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三角函数和平面向量 三 角 函 数一、本章知识结构任意角的三角函数任意角弧度制三角函数定义诱导公式同角三角函数的关系三角函数的图像与性质正弦、余弦、正切的图像正弦、余弦、正切的性质简单的三角恒等变换差角余弦公式和（差）角公式倍角公式解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式向量基本概念向量运算加减运算数乘运算数量积向量基本定理坐标表示向量应用二、高考要求1理解角的有关概念，并能进行弧度与角度的互换。2掌握三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的图象和性质，会用五点法作函数y=Asin(x+)图象。3掌握两角和与差的正弦、正弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式，并会用公式进行三角函数式的化简和求值、证明。4掌握正弦、余弦定理，并能应用解三角形。5掌握平面向量有关知识，如向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量垂直的条件、夹角公式等，会用向量方法解决简单问题。常考点：1）三角函数的定义；2）同角三角函数的基本函数关系式；3）三角函数的图象和性质；4）三角恒等变换；5）正弦、余弦定理的应用；6）解三角形；7）平面向量的概念及运算；8）平面向量的基本定理及坐标表示；9）平面向量的数量积。易考点：1）三角函数的图象和性质；2）三角恒等变换；3）正弦、余弦定理的应用；4）解三角形；5）平面向量的基本定理及坐标表示；6）平面向量的数量积。必考点：三角函数的图象和性质，三角恒等变换，解三角形，平面向量的数量积。三、热点分析1三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一。近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型，以三角函数为载体的立意新颖的应用性试题将备受命题者的青睐，一般出现在前两个解答题的位置。无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%。2平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%。对平面向量基本概念、平面向量的加减运算、平面向量的基本定理的考查仍以客观题的形式呈现，对向量平行、向量垂直、数量积问题应多加重视，这在未来高考中仍是命题的重点和热点。近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用。四、三角函数的复习建议1要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念头脑中要有一根弦：角的范围已经扩展了，系列角如何表示，相关角如何表示。2在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取3单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，利用三角函数线进行求角和解三角不等式，有时候会更简单。4要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性5函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小，要注意单调区间是一个连续区间。6三角函数很好地体现了对称性和周期性的关系，要把这种关系拓展到一般函数。对称性用处：对称轴和最值对应,对称点和零点对应.7熟练三角函数图象的作图方法，注意定义域有限制的作图训练。通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。8熟悉公式的记忆和运用（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；（3）倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的意图；（4）合一变形:asinx+bsinx=。但要控制难度，限制在是特殊角的范围内。提醒:一些常见的变形技巧:(1)化切为弦；(2)遇公因式提取公因式;(3)凑角(不要盲目用一些公式展开,关键是看已知角和所求角有没有特殊关系。比如相差180度,90度等)9关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。三角函数这部分内容在高考中的难度要求是不高的，所以在复习的时候要控制难度，但由于公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要花较多的时间加强训练，学习时注意化归思想和数形结合思想的渗透，注意易错点。五、平面向量的复习建议1透彻理解向量的概念。向量概念的两大要素“方向和长度”使向量既有“形”又有“数”的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体。要抱着这样的观点去学习向量知识。2先从向量的几何特征进行学习，包括向量相等，向量共线的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加减、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示，目的是给向量建立一个系统的几何体系。3向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。4向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚。向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚；两个公式同时运用，又可构造出一个等式。要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离。5要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能，但题目的难度要有所控制。如：在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。在中，是的外心；一定过的中点；通过的重心；，是的重心；，是的垂心；通过的内心；则是的内心；6适当训练以平面向量为背景的解析几何问题。解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件，有的要懂得看出几何特征，有的是利用坐标运算直接转化为数的关系。在解析几何中也经常利用向量解决有关角度和垂直，以及点分线段的问题，会使得问题简单化。多训练一些这样的题目，就不会感到畏惧了。三角函数和平面向量做为高中数学的两个重要分支，内容繁杂，需要用心学习，把基础知识和基本技能练扎实，并且适当地提高能力，要把握好学习这两部分内容的度。典例分析例1（1）已知（ ）A-1BCD1（2）若，则（ ）ABCD（3）（2012江苏文）设为锐角，若，则的值为_。（4）（2012广东）已知函数（其中）的最小正周期为10。求的值；设，求的值。【经验之谈】1三角函数式的化简与求值的原则：化为同名同角，常用的技巧有：切割化弦、降幂、异角化同角，高次化低次。2三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换，特别是用“1”的代换，如1=等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：=1+；配凑角：，等。3降次与升次。即倍角公式的变形。4化弦（切）法，尤其齐次式形如：。5引入辅助角。思考题（1）（2012山东）若，则=( )ABCD（2）（2012江西临川）已知是第二象限角，其终边上一点P()，且，则=( )ABCD（3）（2012北京海淀）若，则=_（4）（2012江西文）已知，若，则（ ）ABCD例2（1）（2012课标全国）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）ABCD（2）（2012河南郑州）设函数 ，则A的最小正周期为，且在上为增函数B的最小正周期为，且在上为减函数C的最小正周期为2，且在上为增函数D的最小正周期为2，且在上为减函数（3）（2012山东）已知向量，函数的最大值为6。求A；将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像。求在上的值域。（4）（2012北京文）已知函数。求的定义域及最小正周期；求的单调递减区间。【经验之谈】1已知函数图像求函数的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图像求得的 的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，否则的值不确定，解析式也就不唯一。2研究函数的性质关键把作为一个整体，求单调性时，注意的正负。求三角函数的周期，通常应将函数式化为“三个一”的形式，即只有一个函数名，角度唯一，次数为一次，然后借助于常见函数的周期来求解。思考题（1）（2012浙江）把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平衡1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）（2）（2012陕西）函数的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为。求函数的解析式；设，求的值。（3）（2012山东文）函数的最大值与最小值之和为（）A2B0C D（4）（2012重庆）设，其中求函数的值域；若在区间上为增函数，求的最大值。例3（1）（2012上海）在中，若，则的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定（2）（2012湖北文）设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为（ ）A4：3：2B5：6：7C5：4：3D6：5：4（3）（2012江西）在中，角A，B，C的对边分别为，已知，求证：；若，求的面积。（4）（2012江苏）在中，已知求证：；若，求A的值。【经验之谈】本考点知识是高考必考内容，重点考查正弦、余弦定理、面积公式，主要是“知三求三”问题，关键是边角互化，化为同一种形式。思考题（1）（2012天津）在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知，则=（ ）ABCD（2）（2012重庆）设的内角A，B，C的对边分别为，且，则=_（3）（2012课标全国）已知分别为三个内角A，B，C的对边，求A；若=2，的面积为，求（4）（2012浙江文）在中，内角A，B，C的对边分别为，且求角B的大小；若=3，求的值。例4 （2012福建厦门）如图6-1，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，其中PN的长为米，NM的长为2米，在P处测得M，N的仰角分别为45，30，在N处测得M的仰角为30。求此山的高度；试求平面PMN与水平面所成角的余弦值。【经验之谈】求解该类问题时应注意以下两点：1熟悉方位角、方向角等基本概念，熟悉“上北下南，左西右东”等基本的作图常识；2筛选有用信息，作出示意图（或已知示意图，结合图理解题意），将题目转化为成解三角形问题。思考题（1）某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最在仰角为30，求塔高。（2）2012年8月20日，渔政船甲、乙同时收到我国南海黄岩岛上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙），此时B、D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？例5（2012浙江）设是两个非零向量（ ）A若B若C若，则存在实数，使得D若存在实数，使得，则（2）（2012大纲全国）中，AB边的高为CD，若,，则=（ ）ABCD（3）（2012广东）若向量，则=（ ）A(-2,-4)B(2,4)C(6,10)D(-6,-10)【经验之谈】灵活运用向量的几何意义及基本定理是向量的基本功、其常见的技巧有：灵活选取有公共点的两个不共线向量为基底；注意共线向量定理的应用；充分利用首尾相连的向量表示等量关系；善于把一个向量通过拆、凑、加、减表示多种形式。思考题（1）（2012安徽）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是（ ）A()B()C()D()（2）（2012山东济南一模）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足=，则点P一定为三角形ABC的（ ）AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点（非重心）C重点DAB边的中点例6（1）已知M点和，满足，则动点M一定过的（ ）A内心B垂心C重心D中心（2）已知O是所在平面内的一点A、B、C所对的边分别为，若，则O是的（ ）A重心B垂心C外心D内心【经验之谈】向量的几何表示是高考的热点问题，特别是三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的规律如下：1为的重心，为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；，即已知AD是中BC边的中线。2为的垂心。3为的内心。向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）。40为的外心。思考题（1）已知点O、N、P在所在平面内，且，则点O、N、P依次是的（ ）A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心（2）（2012山东烟台二模）已知非零向量和满足()=0，且，则为（ ）A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形例7（1）（2012北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_。（2）（2012上海）在平行四边形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_。（3）（2012安徽）若平面向量满足，则的最小值是_。【经验之谈】1数量积的定义是高考的一个热点，其运算的结果是数量，要把握这类问题，首先要理解向量数量积的定义，掌握数量积的计算公式和数量积的坐标公式；掌握数量积的几何意义及其应用；另外，应熟练掌握数量积的性质和运算律。2求向量的模是高考的重点，求向量的模通常转化为求向量的数量积，也就是用已知向量的数量积把所求向量的模表示出来，这是高考经常出现的题型。3求向量的夹角是高考的一个难点，要熟练掌握求两个向量夹角的基本公式。思考题（1）（2012重庆）设，向量，且，则=（ ）ABC2D10（2）（2012北京东城）若向量满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD（3）（2012江苏文）如图7-1，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_.例8（2012辽宁锦州）向量，向量与向量的夹角为，且=-2（1）求向量；（2）若，且，其中A、B、C是的内角，若的内角A、B、C依次成等差数列，试求的取值范围。【经验之谈】向量平行和垂直的命题方向有两个：一是利用已知条件去判断向量平行或垂直；二是利用向量平等或垂直的条件去确定参数的值。常用结论有：（1）向量平行（共线）的充要条件：若，；（2）向量垂直的充要条件：若，思考题设是锐角三角形，分别是内角A、B、C的对边长，向量，且向量共线。（1）求角B的大小；（2）若=12，求(其)答 案三角函数例1（1）A（2）D（3）（4）【解析】由已知得，又又思考题（1）D（2）B（3）（4）C例2（1）A（2）B（3）【解析】因为由得将函数的图像向左平移个单位后得到的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图像.因此因为故上的值域为（4）【解析】由故因为所以的最小正周期函数的单调递减区间为，得所以的单调递减区间为思考题（1）A（2）【解析】即函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为故函数的解析式为又（3）A（4）【解析】因为，所以函