函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨.doc

函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨 摘 要 在高中数学课本中，凹凸函数这一概念虽未曾出现，但观察近几年全国各地高考 试题及一些有难度的高中题，涉及凹凸函数知识的题目已频繁出现事实上，让高中 生掌握一些凹凸函数的简单应用，能起到承上启下，启迪学生思维，增强学生数形结 合能力的作用例如有些对数函数，指数函数以及一些三角不等式的计算或证明，往 往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凹凸函数的性质给予计算或证明，则会 起到简捷明了、事半功倍的效果本文通过对函数凹凸性定义和相关性质定理的介绍， 探讨运用这些定理去证明一些较复杂的不等式，求取值范围，求最值以及解数形结合 类的题目，以使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，进一步提高 运用这些性质定理去解决相关题目的数学能力和应用能力.这体现了函数的凹凸性在高 中数学解题中的巧妙作用 关键词：上凸函数；下凸函数；单调性；不等式 Exploring the Concavity and Convexity of Function and its Application of Mathematics in Senior Middle School Abstract: Although the concept of the concavity and convexity of function has not been introduced in the high school textbook of mathematics,many difficult questions involved in the concavity and convexity of function had appeared frequently in the College Entrance Examination.In fact,to some high school students，mastering a simple application of the concavity and convexity of function can play a connecting,enhanceing the capacity of figures and graphics.For example,the calculation and proof of some logarithmic function, exponential function,as well as the triangle function often looks very complicated,even impossible to start,but the problem can be solved simply, clearly and effectively using the concavity and convexity of function.In this paper,the basic definitions ,the character and theorem of the concavity and convexity of function are introduced.The application in proving some complex inequalities, solving the rang of the figure and figures-graphics are discussed. So that the student can have a more comprehensive,more systematic and deeper understanding and further enhance the ability of using these theorems to solve some related problems.This reflect the clever role of the Concavity and Convexity of Functionof mathematics in high school. Keywords: convex function; concave function; monotonicity; inequality 目 录 1 引言引言 .1 2 文献综述文献综述 .1 21 国内外研究现状 .1 22 国内外研究现状评价 .2 23 提出问题 .2 3 凹凸函数基础知识凹凸函数基础知识 .2 31 凹凸函数的定义 .3 32 凹凸函数的相关定理 .3 33 高中数学中常见函数的凹凸性 .4 4 函数凹凸性在高中数学解题中的应用函数凹凸性在高中数学解题中的应用 .6 41 函数凹凸性在证明不等式中的应用 .6 42 利用函数凹凸性求取值范围 .8 43 函数凹凸性在数形结合中的应用 .11 44 利用函数凹凸性求最值 .12 5 结论结论 .13 51 主要发现 .13 52 启示 .13 53 局限性 .13 54 努力方向 .13 参考文献参考文献 .14 1 1 引言 函数的凹凸性主要用于高等数学中，例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理 经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用，而高中课本中没有相关的概 念虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但它的身影在高考中 频频出现，充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为 高校输送优秀人才的选拔性功能在求解高中涉及函数的凹凸性的相关问题时，许多 学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大和繁锁，产生厌学数学的情绪为了 解除这种困惑，培养与提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握函数凹凸性及其在高中 数学中的应用是很必要的因此本毕业论文从凹凸函数的基础知识和函数凹凸性在高 中数学解题中的应用两个大方面，对函数凹凸性定义、相关定理及其应用进行进一步 的分析，探讨函数凹凸性在证明不等式、求取值范围以及求最值、解数形结合合问题 方面的应用，皆在为解决高中有关函数凹凸性的相关问题提供比较清晰的解题思路和 解题方法 2 文献综述 21 国内外研究现状 根据所查到的相关文献资料可知，目前有关函数凹凸性在高等数学和初等数学中 的研究甚多，学者们从不同的方面和角度对其进行了较为广泛的探讨，比如：唐才祯、 莫玉忠、李金继的凹凸函数在不等式证明中的巧用一文1和张建平的琴生不等 式的应用一文2主要介绍了函数凹凸性的定义和詹生不等式的证明过程；谢晓强的 函数凹凸性的几个应用一文3和魏远金的函数凹凸性在高考中的应用一文4 主要论述了函数凹凸性在初等数学中的应用，解决了一些用初等数学知识难以解决的 初等不等式；王强芳、魏远金的函数凹凸性在解题中的应用一文5探讨函数的凹 凸性在高考数学中的应用；周再禹的巧用函数凸性证明不等式一文6探讨了用函 数的凸性巧妙的来证明中学代数中的一些不等式；尚亚东、游淑军的凸函数及其在 不等式证明中的应用一文7和刘海燕的凸函数在不等式证明中的应用一文8介 绍了凸函数的定义性质及其在证明不等式的一些应用；郝建华的凸函数的性质及其 在不等式证明中的应用一文9主要介绍了两个重要的不等式霍尔德不等式和闵 可夫斯基不等式；刘大谨的凸函数与不等式一文10探讨了在区间是凸函数)(xfI 2 的充要条件；江炳新的构造凸函数证一类不等式一文11针对目前高考数学的部分 压轴题中体现的高等数学思想方法提出在教学中要引导学生进行函数凹凸性的探究； 傅拥军的函数凸性在不等式证明中的应用一文12针对在中学数学中不等式的证题 方法较多，技巧性强的这一特点，通过例题说明函数凸性是函数在区间变化的整体形 态，对于一些不等式，可以巧妙地构造凸函数，利用凸函数加以证明；夏红卫的凸 函数与不等式一文13从凸函数的定义出发，得到函数的连续性，推导出 Jensen 不等 式，并由此得到 n 个正数的算术平均与几何平均之间的不等式关系；张景丽、陈蒂的 凸函数在不等式证明中的应用一文14论述可导凸函数的几何特征和性质，并举例 说明它们在不等式证明中的应用；晏忠红的凸函数的应用一文15主要论述了用凸 函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些探讨，等 等；朱庆喜的函数凹凸性的应用举例17一文主要根据函数凹凸性的定义形式通过 例子反映出函数凹凸性的简捷有效应用；王萍珠的例说高考函数图像题的解法一 文18是针对高考中的函数图像题这类问题该如何解决而提出应从学会看图和学会作图 两方面着手；罗志斌,曾菊华的关于函数凹凸定义的一个注解19一文针对不同教 材的函数凹凸定义进行比较,对函数凹凸性的相关性质进行讨论,并对函数凹凸性的应 用进行研究；赵春燕的构造函数,利用函数性质证明不等式20一文论述在构造函 数的背景下运用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题 转化为函数问题，等等. 22 国内外研究现状评价 综合国内外研究现状可以看出，关于函数凹凸性在高中数学中的应用的研究，仁 者见仁、智者见智其中，较大多数只对一个或几个题目研究某一方面的问题，对高 中出现的有关函数凹凸性的问题没有给出系统的归纳和分类因此函数凹凸性在高中 数学中的应用还有许多问题值得研究和探索 23 提出问题 经过查阅了国内外的参考文献以及对近几年高考试题的分析，发现函数凹凸性在 解决高中题时有巧妙作用，而目前文献对用函数凹凸性来解决高中题又没具体给出应 用的归纳和分类于是本文在查阅了相关资料后，在前人研究的基础之上，对函数凹 凸性的应用做了归纳和分类，总结出函数凹凸性在证明不等式、求取值范围、解数形 结合问题以及求最值方面的应用，进而培养与提高学生学习数学的兴趣，为学生解决 3 这些问题提供更广的解题思路和解题方法 3 凹凸函数基础知识 31 凹凸函数的定义 函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用，往往能起到事半功倍的效果，下面先介 绍一下它的定义 定义 1：如果函数对其定义域中任意的，都有如下不等式( )f x 1 x 2 x （1）)()( 2 1 ) 2 ( 21 21 xfxf xx f 成立，则称是下凸（凸）函数(如图 1 所示)，当且仅当时等号成立)(xf 21 xx 如果函数对其定义域中任意的，都有如下不等式( )f x 1 x 2 x （2）)()( 2 1 ) 2 ( 21 21 xfxf xx f 成立，则称是上凸（凹）函数(如图 2 所示)，当且仅当时等号成立 )(xf 21 xx 从几何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点，的中点所对应的 1 x 2 xM 曲线上的点 Q 位于弦上对应点 P 的下面不等式（2）则有相反的意义 32 凹凸函数的相关定理 以下几个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要， 为了使以后的解题过程更加 的方便，下面做一个归纳总结 定理 1（詹生不等式）16 若函数在区间 I 是上凸函数，则有不等式：( )f x （3）)()()()( 22112211nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf 若函数在区间 I 是下凸函数，则有不等式：( )f x 4 （4）)()()()( 22112211nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf 其中；niqIx ii , 2 , 1, 0,1 21 n qqq 定理 2 若是下凸函数，则其对应定义域中的任意 n 个点恒有：)(xf n xxx, 21 )()()( 1 )( 21 21 n n xfxfxf nn xxx f 当且仅当时等号成立 n xxx 21 类似地，对于上凸函数有： )()()( 1 )( 21 21 n n xfxfxf nn xxx f 定理 3 对于 I 上的任意 ，总有：上的下凸函数为区间Ixf)( 321 xxx 成立 23 23 12 12 )()()()( xx xfxf xx xfxf 定理 4 设函数在开区间上可导，则在区间上为上凸函数)(xfI)(xfI 导函数在区间单调减少)(x f I 对 I 上的任意两点且，总有 21,x x 21 xx )()()( 12112 xxxfxfxf 推论：设函数在开区间上存在二阶导数：)(xfI (1)若对任意，有，则在上为下凸函数;Ix0)( x f)(xfI (2)若对任意，有，则在上为上凸函数Ix0)( x f)(xfI 定理 5 对于上凸函数有如下简单性质:)(xf （1）若是线性函数，则函数与凸性相同)(xg)()(xgxf)(xf （2）当时，函数与的凸性相同0)(xf n xf)()(xf)(Rn （3）函数与函数、的凸性相反)(xf)(xf)( 1 xf 反之对于下凸函数也有相同的性质 对于一些比较复杂的函数凹凸性的判断，常根据定理 4 及推论利用导数，判断其 5 二阶导数的正负 33 高中数学中常见函数的凹凸性 在高中数学中，对于一些常见函数我们可根据函数图像或求二阶导数对其凹凸性 进行判断如二次函数，因为开口向上，所以在区间(-，+)上是下凸函数， 2 xy 当然也可根据其二阶导数，得出它是下凸函数02 y 下面对于一些常用的，在考试中出现频率高的函数的凹凸性作一个探讨 （1）对数函数 对于对数函数而言，其凹凸性如下：若，则对数) 10(logaaxy a 且10 a 函数为下凸函数；若，则对数函数为上凸函数xy a log1axy a log （2）指数函数为下凸函数) 1, 0(aaay x 且 （3）三角函数 sin(0, ) sin( ,2 cos(,) 22 3 cos(, 22 tan(,0) 2 tan(0 2 cot(,0) 2 cot(0,) 2 yxx yxx yxx yxx yxx yxx yxx yxx 是上凸函数， 是下凸函数，） 是上凸函数， 是下凸函数，） 是上凸函数， 是下凸函数，） 是下凸函数， 是上凸函数， （4）二次函数 对于二次函数而言，其凹凸性如下：若，则二次函数)0( 2 acbxaxy0a 为下凸函数；若，则二次函数为上凸函数cbxaxy 2 0acbxaxy 2 （5）反比例函数 对于反比例函数而言，其凹凸性如下：)0(k x k y 当时:0k 6 若，则反比例函数为上凸函数；若，则反比例函) 0 , (x)0(k x k y), 0( x 数为下凸函数)0(k x k y 当时:0k 若，则反比例函数为下凸函数；若，则反比例函) 0 , (x)0(k x k y), 0( x 数为上凸函数)0(k x k y （6）双勾函数 对于双勾函数而言，其凹凸性如下：)0, 0(ba x b axy 当时，双勾函数为上凸函数；当时，) 0 , (x)0, 0(ba x b axy), 0( x 双勾函数为下凸函数)0, 0(ba x b axy 4 函数凹凸性在高中数学解题中的应用 凹凸性尽管是高等数学的一个内容，但在高中数学中却有着广泛的应用，如能灵 活应用，可事半功倍在以下例题中主要采用凹凸函数性质解题，其他方法暂不介 绍 41 函数凹凸性在证明不等式中的应用 证明不等式是高中数学的一个重点内容，也是难点内容，但若用函数凹凸性的方 法证明不等式，往往会起到奇妙的效果 【例 1】(2000 年江西、高考) 若，1ablglgPab)lg(lg 2 1 baQ ，则( ) 2 lg( ba R A BQPRRQP C D RPQQRP 解:由得均为正数，且互不相等，由均值定理易得，又1 bacbalg,lg,lgQP 考虑对数函数则有，所以函数在其定义域内xxflg)(0lg 1 )( 2 e x xfxxflg)( 是上凸函数，故有，选 B RQ 【例 2】 (2005 年全国高考)(1)设函数 7 ，) 10(),1 (log)1 (log)( 22 xxxxxxf （1）求的最小值)(xf （2）设正数满足，求证： n PPPP 2 321 ,1 2 321 n PPPP + 121log pp 222log pp 323log ppnpp nn 2 2 2 log 解：(1)依题意，设，则，xxxg 2 log)(exxg 22 loglog)( ，0log 1 )( 2 e x xg 时，为下凸函数01x当)(xg 2 1 ) 2 1 ( 2 )1 ( 2 )1 ()( g xx g xgxg 当且仅当，即时等号成立，xx1 2 1 x 故的最小值为-1) 10(),1 (log)1 (log)( 22 xxxxxxf (2) 由(1)知在区间为下凸函数，故有xxxg 2 log)() 1 , 0( n n pgpgpg 2 )()()( 2 21 nnnnn n n g ppp g 22 1 log 2 1 ) 2 1 () 2 ( 2 21 npgpgpg n )()()( 2 21 即+ 121log pp 222log pp 323log ppnpp nn 2 2 2 log 说明:本题在高考的参考答案中解题过程较繁杂，利用对数函数的凹凸性则简单明 了，干净利落 【例 3】，求证：1, nbaRba 1 2 )( n n nn ba ba 证明：构造上的下凸函数， R) 1()(nxxf n , b a ， 1 2 )( ) 2 (2 n n nnn baba ba 8 说明：本题由“，则”推广得之易，但用数学归纳法证之ba 2 )( 2 22 ba ba 难，且证题的其它突破口觅之不易由于巧妙运用了指数函数凸性，证明不等式，简 洁明快 【例 4】(2006 年四川高考)已知函数的导函数是)(),0(ln 2 )( 2 xfxxa x xxf 对任意两个不相等的正数，证明:当时，)(x f 21,x x0a) 2 ( 2 )()( 2121 xx f xfxf 证明：当时有，即0a x xxf 2 )( 2 2 2 2)( x xxf0 4 2)( 3 x xf 为下凸函数)(xf 当时有，0a)0(ln 2 )( 2 xxa x xxf)(x f axx x 12 2 2 ，即为下凸函数0 14 2)( 23 axx xf)(xf 综上，当时， 为下凸函数，对任意两个不相等的0a)0(ln 2 )( 2 xxa x xxf ，由下凸函数性质有： 21,x x) 2 ( 2 )()( 2121 xx f xfxf 【例 5】已知函数，若且，证明：) 2 , 0(,tan)( xxxf) 2 , 0(, 21 xx 21 xx ) 2 ()()( 2 1 21 21 xx fxfxf 证明：，xxxf 2 sec)(tan)(xxxxf 22 sectan2)(sec)( ，) 2 , 0( x ，0)( xf 在区间是下凸函数)(xf) 2 , 0( 又， 21 xx ) 2 ()()( 2 1 21 21 xx fxfxf 说明:若该题采用常规方法，对三角函数式变形要求较高，利用函数凹凸性则可避 9 免繁杂计算、变形，从而提高解题速度 42 利用函数凹凸性求取值范围 在高中阶段对很多学生看到求取值范围往往是无从下手，而函数的凹凸性为我们 开辟了一种即简单又易懂的新思路 【例 6】(2005 年辽宁高考)函数在区间内可导，导函数是减)(xfy ), 0( )(x f 函数，且设，是曲线 y=f(x)在点的切线方0)( x f), 0( 0 xmkxy)(,( 00 xfx 程，并设函数mkxxg)( (1)用表示 m;)(),(, 000 xfxfx (2)证明:当时，;), 0( 0 x)()(xfxg (3)若关于 x 的不等式在上恒成立，其中为实数， 3 2 2 2 3 1xbaxx, 0ba, 求 b 的取值范围及与 b 所满足的关系a 解:(1)函数在点处的切线方程为: ， )(xfy )(,( 00 xfx)()( 000 xxxfxfy 整理得:，所以)()()( 0000 xfxxfxxfy 000 )()(xxfxfm (2)(利用定理 4) 在区间内可导且，)(xfy ), 0( 0)( x f 在区间上为单调递增函数)(xfy ), 0( 又导函数是减函数，)(x f 在区间上为上凸函数，曲线总在它任一切线的下方，)(xfy ), 0( )(xfy 即有 )()(xfxg (3)设，), 0( 1)( 2 xxxh 02)(,2)( xhxxh 由定理 4 中的推论（1）可知上为下凸函数，曲线总在它，在 0)(xh)(xh 的 10 任一切线的上方则与曲线的切线平行且截距小于等于切线截距的直线满足)(xh baxx1 2 设为上任意一点，过 P 的切线为) 1,( 2 00 xxP), 0( 1)( 2 xxxh y) 1( 2 0 x)(2 00 xxx 整理得： ), 0( 12 2 00 xxxxy 由和消去得 0 2ax 2 0 1xb 0 x) 1, 0()1 (2 2 1 baba 设，为函数的不可导点), 0( 2 3 )( 3 2 xxxf0 x )(xf 当时，只要即可满足0x0b 3 2 2 3 xbax 函数为可导函数，故), 0( 2 3 )( 3 2 xxxf0 3 1 )(,)( 3 4 3 1 xxfxxf 在为上凸函数，曲线总在它的任一切线的下方，所以与曲线的切)(xf), 0( )(xf)(xf 线平行且截距大于等于切线截距的直线 3 2 2 3 xbax 设为上任意一点，过的切线为：),(3 2 00 xxQ), 0( 2 3 )( 3 2 xxxfQ ), 0( 2 3 3 2 0 xxy 整理得： ), 0( 2 1 3 2 0 3 1 0 xxxy 由消去得： 12 33 00 1 2 axbx 和 0 x )0, 0()2( 2 1 baba 所以不等式对任意成立的充要条件是不等式 3 2 2 2 3 1xbaxx), 0( x 11 2 1 2 1 )1 (2)2(bb 显然，存在使上式成立的充要条件是不等式有解ba, 2 1 2 1 )1 (2)2(bb 解此不等式得：所以 b 的取值范围是所 4 22 4 22 b 4 22 , 4 22 以所满足的关系式为ba与ba b b 12 2 2 43 函数凹凸性在数形结合中的应用 利用函数的凹凸性，不仅可以用来证明不等式，求取值范围而且还可以深刻地研 究函数的有关性质和绘制函数图像，并结合图像来解决问题 【例 7】 （2001 年全国高考试题）已知为正整数，且，证明：nm、nm 1 mn nm)1 ()1 ( 证明分析：如图作出函数的简图 图象过点xy n)1( log ) 1 , 1( nA 设直线交曲线于点 B，交线段 AC 于点 F，则，nx ny nB)1( log ，由函数的凹凸性可知：函数为上凸函数，所 n n ACEtgnyF 1 ) 1( xy n)1( log 以， FB yy n n n n 1 log )1( 1 ) 1lg( lg n n n n (1) ) 1lg( 1 lg 1 1 n n n n 设数列的通项为，则（1）式即，所以数列为递减 n an n anlg 1 1 1 nn aa n a 数列由则可得，即，nm 1 11 nm aa)1lg( 1 )1lg( 1 n n m m ，所以成立)1lg()1lg(nmmn mn nm)1 ()1 ( 【例 8】设和分别为各项都为正数的非常数的等差数列和等比数列，且 n a n b 12 ，求证： 11 ba 12 n a 12 n b 1n a 1n b 证明分析：因为数列其实是定义在上的特殊函数，等差数列的图像为直线上一 N 些离散的点，等比数列的图像是“准”指数函数图像上的一些离散的点 本例中的两个数列的图像有两个公共点，故可作出如下草, 12( B ), 1 ( 1 naA、) 12 n a 图： 由图的正确性一览无余并且还可以发现，此题的结论其实只是图示中 1n a 1n b 的一个特例罢了 “形”中还包含了更为一般的“数”的结果：若，则121ni 11 ii ba 44 利用函数凹凸性求最值 求函数最值问题，是中学数学的一个重要而又难学内容，也是历来是高考数学中 考查的重点之一，运用定义、均值不等式、求导来求最值是高中数学的常用方法，而 函数凹凸性在解决此类问题又有其巧妙作用 【例 9】在中，求最大值ABCCBAsinsinsin 解:构造上凸函数，)sin()(xxf 则有: 2 33 3 sin3 3 sin3sinsinsin CBA CBA 的最大值是CBAsinsinsin 2 33 说明 1:新教材弱化了和差化积、积化和差的教学，对此类问题的解决极为不 利函数凸性给类似问题的解决提供了新的视角，化繁为简，直观易懂 说明 2:同法易证:此不等式的推广“是凸 n 边形的 n 个内角，则有 n aaa, 21 ” n n na n i i )2( sinsin 1 )4 , 3(ni 13 【例 10】，且，求的最小值 Rcba,1abc )( 1 )( 1 )( 1 333 baccabcba 解：由得，置换所求，得：1abc1, 111 cba 2 3 )( 1 )( 1 )( 1 113113113 baccabcba 化简有: ， 2 3 222 ba c ca b cb a 令，则且原不等式等价于:scba, 333abcs 2 3 222 cs c bs b as a 现构造下凸函数，有 xs x xf 2 )( 2 3 2 3 ) 3 ( 3) 3 (3 2 222 s s s s s f cs c bs b as a 的最小值为 )( 1 )( 1 )( 1 333 baccabcba 2 3 说明 1：分式不等式的证明一直是不等式证明的疑难问题，文中给出了其构造向量 的证明方法，新颖、独特本例从凸函数的视角展开的证明，同样让人耳目一新 说明 2：“置换”的妙处在于彰显了所要构造的凸函数的形式 5 结论 51 主要发现 本文在文献1-20的基础上对函数凹凸性的定义及其相关定理进行了探究，总结 出函数凹凸性在高中数学中四方面（证明不等式，求取值范围、最值以及解与图形结 合的题）的应用，发现利用函数凹凸性来解决一些较复杂的高中题时，可以使这些问 题变得简单和快捷，收到事半功