数学广角植树问题单元教学设计3课时新人教版.doc

在一条线段上植树（两端都栽）教学设计教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第106页例1及相关内容。教学目标：1建立并理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的数学模型。2利用线段图理解“点数=间隔数+1”“总长=间隔数间距”等间隔数与点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。教学重点：建立并理解“点数=间隔数+1”的数学模型。教学难点：培养用画线段图的方法解决问题的意识，并能熟练掌握这种方法。教学准备：课件。教学过程：一、情境出示，设疑激趣教师：哪位同学知道我们国家设立的植树节是在哪一天？（3月12日）在这一天的植树活动中，遇到了这样一个问题。（课件出示问题）例1：同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？教师：你能利用所学的知识解决问题吗？预设1：20棵。（教师追问：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽1005=20（棵）。预设2：我认为是21棵，因为题目中写着“两端要栽”，所以要再加1棵。教师：你认为哪一个结果是正确的？（指名回答）【设计意图】直接出示例题的情境，通过学生的尝试解答，既是对教学起点的了解，又利用两种不同的结果设置疑问，激发了学生探求新知的热情。二、经历过程，感受方法教师：可以用怎样的方法进行检验呢？（画线段图）那我们可以在草稿本上试一试。遇到了什么困难？预设：100 m太长了，不太好画。（追问：那我们可以怎么办？）学生：可以先用简单的数试一试。（课件出示）【设计意图】使学生经历分析思考的整个过程，感受“猜测验证”的学习方法。在实际操作中发现问题有助于激发学生的思考，从而深刻地体会“从简单事例中发现规律，并利用此规律解决较复杂问题”的数学思想。三、探索实践，建立模型教师：先看看20 m的距离，在两端都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。实物投影或课件出示：教师：说说你是怎么想的？预设：205=4，20 m被平均分成4段，因为两端要栽，所以要栽5棵树。教师：再画一画，25 m可以栽几棵树？（学生操作）谁来说说你的想法？预设：255=5，就是把25 m平均分成了5段，因为两端都要栽，所以要栽6棵树。还可以这样画：这里的蓝色线段表示什么？（间隔数）红色线段呢？（植树棵数）教师：不画图，你能把下面的表格填写完整吗？（根据学生回答，教师在课件上输入数据）你发现了什么规律？预设：棵数要比间隔数多1。（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=间隔数+1。教师：谁能说说为什么要“+1”？（因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多1。）你能用发现的规律解决开头的问题吗？（指名回答，分析讲解）教师：回顾这个问题的解答过程，说说你的想法。归纳小结：在解决较复杂或数据较大的问题时，可以先从简单数据出发得出规律，然后将规律运用于复杂问题进行解决。【设计意图】“画示意图抽象出线段图不画图”的教学过程，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的设计理念，也正是在这一进程中，通过积极有效的教学活动，使学生建立起“一条线段两端都栽”这类植树问题的数学模型。四、利用新知，解决问题教师：根据刚才学到的知识，还可以解决许多生活中的问题。（课件出示问题）1在一条全长2 km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50 m安一盏。一共要安装多少盏路灯？教师：读完这个题目，你觉得有哪些地方需要特别引起注意？预设1：单位不统一，要先进行转化再计算。预设2：两旁。（追问：表示什么？）就是两边。你能通过画图的方法表示出“两旁”吗？在计算时该怎样体现？（先算出一边的路灯的数量，再乘以2。）学生练习，指名回答。2 km=2000 m （200050+1）2=82（盏）答：一共要安装82盏路灯。教师：200050算的是什么？（间隔数）“+1”说明了什么？（两端都要安装）2马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？教师：仔细读题，认真思考，说说你对这个题目的理解。引导得出：要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。由“棵数=间隔数+1”可得“间隔数=棵数-1”。25-1=24（棵） 答：一共要栽24棵银杏树。教师：可以用怎样的方法验证结果是否正确？（可以先用比较简单的例子，通过画线段图的方法进行验证）和这题有关的简单的例子，我们只要张开一只手。五个手指相当于题目中的？（梧桐树）每两个手指之间栽一棵（银杏树），可以栽几棵？你还有其他的方法吗？【设计意图】练习中的实际问题，相比例题有一些变化，对于学生的理解能力提出了更高的要求。第1题用画图的方法直观地表示出“两旁”，解决了算式中为什么要“2”的问题；第2题先让学生思考，说说自己的理解，验证的环节既是对方法的回顾，又体现了数学的趣味性。五、逆向思考，拓展新知园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6 m种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？教师：读题并思考，要求“从第1棵到最后一棵的距离”就是求什么？（路长）跟例题相比，有什么不同？预设：例题是知道了路长求栽树的棵数，这题是知道了栽树的棵数，求路线长度。教师追问：该怎样解答呢？试一试，并说说你的思路。（36-1）6=210（m） 答：从第1棵到最后一棵的距离是210 m。教师：“36-1”算的是什么？（间隔数）再根据“间隔数间隔距离=路长”计算。【设计意图】通过变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解。该题是植树问题数学模型的逆向应用，有了前一题“间隔数=棵数-1”的知识为基础，学生应该能比较容易地解决这一问题。对于学习有困难的同学，也可引导他们用画线段图的方法解答。六、回顾思考，全课总结教师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。根据学生回答，强调：1解决两端都要栽的植树问题的数学模型：棵数=间隔数+1。2当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。在一条线段上植树（两端都不栽）教学设计教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第107页例2及相关内容。教学目标：1建立并理解在线段上植树（两端都不栽）的情况中“棵数=间隔数-1”的数学模型。2通过画线段图初步培养学生探索解决问题的有效方法的能力，尝试用植树问题的模型解决实际生活中的简单问题，培养应用意识。教学重点：建立并理解“棵数=间隔数-1”的数学模型。教学难点：培养学生探索解决问题的有效方法的能力。教学准备：课件。教学过程：一、创设情境，复习引入教师：上节课，我们学习了植树问题中两端都栽的情况，谁能说一说是用怎样的数学模型解决这类问题的？（棵数=间隔数+1）能快速地完成下一题吗？（课件出示题目）准备题：绿化队要在相距60 m的小路一边植树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是3 m。一共要栽多少棵树？指名回答：603+1=21（棵） 答：一共要栽21棵树。再来看看这一题（课件出示例2）认真思考，这两个题目有什么不同？大象馆和猴山相距60 m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3 m。一共要栽多少棵树？【设计意图】例2是在例1的基础上教学的，对已学知识的复习是为了找准知识迁移的“原点”，为下一个环节的教学做好铺垫。二、比较分析，迁移新知教师：你能用画图的方法表示出你的发现吗？同桌之间可以互相交流。（指名汇报）预设1：准备题是一边，例2是小路两旁。（追问：在图上该如何表示？）就是有两条线段。（怎么计算？）只要先算出一边的树木数量，再“2”就可以了。预设2：准备题是两端都栽，例2是两端不栽。（追问：你能通过示意图说说为什么吗？）因为小路的两端都是场馆。教师：这个题目该如何解决呢？你想到了什么方法？（可以先从简单的事例中发现规律）请你在草稿本上试一试。【设计意图】通过比较分析，使学生更为深刻地理解题意，引导“用画图的方法表示出来”对于培养学生良好的审题习惯具有非常重要的作用。该环节的设计还重点突出了对“先从简单的事例中发现规律，再将规律应用于问题的解决”这一数学方法的迁移。三、理解归纳，得出模型指名回答，过程预设：1先画一个简单的线段图看看，以20 m长的线段为例，在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”，需要栽5棵树。2同样长的线段，在两端都不栽的情况下只需要栽3棵树，也就是说栽的棵数比间隔数少1。（教师追问：可以用怎样的数学模型表示？）棵数=间隔数-1。教师：你能用不同的方法试一试，对这一数学模型进行验证吗？（学生操作，交流发现。）运用这一模型，例2可以怎样解答？603-1=19（棵）192=38（棵）答：一共要栽38棵树。教师追问：为什么要“2”？（因为小路两旁都要栽树）教师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解决过程。通过与例1中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。【设计意图】通过教师的引导，促使学生自主探索，经历了问题解决的整个过程，对数学思想的渗透也在知识的迁移和转化过程中得到了体现。在教学实际中，可结合“你能用不同的方法对这一数学模型进行验证吗？”这一问题，进行开放式的教学实践，鼓励学生用自己的方法探索出规律。四、课堂练习，应用新知教师：利用这一数学模型，还能解决许多生活中的问题。1一条走廊长32 m，每隔4 m摆放一盆植物（两端不放）。一共要放多少盆植物？学生练习，指名回答：324-1=7（盆） 答：一共要放7盆植物。教师：如果改为两端都放，该怎么算？324+1=9（盆）教师：这两种不同的摆法相差几盆？（2盆）为什么？（两端都放时，盆数=间隔数+1；两端都不放时，盆数=间隔数-1。）2一根木头长10 m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？教师：这个问题和我们学习的植树问题有关联吗？属于植树问题中的哪一种情况？可以先用画图的方法试一试。学生练习，分析讲评：105-1=4（次） 84=32（分钟） 答：锯完一共要花32分钟。【设计意图】第1题在完成后进行了比较练习，加深了学生对两种不同数学模型之间关系的认识；第2题虽然不是植树的情境，但规律是相同的，引导学生通过画线段图的方法即可抓住题目的本质，同时扩展了学生对所学知识的应用视野。五、利用变式，强化认知小明家门前有一条35 m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5 m栽一棵树（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？ 教师：这题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。预设1：两端都栽的情况下，棵数=间隔数+1；两端不栽的情况下，棵数=间隔数-1。这种一端栽一端不栽的情况，应该是棵数=间隔数。预设2：是用画线段图的方法得出的，一共要栽7棵。预设3：直接用355=7（棵）。（教师追问：355算的是什么？）间隔数。（用这样的方法计算其实是以什么作为依据的？）在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。教师：比较植树问题的三种情况，说说你自己的理解。【设计意图】以已学知识为基础，放手让学生独立思考，鼓励用自己喜欢的方法探索这种情况的规律，在最后的比较环节也强调说出自己的理解。学生通过这样的方式获取的知识、思维活动的经验才能更加鲜活和深刻，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一基本理念。六、课堂小结，布置作业小结：植树问题在生活中的应用非常广泛，在解决这类问题时，应该先判断出属于哪一种情况，再根据题意列式解答。课外作业：先判断以下各题属于哪种情况，再列式解答。（1）在一条长2千米的公路的一边栽白杨树，每隔8米栽1棵，最多可以栽多少棵？最少可以栽多少棵？（2）搬运工从一楼到二楼，走了16级台阶，王丽家住6楼，每相邻两层台阶相同，从一楼到六楼一共走多少级台阶？（3）一个古老的摆钟，于六时整敲响六下，需时五秒钟；那么，在正午敲响十二下时，需时多少秒？ 在一条首尾相接的封闭曲线上植树教学设计教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第108页例3相关内容。教学目标：1运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。2进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。教学重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。教学难点：培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。教学准备：课件。教学过程：一、谈话引入，复习旧知教师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。谁来帮助大家一起回顾这些知识？预设：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？预设：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。教师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。【设计意图】复习旧知再现了在一条线段上植树的三种情况，以及“猜测验证”的方法和“从简单事例中发现规律，再将规律应用于复杂问题解决”的数学思想，为本课新知内容的探索打下了坚实的基础。二、自主探索，学习新知1出示情境，展开探索例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？教师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同和不同的地方？预设：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。（教师追问2：一条什么样的曲线？） 逐步引导得出：一条首尾相接的封闭曲线。预设：相同之处是，都是已知长度和间隔距离。教师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”的问题吗？学生独立思考，讨论汇报。2概括归纳，得出模型教师：大家想到了用什么方法来解决问题？（画图）120 m的长度太长了，怎么办？（先用简单的数据试一试）（1）以周长为40 m的圆为例，通过下图得知，能栽4棵树。（2）如果把圆拉直成线段，你能发现什么？预设：相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。（3）我们还可以用这样的方式来理解。引导得出：植树的棵数与间隔数“一一对应”。教师：利用发现的知识，你能解决例3的问题吗？（出示：池塘的周长是120 m？）12010=12（棵） 答：一共要栽12棵树。教师：谁能完整地概括一下刚才的发现？预设：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的一端栽一端不栽的情况。【设计意图】学生已经有了“在线段上植树”的学习经验，在出示情境图引导学生比较相同点和不同点之后，教师放手让学生自主探究。在概括归纳的环节，注重模型的对比和沟通，通过两种不同的方式，自然地得出在一条首尾相接的曲线上植树所需棵树与间隔数“一一对应”的结论，相当于在线段上植树中一端栽一端不栽的情况。三、课堂练习，巩固强化教师：运用刚才的发现，解决以下实际问题。1圆形滑冰场的一周全长是150 m。如果沿着这一圈每隔15 m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？15015=10（盏） 答：一共需要装10盏灯。教师：你能利用题目中的数据编出一道在线段上植树（一端栽一端不栽）的问题吗？学生练习，交流汇报。2一条项链长60 cm，每隔5 cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？教师：这题与我们学习的植树问题的知识有关联吗？属于哪一种情况？（在一条首尾相接的封闭曲线上植树）你能说说在这题中谁与谁“一一对应”吗？（水晶的颗数与间隔数）练习校对：605=12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。【设计意图】第1题中利用题目中的数据编出一道在线段上植树（一端栽一端不栽）的解决问题，进一步沟通了这两种植树问题之间的联系；第2题通过提