高中数学第一章 集合与函数的概念 1.3.2 奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念课件.pptx

1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念,【知识提炼】函数奇偶性的概念,f(x),-f(x),【即时小测】1.思考下列问题:(1)对于定义在R上的函数f(x),若f(-1)=-f(1),则函数f(x)一定是奇函数吗?提示:不一定.奇函数定义中要求是对定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),而非个别自变量的值满足,因而f(x)不一定是奇函数.(2)若函数的定义域关于原点对称,则此函数一定具有奇偶性吗?提示:不一定.若函数的定义域关于原点对称,但f(x)与f(-x)不满足奇偶函数的关系时,此函数也不具有奇偶性.,2.已知函数f(x)为定义在区间3-a,5上的奇函数,则a=()A.-2B.3C.8D.无法确定【解析】选C.因为f(x)为奇函数,所以其定义域3-a,5关于原点对称,所以3-a+5=0,所以a=8.,3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-3)=-2,则f(3)+f(0)=()A.3B.-3C.2D.7【解析】选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(-3)=-f(3)=-2,所以f(3)=2,所以f(3)+f(0)=2.,4.函数f(x)=x在定义域R上是函数(填“奇”或“偶”).【解析】由于f(-x)=-x=-f(x),故该函数是奇函数.答案:奇,【知识探究】知识点1函数的奇偶性观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:奇函数、偶函数的定义域有什么特征?问题2:奇函数、偶函数的对应关系有哪些形式?,【总结提升】1.函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点(1)定义域:由于f(-x)与f(x)都有意义,故-x和x同时属于定义域,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.换言之,若函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.(2)对应关系:奇函数有f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1(f(x)0);偶函数有f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1(f(x)0).,2.函数奇偶性的四个关注点(1)与函数的最值相同,函数的奇偶性也是函数的整体性质.(2)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空集合.(4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.,知识点2奇、偶函数图象的特征观察图形,回答下列问题:问题1:以上两个函数图象有什么特征?它们的奇偶性分别是什么?问题2:奇、偶函数关于原点对称的区间上的单调性有什么特点?,【总结提升】1.奇、偶函数图象的特征(1)奇函数:图象关于原点对称,反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数.(2)偶函数:图象关于y轴对称,反之,若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.,2.函数的奇偶性与单调性的关系奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反.,【题型探究】类型一函数奇偶性的判断【典例】1.(2015南宁高一检测)函数f(x)=|x|+1是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+(2)f(x)=(3)f(x)=x4+x.(4)f(x)=0.,【解题探究】1.典例1中函数的定义域是什么?提示:函数的定义域是实数集R.2.典例2中函数定义域具备什么特点时才能判断其奇偶性?提示:当定义域关于原点对称时才可以判断函数是否具有奇偶性.,【解析】1.选B.定义域关于原点对称,且f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数.2.(1)定义域(-,0)(0,+)关于原点对称,且f(-x)=-f(x),奇函数.(2)定义域为,不关于原点对称,该函数不具有奇偶性.(3)定义域为R,关于原点对称,但f(-x)=x4-xx4+x,f(-x)=x4-x-(x4+x),故其不具有奇偶性.(4)定义域关于原点对称,且f(-x)=0=f(x)=-f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,【方法技巧】判断函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法:确定函数的定义域;看定义域是否关于原点对称,()不对称,则函数为非奇非偶函数;,(2)图象法:画出函数的图象,直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.,【拓展延伸】性质法判断函数的奇偶性(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数.(2)奇函数的和、差仍为奇函数.(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数.(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.,【补偿训练】判断下列函数的奇偶性：,【解析】(1)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0;故该函数为奇函数.(2)画出其图象如图,可见f(x)为奇函数.,类型二奇、偶函数的图象问题【典例】奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧图象如图,画出左侧图象,并写出f(x)0的x的取值集合.,【解题探究】本例中函数f(x)是奇函数,其左侧图象与右侧图象有什么关系?提示:因为奇函数的图象关于原点对称,所以本例中函数的左侧图象与右侧图象是关于原点对称的.,【解析】因为奇函数的图象关于原点对称,所以可得到此函数在y轴左侧的图象如图所示.由图象可知,当x(-2,0)时,f(x)0,当x(2,5)时,f(x)0,故使f(x)0,f(3)f(3).又因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3),故f(-1)f(-3).,2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,则结果又是什么?,【解析】由于f(x)为偶函数,y轴右侧图象已知,结合偶函数图象关于y轴对称,作出y轴左侧图象,如图所示,由图象知,当x(-5,-2)时,f(x)0;当x(2,5)时,f(x)0;当x(0,+)时,f(x)0;故使f(x)0的x的取值集合为(-,0)(0,+).,2.(变换条件)若把本题中的偶函数改为奇函数,其他条件不变,试比较f(-1)与f(-2)的大小.【解析】由图象可知f(2)f(1).又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),故f(-2)0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在1,+)上是减函数.,【补偿训练】已知定义在(-1，1)上的奇函数f(x)=求常数m,n的值.【解析】因为f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，所以f(0)=0，由f(0)=0得m=0，所以f(x)=又f(-x)=-f(x)，即整理得n=0.,易错案例判断函数的奇偶性【典例】函数f(x)=是_函数.(填“奇”“偶”“既奇又偶”“非奇非偶”中的一个),【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是没有求出函数的定义域,实际上本题函数的定义域不关于原点对称,是非奇非偶函数.,【自我矫正】由题意知1-x0,即x1,所以此函数的定义域为x|