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第一章第一章 习题习题 1.1 何谓布喇菲格子？试画出何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布 喇菲格子。 答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（ 晶体的结点所构成的布 喇菲格子。 答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方 格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。 的 布氏格子套构而成的复式格子。 1.2 为何金刚石结构是复式格子？ 答：金刚石晶胞 为何金刚石结构是复式格子？ 答：金刚石晶胞 位于立方体体内原子和立方体角或面心 原子价键的取向各不相同，所以是复式 格子 位于立方体体内原子和立方体角或面心 原子价键的取向各不相同，所以是复式 格子 这种复式格子实际上是两个面心立 方格子套构而成的。 这种复式格子实际上是两个面心立 方格子套构而成的。 1.3 对于六角密堆积结构，试证明：对于六角密堆积结构，试证明： 。 1/2 8 ( )1.633 3 c a 底面原子及与体心原子之间均紧密接触底面原子及与体心原子之间均紧密接触 2 2 2 3 23 c aa 1/2 8 1.633 3 c a 则红线的长度为则红线的长度为 3 3 ya 2 22 2 c ya c/2 a a c/2 a a 如果如果 ，则可认为是由原子密排面所组成，但这，则可认为是由原子密排面所组成，但这 些平面之间是疏松堆积的。些平面之间是疏松堆积的。 1.633 c a 1.4 金属金属Na在在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密 堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的 晶格常数 因马氏体相变从体心立方转变为六角密 堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的 晶格常数ac =0.423nm，设六角密堆积结构相的，设六角密堆积结构相的c/a维持理 想值，试求其晶格常数。 维持理 想值，试求其晶格常数。 解：体心立方每个晶胞包含解：体心立方每个晶胞包含2个原子，一个原子所占的体积为 单位体积内原子数（即密度）为 个原子，一个原子所占的体积为 单位体积内原子数（即密度）为 2 3 c c a V 六角密堆积每个晶胞包含六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为个原子，一个原子所占的体积为 1 Vc 即：即： 3 2 1 22 2 2 3 8 4 3 4 3 6/3 2 3 aaacacaaVs 因为密度不变，所以因为密度不变，所以 sc VV 11 33 2 2 2/aac 16 /20.377 c aanm nmac s 615. 0633. 1 1.5 如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心 立方、六角密积以及金刚石结构，设 如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心 立方、六角密积以及金刚石结构，设x表示刚球体积与总体 积之比，试针对不同的结构求 表示刚球体积与总体 积之比，试针对不同的结构求x 。 解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原 子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题 中的 。 解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原 子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题 中的x 设设n为一个晶胞中的刚性原子球数，为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示刚性原子球半径， V表示晶胞体积，则致密度为表示晶胞体积，则致密度为 3 4 3 nr x V (1) 简单立方 任意一个原子球有 简单立方 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 3 3 4 ( ) 32 6 a x a 3 2 ,ar Va 晶胞内包含一个原子，所以有： 任意一个原子球有 晶胞内包含一个原子，所以有： 任意一个原子球有8个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则体心原子与处在 个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则体心原子与处在8个 顶角位置处的原子球相切，因此，对 角线长度为 个 顶角位置处的原子球相切，因此，对 角线长度为 (2) 体心立方体心立方 a 34ar 晶胞体积为晶胞体积为 3 Va 3 4 ra 3 3 43 2() 3 34 8 a x a 晶胞内包含晶胞内包含2个原子，所以有：个原子，所以有： (3) 面心立方面心立方 (4) 六角密积六角密积 a 任意一个原子球有任意一个原子球有12个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则面心原子与面角处 个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则面心原子与面角处4个 原子球相切，因此，面对角线长度为 个 原子球相切，因此，面对角线长度为 24ar晶胞体积为晶胞体积为 3 Va 3 3 42 4() 2 34 6 a x a 晶胞内包含晶胞内包含4个原子，所以有：个原子，所以有： 任意一个原子球有任意一个原子球有12个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则面心原子与面上其它 个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则面心原子与面上其它6 个原子球相切，因此有个原子球相切，因此有2ar 晶胞体积晶胞体积 22 13 3 (6sin60 ) 22 o Vcaca 由第由第1题知题知 82 4 33 car 晶胞内包含晶胞内包含6个原子，所以有：个原子，所以有： 3 2 4 6( ) 2 32 63 3 2 a x ca (5) 金刚石结构 任意一个原子球有 金刚石结构 任意一个原子球有4个最近邻，若原子以 刚性球堆积，则空间对角线四分之一处 的原子与三个面上的面心原子球及顶角 处原子球相切，因此有 个最近邻，若原子以 刚性球堆积，则空间对角线四分之一处 的原子与三个面上的面心原子球及顶角 处原子球相切，因此有 38ar 晶胞体积为晶胞体积为 3 Va 3 3 43 8() 3 38 16 a x a 晶胞内包含晶胞内包含8个原子，所以有：个原子，所以有： 简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构 的致密度依次为 简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构 的致密度依次为 6 3 8 2 6 2 6 3 16 1.6 1 aai 2 aaj 3 () 2 a aijk 基矢为 的晶体为何种结构？ 方法 基矢为 的晶体为何种结构？ 方法1：先计算出原胞体积：先计算出原胞体积 3 123 1 () 2 Vaaaa 由原胞体积可推断为体心结构 方法 由原胞体积可推断为体心结构 方法2：由已知的三个基矢构造三个新的基矢：由已知的三个基矢构造三个新的基矢 131 232 3123 () 2 () 2 () 2 a aaaijk a aaaijk a aaaaijk 由此可推断为体心结构由此可推断为体心结构 1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和和1.13 见课件见课件 1.11 已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为 ， 和和 , 现测知该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为、和 ，试求该晶面的面指数 现测知该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为、和 ，试求该晶面的面指数 1 a 2 a 3 a 33 22 11 cos cos cos ha d ha d ha d d a h d a h d a h cos cos cos 3 3 2 2 1 1 晶面指数为晶面指数为 d a d a d acoscoscos 321 )cos,cos,cos( 321 sss 其中其中 是保证是保证 为互质数的因子为互质数的因子, 称为互质因子称为互质因子 321 ,sss 321 ,hhh 解： 最靠近原点的晶面在三 个基矢上的截距分别为 解： 最靠近原点的晶面在三 个基矢上的截距分别为 312 123 aaa hhh 、 1.14 如图所示，如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求：两点是面心立方晶胞上的两面心，求： （1）ABC面的密勒指数；面的密勒指数； （2）AC晶列的指数。晶列的指数。 B C A a b c 矢量矢量 与矢量与矢量 的叉 乘即是 的叉 乘即是ABC面的法线矢量面的法线矢量 BA BC BAOAOB 11 ()()(2) 22 abbcabc BCOCOB 2 11 (2)()(3) 224 a BA BCabcacijk ABC面的密勒指数为面的密勒指数为(131) （1） 1 (2) 2 aijk 111 ()()() 222 cabbca ik （2）AC晶列的指数晶列的指数 B C A a b c ACOCOA 11 ()()(2 ) 22 cababa ijk 所以所以AC晶列的晶列指数为晶列的晶列指数为112 第二章第二章 习题习题 2.1 证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇 菲格子，并给出其倒格子的晶格常数。 解：在直角坐标系中，简单 六角布喇菲格子的基矢为： 证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇 菲格子，并给出其倒格子的晶格常数。 解：在直角坐标系中，简单 六角布喇菲格子的基矢为： zca y a x a a xaa 2 3 2 3 2 1 相应的倒格子基矢为：相应的倒格子基矢为： z c ca za aaa aa b y a ca yac aaa aa b yx a ca yacxac aaa aa b 2 2 3 2 3 22 3 322 2 3 22 2 1 2 3 3 322 2 3 2 1 2 3 22 2 2 321 21 3 2321 13 2 2321 32 1 容易看出此倒格子为 简单六角布喇菲格子 容易看出此倒格子为 简单六角布喇菲格子 晶格常数为：晶格常数为： 123 4 34 32 33 bbb aac 2.2 对正交简单晶格，假设沿三个基矢方向的周期分别为对正交简单晶格，假设沿三个基矢方向的周期分别为a、 b和和c的，当入射的，当入射X射线方向沿射线方向沿100方向（其重复周期为方向（其重复周期为a） 时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的 ） 时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X射线 波长才能观察到极大？ 射线 波长才能观察到极大？ z c b y b b x a b zca yba xaa 2 2 2 3 2 1 3 2 1 解：解： z c h y b h x a h bhbhbhGh2 321 332211 00 kk x 任意倒格矢 因入射 任意倒格矢 因入射X射线方向沿射线方向沿100方向故 有 晶体衍射的布里渊表述 方向故 有 晶体衍射的布里渊表述 2 1 2 hh kGG 312 222 hxyz hhh kGkkk abc 假定衍射极大出现在假定衍射极大出现在 方向方向 (,) xyz kk kk 222 22 312 222 1 2() 2 h hhh G abc 0h kkG 312 0 2 () hhh k xxyz abc 312 0 222 () hhh kxyz abc 2 1 2 hh kGG 222 2 331212 222 222 2() xyz hhhhhh kkk abcabc 312 0 222 xyz hhh kkkk abc 222 222 3112 222 2 222 x hhhh k aabc 222 312 222 1 x hhha k habc 222 312 222 1 x hhha k habc 32 22 yz hh kk bc 所以衍射极大出现在方向所以衍射极大出现在方向 222 33122 222 1 22 (,) xyz hhhhha kk kkxyz habcbc 1 0 2 x h kk a 1 0 2 x h kk a 222 312 222 1 () hhha habc 为观察到衍射极大要求入射波波长满足为观察到衍射极大要求入射波波长满足 1 222 3120 222 22 () h hhhk a abc 2.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是体心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义由倒格子定义 23 1 123 2 aa b aaa 31 2 123 2 aa b aaa 12 3 123 2 aa b aaa 体心立方格 子原胞基矢 体心立方格 子原胞基矢 )( 2 ),( 2 ),( 2 321 kji a akji a akji a a 倒格子基矢倒格子基矢 23 1 123 2 2()() 22 aaaa bijkijk a aa 2 2 () () 4 a ijkijk 同理同理 可见由可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子为基矢构成的格子为面心立方格子 321 ,bbb 面心立方格 子原胞基矢 面心立方格 子原胞基矢 1 2 3 ()/2 ()/2 ()/2 aa jk aa ki aa ij 倒格子基矢倒格子基矢 23 1 123 2 aa b aaa 同理同理 可见由可见由 为基矢构成的格子为体心立方格子为基矢构成的格子为体心立方格子 321 ,bbb 2.4 证明倒格子原胞体积证明倒格子原胞体积 3 (2 ) 倒格子基矢倒格子基矢 23 1 123 2 aa b aaa 31 2 123 2 aa b aaa 12 3 123 2 aa b aaa 倒格子体积倒格子体积 123 ()bbb 3 233112 3 (2 ) () () ()aaaaaa 2.5正格子中晶面指数为正格子中晶面指数为 的晶面和倒格矢 正交的晶面和倒格矢 正交 1 2 3 hhh（）（） h K 1 12233h Kh bh bh b 其中 其中 h K 倒格矢倒格矢 是晶面指数为是晶面指数为 所对应的晶面族的法线所对应的晶面族的法线 1 2 3 hhh（）（） 意味着意味着 1 2 3 h h h K 证明证明 31 13 aa CA hh 1 2 3 1 12233h h h Kh bh bh b 1 2 3 31 1 12233 13 () () h h h aa KCAh bh bh b hh 31 1 133 13 0 aa h bh b hh 2 ijij ab 1 2 3 0 h h h KCB 所以晶面族 与和倒格矢 正交所以晶面族 与和倒格矢 正交 1 2 3 hhh（）（） 1 2 3 h h h K 同理可证同理可证 2.6 试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系 见课件 试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系 见课件 2.8 试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第 二布里渊区。 试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第 二布里渊区。 2.9 试画出边长为的二维正方格子的第一和第二布 里渊区。 试画出边长为的二维正方格子的第一和第二布 里渊区。 2.7 如果基矢如果基矢 构成简单正交系构成简单正交系 证明晶面族证明晶面族 的面间距为的面间距为 说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理 c,b,a )(hkl 222 1/ ( )( )( ) hkl d abc 简单正交系简单正交系cba kcaj bai aa 321 , 倒格子基矢倒格子基矢 23 1 123 2 aa b aaa 31 2 123 2 aa b aaa 12 3 123 2 aa b aaa k c bj b bi a b 2 , 2 , 2 321 倒格子矢量倒格子矢量 321 b lbkbhG 222 hikjlk abc 晶面族晶面族 的面间距的面间距)(hkl G d 2 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理 倒格子基矢 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理 倒格子基矢 2.10 假设具有立方对称、由同种原子构成的某种晶体， 在对其进行 假设具有立方对称、由同种原子构成的某种晶体， 在对其进行x射线分析时，在衍射谱图中只观察到（射线分析时，在衍射谱图中只观察到（110）、 （ ）、 （200）、（）、（220）或（）或（222）等衍射峰，但没有观察到 （ ）等衍射峰，但没有观察到 （100）、（）、（300）、（）、（111）或（）或（221）等衍射峰， 试通过分析说明该晶体具有何种类型的晶体结构。 ）等衍射峰， 试通过分析说明该晶体具有何种类型的晶体结构。 解：对立方对称晶体，有简单立方、体心立方和面心立方三 种典型的晶体结构。 对同种原子组成的面心立方晶体，衍射指数全偶或全奇时， 衍射强度最强，而衍射指数中部分为奇或部分为偶的衍射峰 消失。（ 解：对立方对称晶体，有简单立方、体心立方和面心立方三 种典型的晶体结构。 对同种原子组成的面心立方晶体，衍射指数全偶或全奇时， 衍射强度最强，而衍射指数中部分为奇或部分为偶的衍射峰 消失。（200）、（）、（220）或（）或（222）衍射峰的的衍射指 数全为偶数，但同时出现（ ）衍射峰的的衍射指 数全为偶数，但同时出现（110）衍射峰，这是部分为奇和）衍射峰，这是部分为奇和 部分为偶的情况，故可判断该晶体并非面心立方结构。部分为偶的情况，故可判断该晶体并非面心立方结构。 对简单立方，只能出现偶数指数的衍射峰，由于（对简单立方，只能出现偶数指数的衍射峰，由于（110）衍 射峰的出现，可判断该晶体并非简单立方结构。 ）衍 射峰的出现，可判断该晶体并非简单立方结构。 对同种原子组成的体心立方晶体，晶胞中包含对同种原子组成的体心立方晶体，晶胞中包含2个原子，其中 一个在立方体顶角，另一个在立方体体心，它们的坐标分别 为（ 个原子，其中 一个在立方体顶角，另一个在立方体体心，它们的坐标分别 为（000）和（）和（1/2，1/2，1/2），得到衍射强度为），得到衍射强度为 22 01 cos()sin() hkl Ifn hkln hkl 可见，当衍射指数之和为奇数时，反射消失，而对于衍射 指数之和为偶数时，衍射加强 （ 可见，当衍射指数之和为奇数时，反射消失，而对于衍射 指数之和为偶数时，衍射加强 （110）、（）、（200）、（）、（220）或（）或（222）等衍射峰符 合衍射指数之和为偶数的条件（衍射加强），而（ ）等衍射峰符 合衍射指数之和为偶数的条件（衍射加强），而（100）、 （ ）、 （300）、（）、（111）或（）或（221）等衍射峰符合衍射指数之 和为奇数的条件（反射消失） 因此，根据观察到的衍射峰特征可判断该晶体具有体心立 ）等衍射峰符合衍射指数之 和为奇数的条件（反射消失） 因此，根据观察到的衍射峰特征可判断该晶体具有体心立 方结构。方结构。 2.11 对面心立方的对面心立方的KBr晶体，其中晶体，其中K和和Br离子各自组成 一套面心格子，试通过分析论证该晶体的衍射谱图有何特 征？ 解：对面心立方结构的晶体，晶胞中共包含 离子各自组成 一套面心格子，试通过分析论证该晶体的衍射谱图有何特 征？ 解：对面心立方结构的晶体，晶胞中共包含4个原子，其中 一个在立方体顶角，另三个在立方体面心，它们的坐标分 别为（ 个原子，其中 一个在立方体顶角，另三个在立方体面心，它们的坐标分 别为（000）、（）、（1/2，0，1/2）、（）、（1/2，1/2，0） 和（ ） 和（0，1/2，1/2），由此得到衍射强度为），由此得到衍射强度为 2 01 2 1 cos()cos()cos() sin()sin()sin() hkl Iffn hkn hln kl fn hkn hln kl 可见，对于衍射指数中部分为奇 或部分为偶时， 可见，对于衍射指数中部分为奇 或部分为偶时， 而对衍射指数全偶或全奇时而对衍射指数全偶或全奇时 2 01 hkl Iff 此时衍射强度最小此时衍射强度最小 2 01 hkl Iff 衍射强度最强衍射强度最强 2.12 从形式上看，从形式上看，KCl非常相似非常相似KBr，但对，但对KCl进行衍射分 析时，实验上观察到和 进行衍射分 析时，实验上观察到和KBr相似的面指数全为偶数的衍射峰， 但没有观察到面指数全为奇数的衍射峰，为什么？ 答：实验上观察到和 相似的面指数全为偶数的衍射峰， 但没有观察到面指数全为奇数的衍射峰，为什么？ 答：实验上观察到和KBr相似的面指数全为偶数的衍射峰，说 明 相似的面指数全为偶数的衍射峰，说 明KCl晶体具有和晶体具有和KBr相似的面心立方结构，但没有观察到面 指数全为奇数的衍射峰，说明两者又不完全相同。这是因为 相似的面心立方结构，但没有观察到面 指数全为奇数的衍射峰，说明两者又不完全相同。这是因为 KCl中两种离子的电子数目相等，散射振幅几乎相同，因此， 对 中两种离子的电子数目相等，散射振幅几乎相同，因此， 对X-射线来说，就好似一个晶格常数为射线来说，就好似一个晶格常数为a/2的单原子简单立方 晶格，对简单立方晶格，只出现偶数指数的衍射峰。 的单原子简单立方 晶格，对简单立方晶格，只出现偶数指数的衍射峰。 2.13 对由同种原子（碳）构成的金刚石晶体，试求出衍射 强度不为零的条件。 对由同种原子（碳）构成的金刚石晶体，试求出衍射 强度不为零的条件。 1 1 1 ( , ) 4 4 4 1 3 3 ( , ) 4 4 4 3 3 1 ( , ) 4 4 4 3 1 3 ( , ) 4 4 4 (0,0,0) 对于金刚石晶体，选择立方体作为晶胞，则每个晶胞中 共有 对于金刚石晶体，选择立方体作为晶胞，则每个晶胞中 共有8个原子，一个在立方体顶角上，坐标为个原子，一个在立方体顶角上，坐标为 1 1 ( ,0) 2 2 11 ( ,0, ) 22 1 1 (0, ) 2 2 三个在立方体的面心位置，坐标分别为 另外四个在立方体对角线的 三个在立方体的面心位置，坐标分别为 另外四个在立方体对角线的1/4位置处，坐标分别 将这些原子坐标代入式得到衍射强度为 位置处，坐标分别 将这些原子坐标代入式得到衍射强度为 2 2 2 1 cos()cos()cos() 1111 cos()cos(33 )cos(33)cos(33 ) 2222 1 sin()sin()sin() 111 sin()sin(33 )sin(33)si 222 hkl Ifn hkn kln hl n hkln hklnhklnhkl fn hkn kln hl n hkln hklnhkl 2 1 n(33 ) 2 nhkl 2 2 2 1 cos()cos()cos() 1111 cos()cos(33 )cos(33)cos(33 ) 2222 1 sin()sin()sin() 111 sin()sin(33 )sin(33)si 222 hkl Ifn hkn kln hl n hkln hklnhklnhkl fn hkn kln hl n hkln hklnhkl 2 1 n(33 ) 2 nhkl 由上式很容易求出衍射强度不为零的条件是： 衍射面指数 由上式很容易求出衍射强度不为零的条件是： 衍射面指数nh、nk和和nl均为奇数； 衍射面指数 均为奇数； 衍射面指数nh、nk和和nl均为偶数且均为偶数且 也为偶数。 如果衍射面指数不满足上述两条件，则衍射消失。 也为偶数。 如果衍射面指数不满足上述两条件，则衍射消失。 1 () 2 n hkl 3.1 证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数2ln2M 假设参考离子带负电荷，则正离子取假设参考离子带负电荷，则正离子取“+”、负离子取、负离子取“-” R 参考离子参考离子 1111 2. 234 M RRRRR 则有则有 2源于参考离子左右各 有两个距离相等的离子 源于参考离子左右各 有两个距离相等的离子 111 21. 234 M 利用利用 234 ln(1). 234 xxx xx 2ln2M 第三章习题第三章习题 3.2 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为 nm rr ru )( 计算计算 1) 平衡间距平衡间距r0 2) 结合能结合能W（单个原子的）（单个原子的） 3) 体弹性模量体弹性模量 4) 若取若取 计算计算 的值的值 , eVWnmrnm4,3 . 0,10, 2 0 1) 平衡间距平衡间距r0的计算 平衡条件 的计算 平衡条件 )( 2 )( nm rr N rU 0 0 rr dr dU 0 1 0 1 0 nm r n r m 2) 单个原子的结合能单个原子的结合能 0 1 ( ) 2 Wu r 晶体内能晶体内能 0 0 ( )() mn r r u r rr 3) 体弹性模量体弹性模量 0 2 2 0 )(V V U K V 晶体的体积晶体的体积 3 NArV A为常数，为常数，N为原胞数目为原胞数目 V r r U V U 112 1 () 23 mn Nmn rrNAr 2 2112 1 () 23 mn UNrmn VVrrrNAr )( 2 )( nm rr N rU 晶体内能晶体内能 9 1 2 000 2 0 2 2 0 2 2 0 nmnm VV r n r m r n r m V N V U 体弹性模量体弹性模量 0 2 2 0 )(V V U K V 由平衡条件由平衡条件 9 1 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 nm VV r n r m V N V U 9 1 2 00 2 0 2 2 0 nm VV r n n r m m V N V U 92 00 2 0 nm rrV nmN )( 9 0 2 0 2 2 0 U V mn V U VV 体弹性模量体弹性模量 0 2 2 0 )(V V U K V 9 1 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 nm VV r n r m V N V U 4) 若取若取 计算计算 的值的值 eVWnmrnm4,3 . 0,10, 2 0 , mn m n r 1 0 )( 1 (1)() 2 m n m mn W nm 10 0 2 r W 2 10 0 2 0 W r r 3.3 设若一晶体平衡时体积为设若一晶体平衡时体积为V0，原子间总的相互作用 能为 ，原子间总的相互作用 能为U0，如果原子间相互作用能由式 所表述，试证明压缩系数为 ，如果原子间相互作用能由式 所表述，试证明压缩系数为 ( ) nm U r rr 0 0 9 nm U V 证明：体弹性模量 晶体体积 证明：体弹性模量 晶体体积 0 2 0 2 ()V U KV V 因此，体弹性模量可表示为因此，体弹性模量可表示为 3 VNr 0 2 2 0 1 () 9 r r U K N rr 2 11222 (1)(1) (),() 22 mnmn UNmnUNm mn n rrrrrr 0 2 22 000 2222 22 00000000 1(1)(1) 2 11 22 r r mn mnmnmn UNm mn n rrrr NmnmnNmn rrrrrrrr 00 mn mn rr 000 2 9 mn N nm K Vrr 00 00 ( )() 2 mn N U rU rr 0 0 9 nm U V 3.4 已知有已知有N个离子组成的个离子组成的NaCl晶体，其结合能为晶体，其结合能为 现以现以 来代替排斥项来代替排斥项 ，且当晶体处于平衡时，且当晶体处于平衡时， 这两者对互作用势能的贡献相同，试求这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和的关系。和的关系。 2 0 ( )() 24 n Ne U r rr r ce n r 将结合能在平衡位置处展开将结合能在平衡位置处展开 )()()()( 00 0 rr r U rUrU rr ) 4 ( 2 )( 0 2 r ce r eN rU 以以 代替代替 后后 r ce 0 n r )() ()( )( 00 0 rr r U rUrU rr 根据题意根据题意 结合能结合能 0) ()( 00 rrrr r U r U nr 0 两式相比两式相比 n和的关系和的关系 3.5计算面心立方简单格子的计算面心立方简单格子的A6和和A12 (1) 只计最近邻；（只计最近邻；（2）计算到次近邻。）计算到次近邻。 o 1 1 1 角顶角顶o原子周围有原子周围有8个这样的晶胞 标号为 个这样的晶胞 标号为1的原子是原子的原子是原子o的最近邻，总共有的最近邻，总共有12 个最近邻，以最近邻距离度量，则个最近邻，以最近邻距离度量，则aj=1 2 2 2 1212 1 j j A a 66 1 j j A a 0 jj ra R R为最近邻距离为最近邻距离 若只计最近邻则若只计最近邻则 6 6 1 (1)12 ( )12 1 A 12 12 1 (1)12 ( )12 1 A 标号为标号为2的原子是原子的原子是原子o的次近邻，总共有的次近邻，总共有6 个次近邻，以最近邻距离度量，则个次近邻，以最近邻距离度量，则aj=21/2 若计算到次近邻则若计算到次近邻则 66 6 11 (2)12 ( )6 ()12.75 12 A 1212 12 11 (2)12 ( )6 ()12.094 12 A 4.1对一维双原子分子链，原子质量均为对一维双原子分子链，原子质量均为m，原子统一编号， 任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为 ，原子统一编号， 任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为1和和2，晶 格常数为 ，晶 格常数为a，求原子的运动方程以及色散关系。，求原子的运动方程以及色散关系。 1 2 3 n-1 n n+1 N-2 N-1 N 1 2 第第n-1与第与第n+1个原子属于同一种原子个原子属于同一种原子 n+2 n+3 第第n与第与第n+2个原子属于同一种原子 于是 个原子属于同一种原子 于是 第第n个原子受的力为个原子受的力为 第第n+1个原子受的力为个原子受的力为 2111 ()() nnnnn fxxxx 112121 ()() nnnnn fxxxx 第四章习题第四章习题 对每种原子，可写出其运动方程对每种原子，可写出其运动方程 2 21112 ()() n nnnn d x mxxxx dt 2 1 121212 ()() n nnnn d x mxxxx dt 将方程的解写成角频率为 的简谐振动的形式，即 将方程的解写成角频率为 的简谐振动的形式，即 2 1221 2 2112 ()()0 ()()0 iqa iqa mAeB eAmB 2 1221 2 2112 () 0 () iqa iqa me em 2 2221/21212 22 12 21/21212 2 12 16 24sin () 2()2 4 11sin () ()2 mqa mm m qa m 色散关系色散关系 得到得到 A、B非非0解的条件是系 数行列式必须为 解的条件是系 数行列式必须为0，即，即 由此得到由此得到 代入代入 2 21112 ()() n nnnn d x mxxxx dt 2 1 121212 ()() n nnnn d x mxxxx dt 4.2 问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？ 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动， 振动频率较高，包含了晶格振动频率最高的振动模式。 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移， 原胞做整体振动，振动频率较低，包含了晶格振动频率最 低的振动模式。 任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格晶体不存在光学 支格波。 问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？ 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动， 振动频率较高，包含了晶格振动频率最高的振动模式。 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移， 原胞做整体振动，振动频率较低，包含了晶格振动频率最 低的振动模式。 任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格晶体不存在光学 支格波。 4.3 按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温 和很低温度两种情况分别进行讨论。 频率为的格波的声子数 按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温 和很低温度两种情况分别进行讨论。 频率为的格波的声子数 / 1 ( ) 1 kT n e 对德拜模型，模式密 度或频率分布函数为 对德拜模型，模式密 度或频率分布函数为 2 23 3 ( ) 2 V g C 则总的声子数则总的声子数 0 ( ) ( ) D Nngd /2 0 2 3 13 12 D kT V d eC 高温高温/0kT / 1/ kT ekT / 1 ( )/ 1 kT nkT e 所以高温时声子数为所以高温时声子数为 2 23 3 4 D Vk NT C /23 0 2 13 12 D kT V Nd eC 很低温度很低温度 / kT 作变量变换作变量变换 /xkT 332 233 0 3 2(1) x Vk T x dx Ce 2 /23 0 13 12 D kT V Nd eC 3 AT 332 233 0 3 2(1) x VkT x dx Aconst Ce 4.4 设一长度为设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为的一维简单晶格，原子质量为m，原子 间距为 ，原子 间距为a，原子间的相互作用势可表示成 试由简谐近似求 （ ，原子间的相互作用势可表示成 试由简谐近似求 （1）色散关系； （ ）色散关系； （2）模式密度）模式密度D（）； （ （）； （3）晶格比热。）晶格比热。 ()cos( )U aA a （1）色散关系）色散关系 ()cos( )U aA a 22 022 ()() a d Ud U drd 恢复力常数恢复力常数 2 022 () d UA da 代入代入 得到色散关系为得到色散关系为 设单原子链长度 波矢取值 设单原子链长度 波矢取值h Na q 2 每个波矢的宽度每个波矢的宽度 2 Na 状态密度状态密度 Na 2 dq间隔内的状态数间隔内的状态数 dq Na 2 对应对应q，取值相同，取值相同， d间隔内的状态数目间隔内的状态数目 LNa （2）模式密度）模式密度D（）（） 一维单原子链色散关系一维单原子链色散关系 m 4 0 ) 2 sin( 0 aq 令 两边微分得到 令 两边微分得到dq aqa d) 2 cos( 2 0 2 0 2 1) 2 cos( aq dq a d 22 0 2 d间隔内的状态数目间隔内的状态数目 22 0 2 d a dq d N 22 0 1 2 dq a d 22 0 2 代入代入dq Na d 2 2)( 一维单原子链的频率分布函数一维单原子链的频率分布函数 （3）晶格比热 频率为的格波的热振动能为 ）晶格比热 频率为的格波的热振动能为 / 1 B k T e 整个晶格的热振动能为整个晶格的热振动能为 0 / 0 ( ) 1 B k T Ed e V dE C dT 0 2 /2220 0 2 () (1) B VB k T B Ld Ck ak T e 4