）由频率分布直方图可知，得分在20,40)的频率为0.00520=0.1，故抽取的学生答卷数为：60.1=60，又由频率分布直方图可知，得分在80,100的频率为0.2，所以b=600.2=12，又b+a+24+b=60，得a+b=30，所以a=18.c=186020=0.015.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人.所以有20，15，10，5，0共5种可能的取值.的分布列为：P(=20)=C64C104=114,P(=15)=C63C41C104=821,P(=10)=C62C42C104=37，P(=5)=C61C43C104=435,P(=0)=C44C104=1210.的分布列为：20151050P114821374351210所以E()=20114+15821+1037+5435+01210=12.（3）由（2）可得D()=(20-12)2114+(15-12)2821+(10-12)237+(5-12)2435+(0-12)21210=16，所以M=E()D()=1216=0.750.7，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.20. ABC中，O是BC的中点，|BC|=32，其周长为6+32，若点T在线段AO上，且|AT|=2|TO|（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程；（2）若M,N是射线OC上不同两点，|OM|ON|=1，过点M的直线与E交于P,Q，直线QN与E交于另一点R证明：MPR是等腰三角形【答案】（1）x2+2y2=1(x1)；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以O为坐标原点，以BC的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，|AB|+|AC|=6|BC|得A的轨迹方程为x29+2y29=1(x3)，再将相应的点代入即可得到点T的轨迹E的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到PRx轴，从而得到|MP|=|MR|，即可证明MPR是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以O为坐标原点，以BC的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy.依题意得B(-322,0),C(322,0).由|AB|+|AC|+|BC|=6+32，得|AB|+|AC|=6，因为故|AB|+|AC|=6|BC|，所以点A的轨迹是以B,C为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以A的轨迹方程为x29+2y29=1(x3).设A(x0,y0),T(x,y)，依题意OT=13OA，所以(x,y)=13(x0,y0)，即x0=3xy0=3y，代入A的轨迹方程x29+2y29=1得，(3x)29+2(3y)29=1，所以点T的轨迹E的方程为x2+2y2=1(x1).（2）设M(m,0),N(1m,0),(m1),Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意得直线QM不与坐标轴平行，因为kQM=y1x1-m，所以直线QM为y=y1x1-m(x-m)，与x2+2y2=1联立得，(m2+1-2mx1)x2-2m(1-x12)x+(2mx1-x12-m2x12)=0，由韦达定理x1x2=2mx1-x12-m2x12m2+1-2mx1，同理x1x3=2(1m)x1-x12-(1m)2x12(1m)2+1-2(1m)x1=2mx1-m2x12-x121+m2-2mx1=x1x2，所以x2=x3或x1=0，当x2=x3时，PRx轴，当x1=0时，由x1+x2=2m(1-x12)(m2+1-2mx1)，得x2=2mm2+1，同理x3=2(1m)(1m)2+1=2mm2+1=x2，PRx轴.因此|MP|=|MR|，故MPR是等腰三角形.解法二：（1）以O为坐标原点，以BC的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy.依题意得B(-322,0),C(322,0).在x轴上取F1(-22,0),F2(22,0)，因为点T在线段AO上，且|AT|=2|TO|，所以F1T/AB,F2T/AC，则|F1T|+|F2T|=13(|AB|+|AC|)=136=2|F1F2|=2，故T的轨迹是以F1,F2为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点T的轨迹E的方程为x2+2y2=1(x1).（2）设M(m,0),N(n,0),(m1),(n=1m)，Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3)，由题意得，直线QM斜率不为0，且yi0(i=1,2,3)，故设直线QM的方程为：x=ty+m，其中t=x1-my1，与椭圆方程x2+2y2=1联立得，(t2+2)y2+2mty+m2-1=0，由韦达定理可知，y1y2=m2-1t2+2，其中t2+2=(x1-m)2y12+2=x12-2mx1+m2+2y12y12，因为Q(x1,y1)满足椭圆方程，故有x12+2y12=1，所以t2+2=1-2mx1+m2y12.设直线RN的方程为：x=sy+n，其中s=x1-ny1，同理y1y3=n2-1s2+2,s2+2=1-2nx1+n2y12，故y2y3=y1y2y1y3=m2-1t2+2n2-1s2+2=(m2-1)(s2+2)(n2-1)(t2+2)=-m2(s2+2)(t2+2)=-m21-2nx1+n2y121-2mx1+m2y12=-m2(1-2mx1+1m2)1-2mx1+m2=-1，所以y2=-y3，即PRx轴，因此|MP|=|MR|，故MPR是等腰三角形.21. 已知函数f(x)=mxln(x+1)+x+1,mR（1）若直线与曲线y=f(x)恒相切于同一定点，求的方程；（2）当x0时，f(x)ex，求实数m的取值范围【答案】（1）xy+1=0；（2）(,12.【解析】试题分析：（1）由题意得，直线与曲线y=f(x)恒相切于同一定点，由f(x)=mxln(x+1)+x+1，得曲线y=f(x)恒过的定点为(0,1)，再由导数的几何意义可得切线的方程；（2）构造函数g(x)=ex-f(x)=ex-x-mxln(x+1)-1，二次求导，再分别对m进行讨论：m0，012，综合取交集即可.试题解析：（1）因为直线与曲线y=f(x)恒相切于同一定点，所以曲线y=f(x)必恒过定点，由f(x)=mxln(x+1)+x+1，令xln(x+1)=0，得x=0，故得曲线y=f(x)恒过的定点为(0,1).因为f(x)=m(ln(x+1)+xx+1)+1，所以切线的斜率k=f(0)=1，故切线的方程为y=x+1，即x-y+1=0.（2）令g(x)=ex-f(x)=ex-x-mxln(x+1)-1,x0,+)，g(x)=ex-1-mln(x+1)-mxx+1,x0,+).令h(x)=ex-1-mln(x+1)-mxx+1,x0,+)，h(x)=ex-m1(x+1)2+1x+1,x0,+),h(0)=1-2m.当m0时，因为h(x)0，所以h(x)在0,+)上单调递增，故h(x)=g(x)h(0)=0，因为当x0,+)时，g(x)0，所以g(x)在0,+)上单调递增，故g(x)g(0)=0.从而，当x0时，exf(x)恒成立.当012时，h(x)在0,+)上单调递增，所以当x=0时，h(x)在x0,+)内取得最小值h(0)=1-2m0，因为h(x)=ex-m1(x+1)2+1x+1x+1-m1(x+1)2+1x+1，所以h(4m-1)4m-116m-14412-18-140，前述说明在(0,4m-1)内，存在唯一的x0(0,4m-1)，使