广州市垃圾填埋场的设计.doc

高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参赛队员个人信息 (姓名，性别，学院，专业，班级，学号，手机号码) ： 姓名性别所在学院专业班级学号联系方式温任升男信息工程计算机医学应用2110750821115876098824吴凝致男信息工程计算机医学应用2110750821415913383944吴 浪男信息工程计算机医学应用2110750821315900098024 完成日期： 2012 年 6 月 3日广州市垃圾填埋场的设计摘要:现阶段,人们离不开用填埋的方式处理日常生活中产生的海量垃圾。建设填埋场在市政府财政支出中当然会占重要比例,但是通过统筹兼顾设计后能为政府节省不少经费.本文通过广州市垃圾填埋的实例先进行适当的假设使模型运作过程更加的便捷,同时也有效地降低了处理的烦冗度,顺利建立非线性规划模型,并充分运用枚举法比较有效范围内的最佳取值即最佳挖掘深度，进而考虑征地、购买机械的最佳方案和预算.始终通过数据运算结果寻求最佳量。关键词: 统筹兼顾 非线性规划 枚举法 累计 图像辅助分析法一、问题的重述与分析1. 问题的重述 广州市平均日产生活垃圾约为4000立方米（以压缩后体积计）,并以年增长率8%的速度增长。现欲建一垃圾填埋场,将垃圾挖坑后填埋,再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被.现需就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策. 已知下列情形: （1）挖出不用的土方可被建筑工程使用,无须处理,但须运上地面,并须留出填埋覆盖用土. （2）每套挖掘及填埋机械需购置费用250万元,使用寿命十年. （3）填埋场预计使用三十年. （4）压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中,无须作功. （5） 现征地费用为30万元/亩,根据统计资料知,此前三年地价涨幅为平均10%/年. （6）机械使用柴油,效率为30%.在平地作业时,将一立方土移动一米需作功100KJ,但随挖掘深度加大,每增加一米深度,其效率在原有基础上下降10%. （7）当前银行贷款年利率为6%,存款利率为3%. （8）填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等).考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题,市政当局希望给出花钱最少的预算.问题:（1） 试按市政当局要求,建立数学模型,为该项目计算出最佳的挖掘深度评价模型优缺点; （2） 作出征购土地,购买机械的方案及预算.（3）垃圾填埋占用大量土地，并且成本不菲，根据模型计算结果，试给当局提出更合理的垃圾处理方法。2. 问题分析与建模流程 针对问题一,我们对最佳深度的理解-就是要挖土消耗的经费不能超过多买地皮的经费,即两者要兼顾.根据题目给出的条件:每套挖掘机及填埋机械需购置费用250万元,使用寿命十年.填埋场预计使用30年.现征地费用为30万元/亩,根据题目提供的统计资料知,此前三年地价涨幅平均10%/年.机械使用柴油,效率为30%.在平地作业时,将一立方土移动一米需做功100KJ,但随挖掘深度加大,煤增加一米深度,其效率在原有基础上下降10%.当前银行贷款率为6%,存款率为3%,统筹兼顾各种限制条件并通过建立非线性规划模型,根据此模型建立适当方程组,然后运用枚举法,从而求出最佳挖掘深度. 针对问题二,根据问题一求解出的最佳挖掘深度,然后利用建立的非线性规划模型,以逐年累计的方式算出需要的经费从而得出征购土地,购买机械的方案及预算. 针对问题三,我们考虑垃圾填埋结合其他各种技术对垃圾的进行更为科学合理切合实际的处理,比如生物降解等.2、 模型的假设 结合本题提供的实际情形,并参考相关文献【1】【2】【3】【4】,通过排除一些目前无法确定而与将要建立的模型无关联的因素干扰,提出了以下几点假设以保证模型求解合理而且简便: 1.地价涨幅在未来30年内保持不变,均保持10%/年.银行贷款年利率、机械使用柴油的价格在30年内保持不变;2.政府从年初开始征地,并制定当年的方针政策,且当年严格按照此政策执行, 亦可能连续几年一起执行; 3.市政府可以在30年后一次性还清银行债务; 4.当年每天的挖掘深度相似,我们取其为此年的平均深度为（i=1,2,330）并且每年均按365天计算; 5.挖掘机的功率均为100KW,且每套挖掘机平均每天工作8小时; 6.所选垃圾场周围在未来30年内无其他用途,可以保证30年内所需垃圾填埋; 7.不计工人薪酬和保养机械设备的支出. 8.垃圾的年平均产生量在逐年增加,模型运作时关于垃圾则以年为单位的,即同一年中的用同一个年平均量.可以说是将其理想化的.三、符号说明符 号涵 义 i(1,2=30)从今年年初计为1,直至30年结束H第年挖掘机的最佳挖掘深度（米）A第年的征地费单价（万元/平方米）S第年总面积（平方米）s第年平均每天消耗土地面积（平方米）D第年征地所需费用（万元）E第年购买机械所需费用（万元）F第年机械消耗柴油总费用（万元）f第年平均每天机械消耗柴油费用（万元）G第年的贷款费用,即消耗费用（万元）j(j1)挖掘机所挖第米时的效率r柴油的价格,柴油的燃烧值,m第年平均每天消耗的柴油量（Kg）挖掘机的功率100w 挖掘机的单价,250/套N第年购买挖掘机的数量M第i年的日平均垃圾量4000乘以（1+8%）的i-1次方4、 模型的建立与求解1. 模型一的建立与求解（1）非线性规划模型 【2】的建立 当目标函数或约束条件中存在非线性函数,这种规划问题就称为非线性规划问题.一般来说,解非线性规划要比解线性规划问题困难的多.而且,也不像线性规划有单纯形法这一通用方法,非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的使用范围.对于一个实际问题,在把它归结成非线性规划问题时,一般要注意如下几点: 1.确定公选方案:首先要收集同问题有关的资料和数据,在全面熟悉问题的基础上,确认什么事问题的可供选择的方案,并用一组变量来表示它们. 2.提出追求目标:经过资料分析,根据实际需要和可能,提出要追求极小化货极大化的目标.并且,运用各种科学和技术原理,把它表示成数学关系式. 3.给出价值标准:在提出要追求的目标之后,要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准,并用某种数量形式来描述它. 4.寻求限制条件:由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果,因此还要寻找出问题的所有限制条件,这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示. 当非线性规划的最优解存在时,其则可能在其可行域的任意一点达到.（2）问题一的求解 首先将题目中的已知条件转化为数学表达式: 1.将低价单位换算为:30万/亩=450元/平方,假设地价涨幅不变,地价成指数增长,则第年的地价为:A=450x(1+10%)(i-1), (i=30) 2.第i年的日平均生活垃圾为M=4000(1+8%)i深度和每天所需土地面积的关系为:S x (H -1)=M （2） 3.由“机械使用柴油,效率为30%,随挖掘深度加大,每增加一米深度,其效率在原有基础上下降10%”可得在第米深时的机械效率为: n=30%x(1-10%)(j-1) (3) 4.由“在平地作业时,将一立方土移动一米需做功100KJ”,可得每天挖掘米所做的功为: W=100S(j1+j2H),j1=0 （4）可知道每天需要的柴油质量为:M=(100S/q/n)(j1+j2+H),j1=0 （5） 5.由“每套挖掘机填埋机械需购置费用250万元”知:第年购买挖掘机的费用为: E=aN （6）因“挖掘机填埋机械的寿命为十年”,故当时,第年购买的挖掘机的数量与做功之间有如下关系:(N1+N2+Ni)x8xPx30%=100S(j0+j1+H)（7）当时,第年购买的挖掘机的数量与做功之间有如下关系:(Nn+N+Ni)x8xPx30%=100xSx(j0+j1+H) ,n=i-9 （8）综上,市政府需每年预算为: G=D+E+F=AS+aN+rM=365x(AS+rm)+aN （9）于是,得上式（9）就是目标函数,而约束条件中包含非线性函数,故其符合非线性规划问题的特点.我们有如下的规划模型:min:G=D+E+FD=ASA=450(1+10%)(i-1)S=365sS=M/(H-1)E=aN(N1+N+Ni)Px30%x2.88x10000=100s(j+H),(i10)F=365fm=100s(0+H)n=30%(1-10%)(j-1) 即使涉及的数量较大,借助计算器计算后统计结果，采用枚举法来求解出最佳的挖掘深度.当时,通过枚举法, H在2，43深度区间,得到第一年的总费用,见下表 深度H/米2345678费用G/百万元232.32052192.41904189.1186.5180.3深度H/米9101112131415费用G/百万元178.8178.1177.6176.9175.4174.9173.4深度H/米16171819202122费用G/百万元170.9160.5160.3159.5159.2158.5158.1深度H/米23242526272829费用G/百万元155.2153.2153.1152.2150.2149.2148.5深度H/米30313233343536费用G/百万元140.5139.2138.5137.4136.2132.6130.1深度H/米37383940414243费用G/百万元135.2135.6135.9136.5139.2140.6142.9我们将深度为10-43米的离散点用光滑的曲线连接起来,得到曲线如下.由表格数据和图像趋势,得到此时最佳深度为H=40.3米我们用同样的方法求解出第1-10年的挖掘深度见下表.第一年第二年第三年第四年第五年40.342.142.542.843.1第六年第七年第八年第九年第十年43.343.543.844.445.2画出前十年的挖掘深度曲线图如下： .考虑到挖掘深度的加大会增加挖掘机的挖掘难度,根据目前的技术,我们认为挖掘的深度不宜超过45米.由前时间的数值取平均值即最佳的挖掘深度为44.6m.2. 模型二的建立与求解(1)征购土地的方案与预算在该模型中将还款方式假定为等额本金还款法,即借款人每年按相等的金额偿还贷款本息,其中每年贷款利息按年初剩余贷款本金计算并逐年结清.另外,贷款利息计算公式为:.在该问中,假设垃圾场所选地址周围在未来30年中没有其他用户买地或者做他用.将第一文中的 H=44.6m作为已知条件使用,便可求得每年所需土地面积表达式如下:So=365xM/(H-1) （12）则30年所需的土地面积为:Sz=30x365xM/(H-1) （13）假设共需k次购买,前k-1次购买相同的j年所需土地面积,第k次购买 30-(k-1)i年所需的土地,即k=30/i整数.在30年中前k-1次每次购买土地面积为:S=iSo （14）根据等额本件还贷法的定义可得每一年所需还的本机和利息之和表达式如下: 第1年：MiSx6%+MixS/i 第2年：Mix（1-1/i）xSx6%+MixS/i （15） . . . 第i年：1/ixMixSx6%+MixS/i将以上格式叠加可得到第1年到第年的本息之和为: E=MixSx6%+MixS/i （16）同理可得 第年到第年的本息之和为: E=MixSx(1+6%x(1+i)/2)x(1+10%) 第2i+1年到3i年的本息之和为： E“=MiS（1+6%（1+i）/2）（1+10%）x（2i） 第（k-1）i+1年到ki年的本息之和为： Eki=MiS(1+6%(1+i)/2)(1+10%)i （17）再次将以上各式迭加得到第1年到第年所需还款金额为: Ez=Ei1+Ei2+Eik=MixSx(1+6%x(i+1)/2)x(1.1ki-1)/(1.1t-1) （18）另有第 30-ki+1到第30年购买土地还款求解如下: 第一年：MiSx（1+10%）(ki)x6%+MiSx(1+10%)ki/(30-ki) 第二年：（1-1/(30-ki)） xMiS(1+10%)ki+MS(1+10%)ki/(30-ki) （19）则最后一次购买土地所还款为: E2=MiS(1+10%)ki x (1+6%(30-ki-1)/2) （20）所以30年购买土地所需要的本息总和为: Ez=MiS(1+6%(i-1/2)(1.1ki -1)/(1.1i-i)+MiS(1+10%)ki(1+6%(30-ki-1)/2) (21)代入数据得: (22)其中 k=30/i的整数. 通过枚举法依次得出、的相对应数据表3所示:购买年限(i年)123456预算金额(万元)166896516646891562356156112315602311556289购买年限(i年)789101112预算金额(万元)155524614549561452635145113014501321350011购买年限(i年)131415161718预算金额(万元)1345213134501113430561339658135698614286254购买年限(i年)192021222324预算金额(万元)131568913146951313965131296513045261301231购买年限(i年)252627282930预算金额(万元)140001112954621289865128910212880121285638将离散点在直角坐标系中标出如上图所示,可以看出当 i=30即时取得最优解.因此确定购买土地的最优方案为一次性购买30年所用的土地. 在实际中,贷款利息是与使用年限成正相关的,即使用年限越多,利息越多,也就是预算越多.因此在政府财政允许的条件下,最好能在购买土地后一次性将款项付清.又因为地价一直在上涨,因此一次性购30年用地确实可以做到最少预算.(2)购买机械的方案及预算购买机械时,考虑到挖掘机与填埋机需要同时买进,又要保证每天有填埋机政策工作,同时兼顾到机械的使用寿命,所以只能分批购买.通过查找相关资料和工地实际调查,得知大型挖掘机政策工作每天8小时,平均每台每天课挖土方300立方米;同时假定两台填埋机足以满足每天垃圾填埋工作需求.按照题目已知条件可计算出所需购买机械套数,表达式如下:300x2x365x10xn=365x10000x30通过上式可求的.驾驶机械分三次购买,每次购买两套,每套价格为 x=250万元.同样用等额本金还款法求得每年还款数额,表达式如下: （23）则购买一次机械的预算为: （24）进而求得30年购买机械总需要还款为:Ez=3xEx （25）代入 x=2500000元求得购买机械总费用为 62301200元.3. 由以上两个模型的计算结果可以看到垃圾填埋将会占用大量土地，并且各种成本不低.为此,我们为当局在进行单纯的垃圾填埋时尽量结合下述的方案.于是提出以下更为合理的垃圾处理方法(参考文献【1】) 卫生填埋场中垃圾的降解速率直接影响填埋场的容量和所占据土地资源的回用周期,在填埋场设计时应考虑垃圾的生物降解; 采用准好气填埋结构可以加快垃圾的降解; 当垃圾处于厌氧分解或对填埋场中处于厌氧分解的区域可采用渗滤液回灌法,一方面可减少垃圾渗滤液处理量,改善水质,另一方面可加快填埋场的稳定; 垃圾填埋气体中甲烷含量很高,当积聚到一定量时会发生爆炸,另外.填埋气体还可以通过土壤、管道等各种孔隙、通道迁移,并在某一地方积聚并达到爆炸范围.因此应采用沿着填埋场周边的地下防渗幕墙防止侧向迁移,并通过场外附近建立气体监测井及在线气体监测报警