高考数学复习专题八：数列极限数学归纳法.doc

专题八：数列 极限 数学归纳法一 能力培养1,归纳猜想证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力二 问题探讨问题1数列满足,().(I)求的通项公式; (II)求的最小值; (III)设函数是与的最大者,求的最小值.问题2已知定义在R上的函数和数列满足下列条件:, (=2,3,4,),=(=2,3,4,),其中为常数,为非零常数.(I)令(),证明数列是等比数列;(II)求数列的通项公式; (III)当时,求.问题3已知两点M,N,且点P使,成公差小于零的等差数列.(I)点P的轨迹是什么曲线? (II)若点P坐标为,记为与的夹角,求.三 习题探讨选择题1数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是A, B, C, D,2等差数列,的前项和分别为,若,则=A, B, C, D,3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是A, B, C, D,4在等差数列中,第10项开始比1大,记,则的取值范围是A, B, C, D,5设A,B,C是椭圆)上三个点,F为焦点,若成等差数列,则有A, B, C, D,6在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对填空7等差数列前()项和,且前6项和为36,后6项和为180,则 .8,则 .9在等比数列中,则的取值范围是 .10一个数列,当为奇数时,;当为偶数时,.则这个数列的前项之和 .11等差数列中,是它的前项和且,则此数列的公差,是各项中最大的一项,一定是中的最大项,其中正确的是 .解答题12已知,且组成等差数列(为正偶数).又,(I)求数列的通项;(II)试比较与3的大小,并说明理由.13已知函数是偶函数,是奇函数,正数数列满足,.(I)若前项的和为,求;(II)若,求中的项的最大值和最小值.14. 已知等比数列的各项不为1的正数,数列满足(且),设,.(I)求数列的前多少项和最大,最大值是多少?(II)设,求的值.(III)试判断,是否存在自然数M,使当时恒成立,若存在求出相应的M;若不存在,请说明理由.15设函数的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数,都有,且存在,使得,数列中,求证:对于任意的自然数,有: (I); (II).参考答案:问题1解:(I),得=当时,=,有,即.于是=.又,得=.由于也适合该式,故=.(II)=所以当或50时,有最小值.(III)因是与的最大者,有,有=1.问题2(I)证明:由,得.由数学归纳法可证().而,当时,因此,数列是一个公比为的等比数列.(II)解:由(I)知,当时,当时,()而,有当时,= ;当时,=.以上两式对时也成立,于是当时,= 当时,=.(III)解:当时,.问题3解:(I)设点P(),由M,N得,有,.于是,成公差小于零的等差数列等价于,即所以点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆C.(II)设P(),则由点P在半圆C上知,又=,得, 又,有,由此得.习题解答:1由,恒成立,有,得,选D.2,选B.3设三边长分别为,且当时,由,得;当时,由,得,于是得,选D.4由,且,而,又,于是,选D.5由椭圆第2定义得,选A.6由条件得,有,.得,于是为锐角三角形,选B.7由,有,即=216,得=36,又,解得.8,得.9由条件知,公比满足,且,当时,;当时,.于是的取值范围是.10当为奇数时,相邻两项为与,由得=10,且.所以中的奇数项构成以为首项,公差的等差数列.当为偶数时,相邻两项为与,由= ,得,且所以中的偶数项构成以为首项,公比的等比数列.由此得.11由,得,有;是中的最大值,选.12解:(I)由=,再依题意有=,即又,为正偶数)得,代入有.(II),得于是.13解: (I)可得,由已知,得,而,有,于是.(II),由知的最大值为,最小值为.14解: (I),设有,又成等差数列.,得,.当时,即,得.于是前12项和最大,其最大值为144.(II),得,于是(III)由(I)知当时,恒成立,由,得.(i)当且时,有,(ii)当且时,故当时,在使时,恒成立;当时不存在自然数M,使当时.由明15证明:用数学归纳法(I)当时,命