高中数学必修1集合与函数概念常考题型：分段函数与映射.doc

分段函数与映射【知识梳理】1分段函数的定义如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数2映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射【常考题型】题型一、分段函数求值问题【例1】已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f的值；(2)若f(a)3，求实数a的值解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f1，且22，不合题意，舍去当2a2时，a22a3，即a22a30.所以(a1)(a3)0，得a1，或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意当a2时，2a13，即a2符合题意综上可得，当f(a)3时，a1，或a2.【类题通法】1求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值当出现ff(a)的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止2求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验【对点训练】已知函数f(n)求：f(3)，f(4)，ff(4)的值解：由题意可知f(1)1，f(2)2，则f(3)f(2)f(1)213.f(4)f(3)f(2)325.ff(4)f(5)f(4)f(3)538.题型二、分段函数的图象及应用【例2】(1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为_，值域为_(2)已知函数f(x)1(2x2)用分段函数的形式表示该函数；画出该函数的图象；写出该函数的值域(1)解析由图象可知，第一段的定义域为1,0)，值域为0,1)；第二段的定义域为0,2，值域为1,0所以该分段函数的定义域为1,2，值域为1,1)答案1,21,1)(2)解当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x.f(x).函数f(x)的图象如图所示，.由知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)【类题通法】分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏【对点训练】已知函数yf(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为ykxb(x1)点(1,1)，(0,2)在射线上，解得左侧射线对应的函数的解析式为yx2(x3时，函数的解析式为yx2(x3)再设抛物线对应的二次函数解析式为ya(x2)22(1x3，a0)点(1,1)在抛物线上，a21，a1.1x3时，函数的解析式为yx24x2(1x3)综上可知，函数的解析式为y题型三、映射的概念【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)AN*，BN*，对应关系f：x|x3|；(2)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A高一(1)班的男生，BR，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)Ax|0x2，By|0y6，对应关系f：xyx.解(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0B，故不是映射(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射(4)是映射，因为A中每一个元素在f：xyx作用下对应的元素构成的集合Cy|0y1B，符合映射定义【类题通法】判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；(2)B中的对应元素是否是唯一的注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射【对点训练】已知A1,2,3，9，BR，从集合A到集合B的映射f：x.(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？解：(1)A中元素1，即x1，代入对应关系得，即与A中元素1相对应的B中的元素是.(2)B中元素，即，解得x4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.【练习反馈】1已知集合A0,4，B0,2，按对应关系f不能构成从A到B的映射的是()Af：xyxBf：xyx2Cf：xy Df：xy|x2|解析：选B因为在对应关系f：xyx2的作用下，A中元素0的对应元素为2，但2不在集合B中，故按此对应关系不能构成从A到B的映射2已知函数f(x)则正确的函数图象是()解析：选A当x1时，y0，即图象过点(1,0)，显然D错；当x0时，y1，即图象过点(0,1)，C错；当x1时，y2，即图象过点(1,2)，B错所以选A.3已知f(x)则fff(5)等于_解析：fff(5)ff(0)f(1)2(1)35.答案：54函数f(x)，若f(x)3，则x的值是_解析：当x1时，x23得x1舍去，当1x2时，x23得x或x(舍去)答案：5.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)(