浙江专版2018年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算学案新人教A版选修2 .doc

3.131.1空间向量及其加减运算预习课本P8485，思考并完成以下问题1空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？2空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？1空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模(3)表示法：2几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量|a|1或|1相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量a相等向量方向相同且模相等的向量ab或 3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法 ab加法Z ab运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()(2)零向量没有方向()(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()答案：(1)(2)(3)2化简所得的结果是()A BC0 D答案：C3在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状一定是()A平行四边形 B菱形C矩形 D正方形答案：A4在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是_答案：球面空间向量的概念辨析典例下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有解析|a|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量ba，故|a|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有，只有在平行四边形中才能成立故选B.答案B(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键活学活用给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；空间中任意两个单位向量必相等其中正确命题的序号是_解析：正确；正确，因为与的大小和方向均相同；错误，当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同；错误，单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同综上可知，正确命题为.答案：空间向量的加法、减法运算典例在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，化简，并在图中标出化简结果的向量解在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以.同理，所以，如图一题多变1变设问若本例条件不变，化简，并在图中标出化简结果的向量解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，所以，所以.2变条件、变设问若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简，并在图中标出化简结果的向量解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以BCEF，BCEF，又因为E1F1EF，E1F1EF，所以BCE1F1，BCE1F1，所以BCE1F1是平行四边形，所以.在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可 层级一学业水平达标1空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则()A2B3C3 D2解析：选B23.2设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是()A平行四边形 B空间四边形C等腰梯形 D矩形解析：选A，.且|.四边形ABCD为平行四边形3在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有()()；()；()；().A1个 B2个C3个 D4个解析：选D根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知都是符合题意的4空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A0B0C0D0解析：选B由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中，且，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有0.5已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有()与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量A1个 B2个C3个 D4个解析：选C利用图形及向量的运算可知是相等向量，是相反向量6.如图所示，在三棱柱ABCABC中，与是_向量，与是_向量(用“相等”“相反”填空)答案：相等相反7在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.解析：如图，()c(ab)cab.答案：cab8给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若a，b满足|a|b|且a，b同向，则ab；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任何向量a，b，必有|ab|a|b|.其中正确命题的序号为_解析：对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于，向量是不能比较大小的，故不正确；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错；只有正确答案：9如图，在长、宽、高分别为AB4，AD2，AA11的长方体ABCDA1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为的所有向量；(3)试写出的相反向量解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，.(3)向量的相反向量为，共4个10.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) .解：(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc.层级二应试能力达标1下列命题中，正确的个数为()若ab，bc，则ac；|a|b|是向量ab的必要不充分条件；的充要条件是A与C重合，B与D重合A0B1C2 D3解析：选C正确，ab，a，b的模相等且方向相同bc，b，c的模相等且方向相同，ac.正确，ab|a|b|，|a|b|/ ab.不正确，由，知|，且与同向故选C.2已知空间中任意四个点A，B，C，D，则等于()A BC D解析：选D法一：().法二：().3如果向量，满足|，则()ABC与同向D与同向解析：选D|，A，B，C共线且点C在AB之间，即与同向4已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于()Aabc BabcCabc Dabc解析：选Cbacabc.5在三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，E是A1B的中点，则_.(用a，b，c表示)解析：()()(abc)答案：(abc)6在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，用a，b，c表示，则_.解析：()c()abc.答案：abc7已知正方体ABCDA1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1) ；(2) .解：(1) (如图)(2) ()() (如图)8.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果(1) ；(2) .解：(1) ，如图中向量.(2) ，如图中向量.31.2空间向量的数乘运算预习课本P8689，思考并完成以下问题1实数与空间向量a的乘积a的方向如何确定？2空间向量的数乘运算满足哪些运算律？3共线向量(平行向量)、方向向量及共面向量的定义分别是什么？1空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量，称为向量的数乘几何意义0a与向量a的方向相同0a与向量a的方向相反a的长度是a的长度的|倍0a0，其方向是任意的运算律分配律(ab)ab结合律( a)()a点睛对空间向量数乘运算的理解(1)a是一个向量(2)a00或a0.(3)因为a，b可以平移到同一平面内，所以a，b，ab，ab都在这个平面内，因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量2共线、共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示若在l上取a，则式可化为 t如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy ，或对空间任意一点O来说，有xy点睛对共线、共面向量的理解(1)共线向量、共面向量不具有传递性(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据定理中的条件b0不可遗漏(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线()(2)若向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()(3)若ab，则存在惟一的实数，使ab()答案：(1)(2)(3)2化简：5(3a2b)4(2b3a)_.答案：3a2b3点C在线段AB上，且|AB|5，|BC|3，则_.答案：空间向量的线性运算典例已知正四棱椎PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值(1) yz；(2) xy.解(1)如图，()，yz.(2)O为AC的中点，Q为CD的中点，2，2，2，2，22，x2，y2.利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是惟一的，但无论哪一种途径，结果应是惟一的应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握活学活用如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求实数x，y，z的值解：(1) ().(2) ()，x，y，z.空间向量共线问题典例如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线解因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以.又因为，以上两式相加得2，所以，即与共线判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab(b0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出ab，从而得出ab. 活学活用如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1D1上，且2，点F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.2，b，()()abc.abc.又bcaabc，.又EFEBE.E，F，B三点共线.空间向量共面问题典例已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内解(1)3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即M在平面ABC内(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)活学活用已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面(2)BD平面EFGH.证明：如图，连接EG，BG.(1)因为()，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面(2)因为，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.层级一学业水平达标1已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为()A1B0C3 D.解析：选Dx，且M，A，B，C四点共面，x1，x.2已知空间向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A2a4b2，A，B，D三点共线3若空间中任意四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()APAB BPABC点P可能在直线AB上 D以上都不对解析：选A因为mn1，所以m1n，所以(1n) n，即n()，即n，所以与共线又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即PAB.4在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A32B0C0D解析：选C0，M与A，B，C必共面5已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若xy()，则()Ax1，y Bx，y1Cx1，y Dx1，y解析：选D因为()，所以x1，y.6化简：(a2b3c)53(a2bc)_.解析：原式abcabc3a6b3cabcabc.答案：abc7在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.解析：()，又，所以.答案：8有下列命题：若，则A，B，C，D四点共线；若，则A，B，C三点共线；若e1，e2为不共线的非零向量，a4e1e2，be1e2，则ab；若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1k2e2k3e30，则k1k2k30.其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上)解析：根据共线向量的定义，若，则ABCD或A，B，C，D四点共线，故错；因为且，有公共点A，所以正确；由于a4e1e24e1e24b，所以ab.故正确；易知也正确答案：9.在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量解：G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，.又()， (如图所示)10.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值解：(1)证明：ABCDA1B1C1D1是平行六面体，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面(2)()，又xyz，x1，y1，z，xyz.层级二应试能力达标1给出下列命题：若A，B，C，D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若，共线，则ABCD；对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若x y z (其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面其中不正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析：选C显然正确；若a，b共线，则|a|b|ab|或|ab|a|b|，故错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故错误；只有当xyz1时，P，A，B，C四点才共面，故错误故选C.2若a，b是平面内的两个向量，则()A内任一向量pab(，R)B若存在，R使ab0，则0C若a，b不共线，则空间任一向量pab(，R)D若a，b不共线，则内任一向量pab(，R)解析：选D当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，0时，ab0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确3已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使kminj是i，j，k共面的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若i与j不共线，则k与i，j共面存在唯一的一对实数x，y，使kxiyj，x，y不一定非零故选A.4若P，A，B，C为空间四点，且有，则1是A，B，C三点共线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C若1，则()，即，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则存在实数，使，故()，整理得(1) ，令1，则1，故选C.5.如图，已知空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_(用向量a，b，c表示)解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.答案：3a3b5c6.如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：aa()aa()abc.答案：abc7.如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GMGA13.求证：B，G，N三点共线证明：设a，b，c，则a(abc)abc，()abc，.又BNBGB，B，G，N三点共线8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R是所在边的中点，且，.由题意知四边形MNQR是平行四边形，()()()()()又.，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面(2)平行证明如下：由(1)得，平面ABCD.又，.即EF平面ABCD.又EGEFE，平面EFGH与平面ABCD平行31.3空间向量的数量积运算预习课本P9091，思考并完成以下问题1空间向量的数量积的定义是什么？2空间向量的数量积满足哪些运算律？1空间向量的夹角(1)如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b(2)向量a，b的夹角a，b的范围是0，若a，b，那么称向量a，b互相垂直，记作ab.2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b(2)运算律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.3空间向量数量积的性质序号性质ae|a|cosa，e(其中e为单位向量)若a，b为非零向量，则abab0aa|a|2或|a|若a，b为非零向量，则cosa，b|ab|a|b|(当且仅当a，b共线时等号成立)点睛(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即abacbc，(ab)ca(bc)都不成立1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等()(2)对于任意向量a，b，c，都有(ab)ca(bc)()(3)若abbc，且b0，则ac()(4)(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2()答案：(1)(2)(3)(4)2若向量a与b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则ab_.答案：13已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.答案：空间向量的数量积的运算典例如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .解(1) |cos，cos 60.(2) |2.(3) |cos，cos 120.(4) ()|cos，|cos，cos 60cos 600.求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值 活学活用1已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab()A1B2C3 D4解析：选Apq且|p|q|1，ab(3p2q)(pq)3p2pq2q23021.2在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则()_.解析：由已知0，且，故()()2(|2|2|2)(149).答案：利用空间向量的数量积求夹角典例如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求与夹角的大小解不妨设正方体的棱长为1，则()()()()2020021，又|，|，cos，.，0，.即与夹角的大小为.(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量起点平移到与另一个向量的起点重合转化为求平面中的角的大小(2)由两个向量的数量积定义得cosa，b，求a，b的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出a，b的余弦值，进而求a，b的大小在求ab时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出ab的值活学活用如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值解：，且0，A1.又|，|，cos，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.利用空间向量的数量积证明垂直典例已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明ABCD，ACBD，0，0.()()()0.，从而ADBC.当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定活学活用如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明：设a，b，c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.()cab，ba，()abc.(ba)cbcaaba2b2ba(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是，即A1OBD.同理可证，即A1OOG.于是有A1O平面GBD.利用空间向量数量积求距离(即线段长度)典例在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|2|AM|，|CN|ND|，求|MN|.解()(). 222a2a2a2a2a2a2a2.故| a.即|MN|a. 求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|，通过计算求出|a|，即得所求距离活学活用如图所示，在ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，PA6，求线段PC的长解：，|2()2|2|2|22226242322|cos 120611249.|7，即PC7.层级一学业水平达标1已知向量a，b是平面内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0，且cb0是l的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若l平面，则ca，ca0，cb，cb0；反之，若ab，则ca，cb，并不能保证l平面.2已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角是()A60 B120C30 D90解析：选Bab(e1e2)(e12e2)ee1e22e1112，|a|，|b|.cosa，b.a，b120.3.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2B2C2D2解析：选C2a2，故A错；2a2，故B错；2a2，故D错，只有C正确4已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A与 B与C与 D与解析：选A用排除法，因为PA平面ABCD，所以PACD，故0，排除D；因为ADAB，PAAD，又PAABA，所以AD平面PAB，所以ADPB，故0，排除B，同理0，排除C.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60；正方体的体积为|.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B如图所示，()2()2232；()0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60，故与的夹角为120；正方体的体积为|.综上可知，正确6已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.解析：|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22.答案：227已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，如图，则PC等于_解析：，|2()2222222363636002|cos 60108266144.PC12.答案：128已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_解析：，()|21，cos，异面直线a，b所成角是60.答案：609已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值解：如图所示，设a，b，c，|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca.()(ab)，cb，又|，(ab)acbcabb2，cos，.异面直线OE与BF所成角的余弦值是.10.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1)证明：，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)由(1)知|cos，221.又|，cos，|2，即侧棱长为2.层级二应试能力达标1已知在正四面体ABCD中，所有棱长都为1，ABC的重心为G，则DG的长为()A.B.C. D.解析：选D如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，G是ABC的重心，AGAM，()() ()，而()22221112(cos 60cos 60cos 60)6，|.2已知空间四边形ABCD中，ACDBDC90，且AB2，CD1，则AB与CD所成的角是()A30 B45C60 D90解析：选C根据已知ACDBDC90，得0，()|2|21，cos，AB与CD所成的角为60.3设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|0，cosCBDcos，0，CBD为锐角同理，BCD与BDC均为锐角，BCD为锐角三角形5已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.解析：将|ab|两边平方，得(ab)27.因为|a|2，|b|2，所以ab.又ab|a|b|cosa，b，故cosa，b.答案：6.如图所示，在一个直二面角 AB的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB4，AC6，BD8，则CD的长为_解析：，()2222163664116，|2.答案：27.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，BC2，AA13，E为CC1上的点，且CE1，求异面直线AB1，BE所成角的余弦值解：()()00033.依题意，易知|，|，cos，.8如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离解：ACD90，0.同理0.AB与CD成60角，60或120.又，|2|2|2|2222 3211cos，当，60时，4；当，120时，22.|2或，即B，D间的距离为2或.31.4空间向量的正交分解及其坐标表示预习课本P9294，思考并完成以下问题1空间向量基本定理的内容是什么？2在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？1空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量的坐标与点P的坐标一致()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使01a12a23a3()答案：(1)(2)(3)2已知A(2,3，1)关于x轴的对称点是A(，7，6)，则，的值为()A2，4，5B2，4，5C2，10，8 D2，10，7答案：D3已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p2ab，qab构成空间的另一个基底的是_(填序号)2a；b；c；ac答案：空间向量基本定理的理解典例已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底？解假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面