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初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解甲内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法1 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：x4+x2+1a3+b3+c33abc分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1x4+2x2+1x2=(x2+1)2x2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c33abca3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b3ab2 （a+b）3+c33ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)例2因式分解：x311x+20a5+a+1 分析：把中项11x拆成16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x311x+20x316x+5x+20x（x216）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x24x+5) 分析：添上a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1a5a2+a2+a+1=a2(a31)+ a2+a+1=a2(a1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a2+1)2 运用因式定理和待定系数法定理：若x=a时，f(x)=0, 即f(a)=0，则多项式f(x)有一次因式xa若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例3因式分解：x35x2+9x62x313x2+3分析：以x=1,2,3,6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2时，x35x2+9x60，原式有一次因式x 2，x35x2+9x6（x 2）（x23x+3,）分析：用最高次项的系数2的约数1，2分别去除常数项3的约数1，3得商1，2，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1解：x=时，2x313x2+30，原式有一次因式2x1，设2x313x2+3（2x1）（x2+ax3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a113，a=62x313x+3（2x1）（x26x3）。例4因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20解：2x2+3xy9y2（2x3y）(x+3y),用待定系数法，可设2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3ya）（x+3yb），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项 的系数，得解得2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)这是关于x的二次三项式常数项可分解为（3y4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)mx（3y4）nx+（3y+5）比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=12x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)丙练习191 分解因式：x4+x2y2+y4 x4+4 x423x2y2+y42. 分解因式： x3+4x29 x341x+30 x3+5x218 x339x703. 分解因式：x3+3x2y+3xy2+2y3 x33x2+3x+7x39ax2+27a2x26a3 x3+6x2+11x+6a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：3x37x+10 x311x2+31x21 x44x+3 2x35x2+15. 分解因式：2x2xy3y26x+14y8 （x23x3）（x2+3x+4）8（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48（2x7）(2x+5)(x29)916分解因式： x2y2+1x2y2+4xy x2y2+2x4y3x4+x22ax a+1 （x+y）4+x4+y4 （a+b+c）3（a3+b3+c3）7. 己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数8己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值练习19答案1. 添项，配成完全平方式(仿例3) 2.拆中项，仿例13. 拆项，配成两数和的立方原式=(x+y)3+y3原式=(x-3a)3+a3 原式=(a+1)3+(b+1)34. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6 x=时，原式=0，有因式2x15. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=6. 分组配方原式=(x2+1)2-(x+a)2 把原式用乘法展开，合