几何画板在高中数学中的应用.doc

目 录内容摘要 1关键词 1Abstract 1Key word 11 引言 22 几何画板的功能简介 23 高中数学内容标准 34 几何画板在高中数学的应用 34.1几何画板在高中函数中的应用 34.2几何画板在高中立体几何中的应用 7 4.3几何画板在高中平面解析几何中应用 105 几何画板的局限性 12参考文献 14浅谈几何画板在高中数学中的应用及其局限性内容摘要：本文首先简单介绍了几何画板功能及高中数学内容标准，根据高中数学内容分块，及几何画板在函数、立体几何、平面解析几何中应用比较广，所以本文将在此三方面简单介绍几何画板的应用，也就可以比较全面概括几何画板在高中数学的应用。虽然几何画板在高中数学中应用比较广泛，然而其在其他方面的应用就具有一定的局限性，且自身也存在一定的局限性。关键词：几何画板 数学 局限性 Abstract: Firstly，the article simply introduced the function of the geometry drawing board and the mathematics content standard of the high school , according to the mathematics content standard of the high school piecemeal, and the geometry drawing board in the function, the solid geometry, in the plane analytic geometry applies is quite broad, therefore the article will introduce the geometry drawing boards application simply in this three aspects, may also the quite comprehensive summary geometry drawing board in the high school mathematics application.Although the geometers sketchpad application of high school maths is more extensive, yet its in other applications has certain limitation, and itself has some limitations. Key word: Geometry drawing board mathematic limitations1引言几何画板因其易学性、动态性和交互性为探究式教学的开展提供强大的技术平台,几何画板在高中数学的应用及其局限性成了时代数学教学的话题。2几何画板功能简介几何画板是美国Key Curriculum press公司制作并出版的几何软件。它的全名是“几何画板21世纪的动态几何”。几何画板是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为教师和学生提供了一个探索几何图形内在的关系环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，它能显示或构造出其它较为复杂的图形。它的特色首先能把较为抽抽象的几何图形形象化，但是它最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破传统教学的难点。作为计算机软件几何画板，它集图像的制作、动画、测算、文字输入，编辑等为一体，为“几何模型”的构建提供了一个有效的场所，结合多媒体信息输(出)入，存储量大，可进行交互的功能。它是实现“数形结合”思想的一个有效的辅助教学工具。几何画板为“数形结合“创造了一条便捷的道路，它不仅对几何模型的绘制提供信息，同时，可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形”变换“的动感，丰富多彩的”动画“模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中寻找到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质，另外其丰富的测算功能使得对问题的观察，试验和归纳成为现实。3高中数学内容标准必修课程是整个高中数学课程的基础，包括5个模块。5个模块的内容为：数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等，而且函数、立体几何、平面解析几何在高中数学内容占据很大比例，所以举例说明几何画板在函数、立体几何、平面解析几何中应用也就可以相对全面的介绍其在高中数学中的应用。4几何画板在高中数学中的应用4.1几何画板在高中函数中的应用“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式解析式和图象之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果具体说来，可以用几何画板根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，比较各图象的形状和位置，归纳函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化。现举例说明几何画板高中函数中的应用 例1 几何画板在幂函数的性质教学中的应用幂函数作为一重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经有了学习指数函数和对数函数的图像和性质的学习经历，幂函数的图形和性质的研究便水到渠成，但幂函数图像的位置和形状变化的复杂性会使得学生在理解和记忆上都较以往学习过的函数要困难。学生对数学知识难点、重点的学习主要靠教师讲解分析，或在老师的一步步启发下理解，学生不但学得被动，而且理解一些特别抽象的数学概念或情境比较复杂的数学问题会出现很大的困难。然而利用几何画板教学则能大大减少这种困难。用几何画板演示幂函数图相和性质变化，能使学生对百思不得其解的问题感到豁然明朗，促使他们从感觉到领会、从意会到表达、从具体到抽象、从猜想到证明，理解得更深刻。同一个直角坐标系中作出函数、和的图象（见图1），通过图像对比可以完整地获得了幂函数的性质，而且印象特别深刻，从而较好地达成了教学目标。图1幂函数性质图像 例2几何画板在三角函数教学中的应用讲函数的图象时，传统教学只能将A、代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用几何画板则可以以线段b、a的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图2），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅 ，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。图2三角函数 例3几何画板在数列教学中的应用 讲解数列的极限的概念时，作出数列的图形（如图3）（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用几何画板的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。图3数列图像 例4几何画板在二次函数图像性质教学中的应用 数学家华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微。”数形结合是学习数学的重要方法,用图形解释抽象的数学现象,既形象又直观。相较于现有的其他绘图工具来说,几何画板的一个大好处便是可以对在画板上已画好的几何图形进行任意拖动,而原图形的几何关系保持不变,因而可以从中发现几何图形之间的关系和规律。如二次函数的图像的平移变换较难理解,在教学中就可以利用几何画板动态展示图像随参数a、b、c的变化而变化的过程。利用参数a、b、c控制二次函数的图像,改变参数可以动态演示图像的变化。 制作过程：现自定义一个坐标系，然后在X轴取三个点A、B、C，并分别度量其横坐标，设置为参数a、b、c，接着设置函数，并绘制该函数，最后美化界面。在教学过程当中，可以通过移动A、B、C点来改变a 、b、c的值。界面见图4。 如此制作参数a、b、c,是为了在移动相关参数时,使学生更直观地发现参数a、b、c对二次函数图像的影响:参数a影响函数的开口方向,参数b影响函数图像的左右移动,参数c影响函数图像的上下移动。 图4二次函数图像性质学生通过亲身实验探索获得知识,学习更加积极主动,对所学知识理解也更深刻,同时也培养了学生探索、归纳的能力。4.2几何画板在高中立体几何中的应用立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用几何画板将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。现举例说明几何画板高中立体几何中的应用例5 几何画板在二面角教学中的应用二面角的概念是立体几何中很重要的一个概念。二面角进一步完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。掌握好二面角概念，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力、乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义。 图5二面角的概念在讲二面角的定义时如图5，当拖动点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力。 例6几何画板在棱台、棱锥和棱柱教学中的应用棱柱、棱锥、棱台是立体几何中常见的规范立体几何图形，在高中教学目标中要求学生了解它们的体积、面积公式并能简单应用它们。而老师在教学过程当中手滑立体图形不正规，而影响教学效果。而用几何画板来进行画图，学生将清晰了解棱台等概念。在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程如图6，更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程如图7，既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力给学生以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。 图6 棱台与棱锥 图7 三棱柱分割4.3几何画板在高中平面解析几何中的应用平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，几何画板又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。现举例说明几何画板高中平面解析几何中的应用 例7在讲平行直线系或中心直线系时，如图8所示，分别拖动图（1）中的点A和图（2） 中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）。 例8在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手如图9，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取一点E，分别以F1为圆心、AE的长为半径和以F2为圆心、AE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图9（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师用鼠标拖动点B（即改变线段AB的长），使得|AB|=|F1F2|，如图9（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图7（3）（|AB|F1F2| (2) |AB|=|F1F2| (3) |AB|F1F2|图9圆锥曲线 综上所述，几何画板的运用在数学的教学中非常实用,且助于提高课堂效率，增大知识的覆盖面，有助于提高课堂教学效果，由于情况的快速反馈，老师的讲课时更具有针对性，并能及时调整教学内容和节奏；有助于培养学生敏捷思维和观察问题、分析问题、解决问题的能力。5