2019年中考数学第八章专题拓展8.5圆的综合问题（讲解部分）素材.pdf

年中考 年模拟 圆的综合问题 题型特点 圆的综合题中与圆有关的考点：圆周角定理、圆心角；切 线的判定与性质；点和圆的位置关系；圆内接四边形的性质；扇 形的面积、弧长公式；垂径定理 与其综合的考点：圆可以与初中大部分内容综合，内容丰 富，题型多变 涉及的数学能力：阅读理解能力、观察分析能力、类比操 作能力、抽象概括能力 体现的思想方法：分类讨论，数形结合，函数思想，方程思 想，转化思想 重点难点 在圆的综合问题中，河北中考常常以与圆相关的图形变换 为背景去探索变换背后所包含的数学内容这类问题的解题策略 是在探究中发挥合理的想象，结合圆的本质的东西判断推理变 换中的图形位置的变化、数量关系的变化并根据这些变化进行 观察、实验、类比、归纳、猜想活动同时提高学生分解、组合图形 的能力，重视在图形变换过程中学生思维连贯性的训练，减少思 维的盲目性和间断性 在这类问题的探索中，我们要注意把实际问题转化为相对 应的数学问题并积极运用圆的相关知识去解决问题进而发现圆 的综合题中的内在联系，并自觉运用运动变化的观点思考问题 最终探索出一般的结论或者从中获得解题启示 一、与圆相关的翻折问题 例 （ 葫芦岛， 分）半圆 的直径 ，点 （不与点 ， 重合）为半圆上一点，将图形沿 折叠，分别得到 点 ， 的对称点 ，设 （）当 时，过点 作 ，如图 ，判断 与半 圆 的位置关系，并说明理由； （）如图 ，当 时，与半圆 相切，当 时，点 落在 ( 上； （）当线段 与半圆 只有一个公共点 时，求 的取值 范围 思路分析 （）过 作 于点 ，交 于点 ， 利用含 角的直角三角形的性质可求得 ，进而判定 与半圆 相切；（）当 与半圆相切 时，可知 ，则可得 ，当 在 ( 上时，可知 ，可求得，则 ；（）利用（）可知当 时，线段 与圆交于 ，当 时交于点 ，结合题意可 得出满足条件的 的范围 解析 （）相切理由如下： 如图，过 作 于点 ，交 于点 ， 由翻折知， ， ， ， ， （） ， 与半圆 相切 （）； 当 与半圆 相切时， ， ， 当 在 ( 上时，如图， 连接 ，则可知 ， ， ， （） 点 ， 不重合， ， 由（）可知当 增大到 时，点 在半圆上， 当 时，点 在半圆内，线段 与半圆只有一 个公共点 ； 当 增大到 时 与半圆相切，即线段 与半圆只有 一个公共点 当 继续增大时，点 逐渐靠近点 ，但是点 ， 不重合， ， 当 时，线段 与半圆只有一个公共 点 综上所述，或 二、与圆相关的旋转问题 例 （ 唐山路南二模，）如图 ，以边长为 的正方 形纸片 的边 为直径作，交对角线 于点 （）图 中，线段 ； （）如图 ，在图 的基础上，以点 为端点作， 交 于点 ，沿 将四边形 剪掉，使 绕点 逆时针旋转（如图 ），设旋转角为 （），在旋转过程 第八章 专题拓展 中 与 交于点 当 时，请求出线段 的长； 当 时，求出线段 的长；判断此时 与 的 位置关系，并说明理由； 当 时， 与 相切 思路分析 （）连接 ，由圆周角定理得出 ， 进而可知 是等腰直角三角形，由勾股定理得 ；（）连接 、，则 ，又由 得出 是等边三角形，进而得出 ；由三角函数 求出 ，在 中，求出 ， 所以 ，在 中，由三角函数求出 ，显然 ，即可得出 与 相离；当 时， 过圆心 ，即可得出 与 相切 解析 （） 连接 ，如图所示： 四边形 是正方形， ， 是 的直径， ， 是等腰直角三角形， （）连接 、，如图所示，则 ， ， ， 是等边三角形， ， ，即 ， 过点 ， 设 交 于 ，连接 ，过点 作 于 ，如图 所示， 图 ， ， 与 相离理由如下： 在 中， ， ， 在 中， ， ， 与 相离 当 时， 与 相切理由如下： 当 时， 过圆心 ， ， 与 相切 例 如图，已知正方形 的边长是 ，点 在 上， 且 的直径是 （）正方形的对角线 与半圆 交于点 ，求阴影部分的 面积； （）利用图判断，半圆 与 有没有公共点，说明理由； （提示： ） （）将半圆 以点 为中心，顺时针方向旋转 旋转过程中， 面积的最小值是 ； 当半圆 过点 时，半圆 位于正方形以外部分的面积 是 思路分析 （）连接 ，先证明 为等腰直角三角 形且 ，然后利用 阴影部分 扇形 进行计算即 可；（）作 于 ，先证明 为等腰直角三角形，则 ，然后比较 与半径的大小关系可判断半圆 年中考 年模拟 与 的位置关系；（）过点 作 于 ，当点 落 在 上的 处时，点 到 的距离最小，此时 的面积 最小；当半圆 过点 时，根据圆周角定理的推论可判断点 落在 上的点 处，利用勾股定理计算出 ，然后利 用半圆面积减去的面积即可得解 解析 （）连接 ，如图， 四边形 为正方形， ， ， 为等腰直角三角形， ， 阴影部分 扇形 （）半圆 与 没有公共点理由如下： 如图，过点 作 于 ， 四边形 为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， 与半圆 相离，即半圆 与 没有公共点 （） 如图，过点 作 于 ， 当点 落在 上的 处时，点 到 的距离最小，此时 的面积最小，所以 面积的最小值 （） 当半圆 过点 时，即点 在半圆上，而， 所以点 落在 上的点 处，如图， 在 中， ， 所以半圆 位于正方形以外部分的面积 三、与圆相关的平移与滚动问题 例 （ 保定竞秀一模，） 如图，在 中， ，半径为 的 从点 开始（如图 ）沿 直线 向右滚动，滚动时始终与直线 相切（切点为 ），当 与 只有一个公共点时停止滚动，作 于点 （）图 中，弦 的长为 ； （）当圆心落在 上时，如图 ，判断 与 的位置关 系，并说明理由； （）在 滚动过程中，线段 的长度随之变化，设 ，求出 与 的函数关系式，并直接写出 的取值范围 思路分析 （）连接 ，先求出 ，进而得 出 是等边三角形，求得 ；（）过点 作 ，连接 先求出 ，再求出 ，进而根据 度角 所对直角边是斜边的一半求得 ，根据 即可判断 与 相切；（）分两种情况，点 在 左侧和右侧，先利用 锐角三角函数表示出 ，进而表示出 ，最后用锐角三角函数 即可得出 与 的函数关系式 解析 （） 与直线 相切于点 ， ， 当点 与点 重合时，连接 ， ， ， ， 是等边三角形， （） 与 相切 理由：如图，过点 作 于 ，连接 ， 与 相切于 ， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， 与 相切 （）当点 在 的左侧时， 连接 交 于 ，如图， 与 相切于 ， ， ， ， 在 中， ， ， ，在 中， 第八章 专题拓展 ， 的取值范围为 ； 当点 在 的右侧时， 连接 并延长交 于 ，如图，同的方法得， ， ， ， ， 又， ， 在 中， ， 的取值范围为 例 （ 唐山玉田一模，）如图 ，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿对角线 向点 匀 速运动，速度为 ，过点 作 交 于点 ，以 为一边作正方形 ，使得点 落在射线 上，点 从点 出发，沿 向点 匀速运动，速度为 ，以 为圆心， 为半径作，点 与点 同时出发，设它们的运动时间为 （单 位：） () 发现： （） ； （）当 时，正方形 的边长为 ； 思考：如图 ，连接 ，当 平分 时， 的值为 ； 探究：如图 ，在运动过程中，当 与 相切时，求 的值 思路分析 发现：（）利用矩形的性质和勾股定理得 （）当 时， ，由，推出 ， 进而求出正方形 的边长 思考：由 平分，推出 ， 由，推出 ，列出方程即可得出 的值 探究：令 与直线 相切于点 ， 与 交于点