2020版高考数学一轮复习 8.5 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 北师大版.ppt

8.5直线、平面垂直的判定与性质,知识梳理,考点自测,1.直线与平面垂直,任意,mn=O,a,知识梳理,考点自测,b,ab,知识梳理,考点自测,2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理,直二面角,垂线,交线,l,知识梳理,考点自测,直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac.()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.(),知识梳理,考点自测,2.已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn,C,解析:对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n,l,所以nl,故C正确.故选C.,知识梳理,考点自测,3.如图所示,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE,C,解析:AB=CB,且E是AC的中点,BEAC,同理有DEAC,而BEDE=E,AC平面BDE.AC在平面ABC内,平面ABC平面BDE.又AC在平面ADC内,平面ADC平面BDE.故选C.,知识梳理,考点自测,4.(2018黑龙江哈尔滨押题卷(一),9)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,过直线B1D1的平面平面A1BD,则平面截该正方体所得截面的面积为(),D,知识梳理,考点自测,解析:如图所示,连接A1C1交B1D1于E,取AA1中点F,连接EF、AC1、FB1和FD1,易得EFAC1,AC1面A1BD,EF面A1BD;EF面FB1D1,FB1D1为平面截该正方体所得截面,且EFB1D1;,知识梳理,考点自测,5.在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号),知识梳理,考点自测,解析:如图,AEBD,CFBD,连接CE,ABBC,CE不垂直于BD.若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,BDAE,BD平面AEC,从而BDEC,这与已知矛盾,排除;若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD平面ABC.作MECF,交BC于点M,连接AM(图略),则MEBD,又AEBD,AEME=E,BD平面AME,AMBD.又CD平面ABC,CDAM.又CDBD=D,AM平面BCD,即点A在平面BCD上的射影M位于边BC上时,直线AB与直线CD垂直,故正确;,知识梳理,考点自测,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC平面ACD,从而平面ACD平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除.故答案为.,考点一,考点二,考点三,考点四,证明空间线面垂直例1(2018河南安阳核心押题一,18)等边三角形ABC的边长为6,O为三角形ABC的重心,EF过点O且与BC平行,将AEF沿直线EF折起,使得平面AEF平面BCFE.(1)求证:BE平面AOC;(2)求点O到平面ABC的距离.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明因为O为三角形ABC的重心,所以AOBC,因为EFBC,所以AOEF,因为平面AEF平面BCFE,平面AEF平面BCFE=EF,AO平面AEF,所以AO平面BCFE,因为BE平面BCFE,所以AOBE,因为O为三角形ABC的重心,所以COBE,因为AO、CO平面AOC,AOCO=O,所以BE平面AOC.(2)解等边三角形ABC的边长为6,O为三角形ABC的重心,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,思考证明线面垂直的常用方法有哪些?思路分析(1)由已知条件证得AO平面BCFE,AOBE,COBE得证.(2)运用等体积法求出点O到平面ABC的距离.解题心得证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,对点训练1如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O底面ABCD;(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,(1)证明如图,因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1,所以CC1BD.而ACBD=O,因此CC1底面ABCD.由题设知,O1OC1C.故O1O底面ABCD.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,(2)解如图,过O1作O1HOB1于H,连接HC1.由(1)知,O1O底面ABCD,所以O1O底面A1B1C1D1,于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形,因此A1C1B1D1,从而A1C1平面BDD1B1,所以A1C1OB1,于是OB1平面O1HC1,进而OB1C1H.故C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.,考点一,考点二,考点三,考点四,证明空间两条直线垂直例2(2018湖北荆州统考,18)如图1所示,在梯形BCDE中,DEBC,且DE=BC,C=90,分别延长两腰交于点A,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2所示.图1图2(1)求证:A1FBE;(2)若BC=6,AC=8,四棱锥A1-BCDE的体积为,求四棱锥A1-BCDE的表面积.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明因为C=90,即ACBC,且DEBC,所以DEAC,则DEDC,DEDA1,又因为DCDA1=D,所以DE平面A1DC.因为A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因为A1FCD,CDDE=D,所以A1F平面BCDE,又因为BE平面BCDE,所以A1FBE.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法?思路分析(1)先证DE平面A1DC,继而DEA1F,又A1FCD,证得A1F面BCDE,即可证得A1FBE;(2)分别计算出梯形面积和四个三角形面积即可得到表面积.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直线与平面垂直的性质.2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练2如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.又DOBO=O,从而AC平面DOB,故ACBD.(2)解连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,证明空间两个平面垂直例3(2018山东临沂沂水一中一模,18)如图,四棱锥P-ABCD中,PCD为等边三角形,CD=AD=2AB,E,S,T,Q为CD,PA,PB,AD的中点,ABC=BCD=PEA=90,平面STRQ平面ABCD=RQ.(1)证明:平面PAE平面STRQ;(2)若AB=1,求三棱锥Q-BCT的体积.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明因为E为CD的中点,CD=2AB,ABC=BCD=90,所以四边形ABCE为矩形,所以AECD.由已知易得RQCD,所以RQAE.因为PEA=90,PECD=E,故AE平面PCD,故平面PCD平面ABCD.因为PECD,所以PE平面ABCD.因为RQ平面ABCD,所以RQPE.又PEAE=E,所以RQ平面PAE.所以平面PAE平面STRQ.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,思考证明面面垂直的常用方法有哪些?思路分析(1)先证明RQ平面PAE,即证明平面PAE平面STRQ.(2)先计算点T到平面BCQ的距离为,再求三棱锥Q-BCT的体积.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得1.面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决.2.三种垂直关系的转化由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练3(2018全国1,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,垂直关系中的存在问题例4,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE将AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE,A1B平面A1BE,DE丄A1B.(2)证明取CD中点F,连接NF,MF,M,N分别为A1C,BE的中点,MFA1D,NFDE,又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF,平面A1DE平面MNF.MN平面A1ED.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)解取A1B的中点G,连接EG,A1E=BE,EGA1B,由(1)知DE平面A1BE,DEBC,BC平面A1BE,EGBC,又A1BBC=B,EG平面A1BC.故棱A1B上存在中点G,使得EG平面A1BC,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,思考探索性问题的一般处理方法是什么?解题心得线面垂直中的探索性问题同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练4如图1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE将AED折起到A1ED的位置,连接A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点,如图2.(1)求证:DEA1B.(2)求证:MN平面A1ED.(3)在棱A1B上是否存在一点G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,(1)证明在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE将AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE,A1B平面A1BE,DE丄A1B.(2)证明取CD中点F,连接NF,MF,M,N分别为A1C,BE的中点,MFA1D,NFDE,又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF,平面A1DE平面MNF.MN平面A1ED.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,(3)解取A1B的中点G,连接EG,A1E=BE,EGA1B,由(1)知DE平面A1BE,DEBC,BC平面A1BE,EGBC,又A1BBC=B,EG平面A1BC.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,垂直的综合运用例5(2018全国2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,思考空间距离如何求解?解题心得1.直接找出过已知点的平面的垂线,利用平面几何知识求解线段长度,注意余弦定理和直角三角形中勾股定理的应用.2.利用等积转化法求解,即三棱锥等体积转化求解点面距离.3.将线面距离和面面距离转化为点面距离,将点面距离利用平行等价