三角回扣教学案.docx

三角回扣学案【学习目标】1.掌握三角函数的诱导公式及正余弦定理，会利用诱导公式及定理解决三角中求值问题。2.熟练掌握三角函数的图像及性质，并且会利用数形结合的思想研究三角函数的奇偶性、单调性、对称性、值域等性质。【学习重点】三角函数的图形及性质。【学习难点】利用图象解决三角函数中的有关性质。基础自测1.在中，角的对边分别为，若，则角的值为（ ）A. B. C. D.D【解析】试题分析：变形为2.已知R,sin+2cos=102,则tan2等于()A.43 B.34 C.-34 D.-43【解析】选C.因为sin+2cos=102,所以sin2+4sincos+4cos2=52.用降幂公式化简得:4sin2=-3cos2,所以tan2=sin2cos2=-34.3.已知函数fx=sinx+(0,0,|2)的部分图象如图所示,则fx的递增区间为()A.-12+2k,512+2k,k B.-12+k,512+k,kC.-6+2k,56+2k,k D.-6+k,56+k,k【解析】选B.由图象可知A=2,34T=1112-6=34,所以T=,故=2.由f1112=-2,得=2k-3(kZ).因为|=2,所以=-3,所以f(x)=2sin2x-3.由2x-32k-2,2k+2(kZ),得xk-12,k+512(kZ).或:34T=1112-6=34,所以T=,6-T4=6-4=-12,6+T4=6+4=512,所以f(x)的递增区间是k-12,k+512(kZ).4.函数y=sin(2x+)(-)的图象向左平移2个单位后,与函数y=cos2x+56的图象重合,则=_.【解析】将函数y=sin(2x+)(-)向左平移2个单位后得到y=sin2x+2+=sin(2x+)=-sin(2x+)=cos2x+2,与y=cos2x+56的图象重合,且-,所以+2=56,解得=3.答案:35.在ABC中,cos2A2=b+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2A2=b+c2c,所以1+cosA2=b+c2c,所以1+b2+c2-a22bc=b+cc,化简得a2+b2=c2.故ABC是直角三角形.6.已知向量a=(cosx,sinx),b=(2,2),ab=85,则cosx-4等于( )A.-35 B.-45 C.35 D.45【解析】选D.由ab=85,得2cosx+2sinx=85,所以22cosx+22sinx=45,即cosx-4=45.7.把函数y=23sinxcosx+2cos2x的图象向左平移个单位得到的图象关于y轴对称,则的一个可能取值为()A.12 B.6 C.4 D.3【解析】选B.y=3sin2x+cos2x+1=2sin2x+6+1,平移后,得y=2sin2(x+)+6+1=2sin2x+2+6+1,由题意,得2+6=2.即=6.8.设函数f(x)|sin(x)|(xR)，则f(x)( )A在区间，上是增函数 B在区间，上是减函数C在区间，上是增函数 D在区间，上是减函数解析：选A.f(x)的增区间为kxk(kZ)，即kxk(kZ)当k1，则为x ，故在其子区间，上为增函数9.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且A=60,若SABC=1534,且5sinB=3sinC,则ABC的周长等于_.【解析】依题意得12bcsinA=34bc=1534,即bc=15,5b=3c,解得b=3,c=5.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=19,a=19,因此ABC的周长等于a+b+c=8+19.答案:8+1910.在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶上有一个观察站P.上午11时,测得一轮船在岛的北偏东30,俯角30的B处,到11时10分又测得该船在岛的北偏西60,俯角60的C处,则轮船的航行速度是_千米/时.【解析】PA平面ABC,BAC=90,APB=60,APC=30,PA=1(千米),从而BC=303(千米),于是速度v=BC16=230(千米/时).答案:230典例精析例1已知向量a=sinx,32(sinx+cosx),b=(cosx,sinx-cosx),xR,记函数f(x)=ab.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足2b-c=2acosC,求f(B)的取值范围.解析】(1)由题意知,f(x)=ab=sinxcosx+32(sinx-cosx)(sinx+cosx).=12sin2x-32cos2x=sin2x-3.令2k-22x-32k+2,kZ,则可得k-12xk+512,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-12,k+512(kZ).(2)由余弦定理可得2b-c=2aa2+b2-c22ab,整理得b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12,所以A=3,所以B+C=23.所以0B23,所以-32B-3,所以-32sin2B-31,即-32f(B)1.例3已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x(xR).(1)求函数f(x)的周期和递增区间.(2)若函数g(x)=f(x)-m在0,2上有两个不同的零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.【解析】(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-4)(xR).由2k-22x-42k+2k-8xk+38(kZ).所以函数f(x)的周期为T=,递增区间为k-8,k+38(kZ).(2)因为g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m;在直角坐标系中画出函数f(x)=2sin(2x-4)在0,2上的图象,由图象可知,当且仅当m1,2)时,方程f(x)=m在0,2上的区间4,38和38,2有两个不同的解x1,x2,且x1与x2关于直线x=38对称,即x1+x22=38,所以x1+x2=34;故tan(x1+x2)=-1.当堂达标1.已知cos=-725,(-,0),则sin2+cos2=()A.125B.15C.-15D.15【解析】选C.因为cos=-725,(-,0),所以sin=-2425,所以sin2+cos22=1+sin=125,又cos=-7250,(-,0),所以-,-2,所以2-2,-4,所以sin2|cos2|,所以sin2+cos2=-15.2.的三边成等差数列，则角的范围是（ ）A B C D6A【解析】试题分析：由题意得，因为的三边成等差数列，所以，所以，当且仅当时等号成立，又，根据余弦函数的单调性可知，故选A.3.已知函数f(x)=sin(x+)(0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2.若角的终边经过点P(-1,2),则f54=()A.255 B.55 C.-255 D.-55【解析】选D.由题意得T=22=2,所以=2.点P(-1,2)到原点的距离为r=(-1)2+22=5,所以sin=25,cos=-15,f(x)=sin(2x+),f54=sin52+=sin2+=cos=-55.4.设为锐角,若cos+6=35,则sin-12=_.【解题导引】利用-12=+6-4,并结合三角变换公式求解.【解析】由于为锐角,则02,则6+60,所以sin+6=1-cos2+6=1-352=45,所以sin-12=sin+6-4=sin+6cos4-cos+6sin4=4522-3522=210.答案:210拓展延伸1.已知sin+cos=2,则tan+cossin的值为()A.-1B.-2C.12D.2【解析】选D.依题意得(sin+cos)2=1+2sincos=2,所以2sincos=1,从而tan+cossin=1sincos=22sincos=2.2.将函数f(x)=23cos2x-2sinxcosx-3的图象向左平移t(t0)个单位长度,所得图象对应的函数g(x)为奇函数,则t取最小值时g(x)=()A.-2sin2x B.2sin2x C.-sinx D.sinx【解析】选A.由题意得,f(x)=23cos2x-2sinxcosx-3=3cos2x-sin2x=2cos2x+6,将函数f(x)的图象向左平移t(t0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x)=2cos2x+2t+6(t0),又g(x)为奇函数,所以2t+6的最小值为2,解得tmin=6.此时g(x)=-2sin2x.3.设0,2,0,2,且tan=1+sincos,则()A.3-=2 B.2-=2 C.3+=2D.2+=2【解析】选B.由tan=1+sincos,得sincos=1+sincos,即sincos=cos+cossin,所以sin(-)=cos=sin2-.因为0,2,0,2,所以-2,2,2-0,2,所以由sin(-)=sin2-,得-=2-,所以2-=2.4.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间6,2上是减函数,则a的最大值是_.【解题导引】将函数f(x)=cos2x+asinx化为关于sinx的二次函数的形式,结合图象求解.【解析】f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x6,2,则t12,1,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在12,1上是减函数,结合抛物线图象可知,a412,所以a2.所以a的最大值是2.答案:2已知向量m=3sinx4,1,n=cosx4,cos2x4.记f(x)=mn,(1)求f(x)的最小正周期.(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,若f(A)=1+32,试判断ABC的形状.【解析】f(x