高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式滚动训练新人教A版.docx

第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式滚动训练(三)(第三讲第四讲)一、选择题1设a，bR且ab16，则的最小值是()A.B.C.D.答案A解析(ab)24，.当且仅当，即ab8时取等号2若Axxx，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正数，则A与B的大小关系为()AABBABCABDAB答案C解析依数列xn的各项都是正数，不妨设0x1x2xn，则x2，x3，xn，x1为数列xn的一个排列依排序原理，得x1x1x2x2xnxnx1x2x2x3xnx1，即xxxx1x2x2x3xnx1.3用数学归纳法证明12222n12n21(nN)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1B12C1222D122223答案C解析当n1时，左端1222，故选C.4已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2y2z210，a2b2c290，axbycz30，abck(xyz)，则k等于()A.B.C9D3答案D解析因为x2y2z210，a2b2c290，axbycz30，所以(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，又(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，当且仅当k时，等号成立，则akx，bky，ckz，代入a2b2c290，得k2(x2y2z2)90，于是k3，故选D.5用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1不等式左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了B中两项但减少了一项D以上各种情况均不对答案C解析nk(k2，kN)时，左边，nk1时，左边，增加了两项，少了一项.6函数y5的最大值是()A6B2C5D2答案D解析函数的定义域为1,3，且y0.由柯西不等式可得y552，当且仅当，即x时，函数取得最大值2，故选D.7若2x3y5z29，则函数的最大值为()A.B2C2D.答案C解析由柯西不等式可得(111)2(2x13y45z6)(121212)，2x3y5z29，(111)2120，2，的最大值为2.故选C.二、填空题8已知a，b，c都是正数，且2abc6，则a2abacbc的最大值为_答案9解析a，b，c都是正数，a2abacbc(ab)(ac)2.2abc6，a2abacbc9，a2abacbc的最大值为9.9已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值是_答案220180解析由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为125230345220，最小值为145230325180.10已知实数x，y，z满足2xy3z32，则的最小值为_答案解析12223214，由柯西不等式可得(221232)(x1)2(y2)2z2(2x2y23z)2322，当且仅当时，等号成立，即的最小值是.11已知a，b，c都是正数，a2b3c9，则的最小值为_答案解析(a2b3c)()2()2()221，当且仅当a3b9c时取等号，又a2b3c9，即最小值为.三、解答题12设函数y|x1|x2|的最小值为M.(1)求实数M的值；(2)若不等式M(其中a0)恒成立，求实数a的取值范围解(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以M3.(2)因为()212()2(ax2x)3(a2)，当且仅当时，等号成立，即当x2，a时，取得最大值，所以3.又a0，所以0a1.13已知函数f(x)|x1|2x2|.(1)求不等式f(x)x1的解集；(2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均为正数，abcm，求的最小值解(1)由已知可得或或解得0x2.故不等式的解集为0,2(2)f(x)得最大值，mf(1)2，abc2.又(abc)()2()2()2(abc)2，abc2，当且仅当abc时取等号，故的最小值是2.14已知数列an和bn，其中an135(2n1)，bn122n1，当nN时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论解由已知得an(n1)(n1)2，bn2n1.当n1时，a14，b11，则a1b1，当n2时，a29，b23，则a2b2，当n3时，a316，b37，则a3b3，当n4时，a425，b415，则a4b4，当n5时，a536，b531，则a5b5当n6时，a649，b663，则a6b6，当n7时，a764，b7127，则a7b7，由此得到，当nN，n5时，anbn.猜想：当nN，n6时，anbn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下：当n6时，上面已证a6b6.假设当nk(kN，k6)时，上述结论成立，即当k6时，(k1)22k1.当nk1时，要证ak1bk1，即证(k2)22k11，只需证(k2)