初二数学《二次根式》竞赛培优题含.pdf

第 1页（共 26页） 二次根式竞赛培优题（含解析）二次根式竞赛培优题（含解析） 一选择题（共一选择题（共 5 小题）小题） 1计算：=（） A3994001B3994002C3994003D3994000 2计算：=（） ABCD 3的结果是（） ABCD 4的值是（） ABC1D 5在这 1000 个二次根式中，与是同类二 次根式的个数共有（） A3B4C5D6 二填空题（共二填空题（共 24 小题）小题） 6.已知实数x1，x2，x3，x1999满足 则 x1+2x2+3x3+1999x1999的值为 7化简= 8化简 9 观察图形， 用 Si表示第 i 个三角形的面积， 有；， ， 第 2页（共 26页） 若 S1+S2+S3+Sn10，则 n 的最小值为 10方程的解是 x= 11设 M=+，N=12+34+5 6+19931994，则= 12计算：=（其中 a0） 13的值为 14已知：对于正整数 n，有，若某个正整数 k 满足，则 k= 15若 n 为整数，且是自然数，则 n= 16如果，并且表示为时的值，即， 第 3页（共 26页） 表 示 当时 的 值 ， 即， 那 么 的值为 17若 u、v 满足 v=，则 u2uv+v2= 18已知 a 为实数，且与都是整数，则 a 的值是 19使得+=1 的一组正整数（a，b，c） 为： 20计算20062的结果是 21设= 22若，则 x6+y6的值是 23当时，的值为 24已知，则 k= 第 4页（共 26页） 25当 1x2 时，经化简等于 26计算= 27已知 x=，那么+1 的值是 28化简：，得到 29= 三解答题（共三解答题（共 1 小题）小题） 30计算： （1）； （2） ； （3）； （4） 第 5页（共 26页） 二次根式竞赛培优题（含解析）二次根式竞赛培优题（含解析） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 5 小题）小题） 1计算：=（） A3994001 B3994002C3994003D3994000 【分析】设 1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算 后，加上 a2再减去 a2，前三项结合提取 a2，剩下的三项利用完全平 方公式化简，接着三项合并后提取 2a，整体再利用完全平方公式化 简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a| 及 a 大于 0 即可得到最后结果 【解答】解：设 1998=a， 则 1997199819992000+1 =（a1）a（a+1） （a+2）+1 =a4+2a3+a2a2a22a+1 =a2（a+1）22a（a+1）+1 =a（a+1）12， 所以 = =199819991 =3994001 故选：A 第 6页（共 26页） 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题 的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同 时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的 化简公式=|a|的运用 2计算：=（） ABCD 【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为， 将所得式子化简，分别取 n=1，2，3，40，寻找抵消规律，得 出结论 【解答】解： = （） = （） = （） = （） 分别取 n=1，2，3，40 得 原式= （1）+（）+（）+（） = （1 ）= 故选：B 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一 般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键 第 7页（共 26页） 3的结果是（） ABCD 【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可 【解答】解： = （） = 故选：D 【点评】主要考查二次根式的分母有理化主要利用了平方差公式， 所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子 4的值是（） ABC1D 【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现， ，据此作答 【解答】解：由题意可知第 k 项是 原式=（+=1=1= 故选：B 【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律 答题 第 8页（共 26页） 5在这 1000 个二次根式中，与是同类二 次根式的个数共有（） A3B4C5D6 【分析】找到 10005x22000 中符合 x 的整数值即可得出答案 【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定 为 5， 由此及题意可：10005x22000， x 可取 15、16、17、18、19，共 5 个 故选：C 【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同 类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足 二填空题（共二填空题（共 24 小题）小题） 6已知实数x1，x2，x3，x1999满足 则 x1+2x2+3x3+1999x1999的值为3998000 【分析】 由等式可知= x1，= x2， 解得 x1=x2=x3=x1999=2， 由此代入求得数值即可 【解答】解：， = x1，= x2， x1=x2=x3=x1999=2， 第 9页（共 26页） x1+2x2+3x3+1999x1999 =2（1+2+3+1999） =2（1999+1）19992 =3998000 故答案为：3998000 【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应 关系，求出 x1、x2、x3、x1999的值 7化简=2011 【 分 析 】 先 根 据 平 方 差 公 式 和 二 次 根 式 的 性 质 得 到 =，然后根据同样的方法由内到外依 次化简即可得到答案 【解答】解：=， 原式= = = = = = =2011 故答案为 2011 第 10页（共 26页） 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|也考查了平方差 公式 8化简后 2 【分析】由于=1，其他根式也可以进行同 样的化简，然后合并同类二次根式即可求解 【解答】解： =1+ =31 =2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完 全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的 9 观察图形， 用 Si表示第 i 个三角形的面积， 有；， ， 若 S1+S2+S3+Sn10，则 n 的最小值为10 第 11页（共 26页） 【分析】利用不等式， 结合 S1+S2+S3+Sn 10，解不等式即可 【解答】解：Si表示第 i 个三角形的面积， 由不等式 n，得 n= n， 而 S1+S2+S3+Sn=，S1+S2+S3+Sn10， n10，即 n2（n+1）800， n 为正整数，n 的最小值为 9 但 n=9 时，代入 S1+S2+S3+Sn10，不符合题意， 故 n=10 【点评】本题考查了二次根式的运用利用均值不等式和不等式的传 递性解题 10方程的解是 x=2011 【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律 【解答】解：原方程化为： +=， 通分得=， 解得 x=2011 故答案为：2011 【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用关键是将各 第 12页（共 26页） 分式的分母有理化，寻找抵消规律 11设 M=+，N=12+34+5 6+19931994，则= 【分析】首先将 M 式中各个分式进行分母有理化，再求出 N 式的值， 代入代数式求值即可解答 【解答】解：将 M 分母有理化可得 M=（1）+（）+（ ）+（）=1 N=12+34+56+19931994=（12）+（34）+（56）+ （19931994）=1997=997， = 故答案为 【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式， 使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键 12计算：=4（其中 a0） 【分析】仔细观察会发现有以下规律：第 1 项加上第 8 项等于 1，第 2 项加上第 7 项等于 1，依此类推最后求得的结果 4 【解答】解：第一项与最后一项相加得： +， 第 13页（共 26页） =+， =， =1， 同理可得：第二项与倒数第二项的和也是 1；第三项与倒数第三项的和 也是 1； 所以原式=1+1+1+1=4 故应填：4 【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑 思维能力，是一道不错的规律型问题 13的值为1998999.5 【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设 k=2000，将所求算式转化为关于 k 的算式，将被开方数配成完全平 方式，开平方，再将 k 的值代入即可 【解答】解：设 k=2000， 原式= = = = 第 14页（共 26页） =， 当 k=2000 时，原式=1998999.5 故本题答案为：1998999.5 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数 字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便 14已知：对于正整数 n，有，若某个正整数 k 满足 ，则 k=8 【分析】 读懂规律， 按所得规律把左边所有的加数写成的形式， 把互为相反数的项结合，可使运算简便 【解答】解：， +， 即 1， ， 解得 k=8 故答案为：8 【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题 15 若 n 为整数， 且是自然数， 则 n=14 或7 或2 或 5 【分析】设=p，再把等式两边同时乘以 4，利用平方差公式把 第 15页（共 26页） 等式左边化为两个因式积的形式，列出关于 p、n 的方程组，求出 n 的值即可 【解答】解：设=p（P 为非负整数） ，则 n2+9n+30=p2， 4n2+36n+120=4p2， （2n+9）2+39=4p2， （2p+2n+9） （2p2n9）=39， 或或或， 解得或或或， n=14 或7 或2 或 5 故答案为：14 或7 或2 或 5 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化 为两个因式积的形式是解答此题的关键 16如果，并且表示为时的值，即， 表 示 当时 的 值 ， 即， 那 么 的值为 2012.5 【分析】根据新定理得 f（）= ，f（）= ，则 f（）+f（）=1； f（）= ，f（）= ，则 f（）+f（）=1，由此得到 f（） 第 16页（共 26页） +f（）=1（n2 的整数） ，所以原式= + 【解答】解：f（）= ， f（）= ，f（）= ，则 f（）+f（）=1， f（）= ，f（）= ，则 f（）+f（）=1， f（）+f（）=1， = +=2012.5 故答案为 2012.5 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一 定要先化简再代入求值也考查了阅读理解能力 17若 u、v 满足 v=，则 u2uv+v2= 【分析】根号里面的式子大于等于 0，从而可得0，0， 从而能得出 u 和 v 的值，继而可得出答案 【解答】解：由题意得：0，0， 从而=0，2uv=0，u= v， 又 v= ， u= ， u2uv+v2= 第 17页（共 26页） 故答案为 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子 大于等于 0 这个知识点比较关键 18已知 a 为实数，且与都是整数，则 a 的值是或 【分析】由是正整数可得，a 是含2的代数式；再由是整 数，可得化简后为2的代数式 分母有理化后，是 1 或1，据此 确定 a 的值 【解答】解：是正整数， a 是含2的代数式； 是整数， 化简后为2的代数式 分母有理化后，是 1 或1， a=或 故答案为：或 【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二 次根式和分母有理化 19使得+=1 的一组正整数（a，b，c）为： 答案不唯一；如（288，8，8） ， （48，24，8） 【分析】由于三个复合二次根式的和为 1，则它们的被开方数为完全平 第 18页（共 26页） 方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y 为 正整数，xy） ，然后通过正整数的含义，得到 x，y 为两个相邻正 整数， 即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根 若第一个化简后是1，则第二个复合二次根式化简后必为 ，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的 a，b，c 的值 【解答】解：因为几个复合二次根式的和为 1，则每个复合二次根式的 被开方数一定为完全平方数设=x+y2， （x， y 为正整数，xy） ，所以有=x+y，=2 a+1=（x+y）2，a=4xy， （xy）2=1，即 xy=1 则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根 若第一个化简后为1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后 必为， 要消掉， 则第三个复合二次根式化简后必为 最 后正好为=1 所以=（1）2=3=3，则 a=8， 同理得 b=24，c=48 故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48 故答案为 8，24，48 【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简： 20计算20062的结果是2005 【分析】先把“2005200620072008+1=（20052+32005+1）2”化为完 第 19页（共 26页） 全平方的形式，再开平方，然后再来求值 【解答】解：2005200620072008+1 =2005（2005+3）（2005+1） （2005+2）+1 =（20052+32005）（20052+32005+2）+1 =（20052+32005）2+2（20052+32005）+1 =（20052+32005+1）2 =20052+32005+1； 20062 =20052+32005+120062 =（2005+2006） （20052006）+32005+1 =2005； 故答案为：2005 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值解答此题的难点是化 “2005200620072008+1”为完全平方的形式， 并开平方， 然后再利 用平方差公式求出 2005220062= （2005+2006） （20052006） 的值 21设= 【分析】把已知条件的左边相乘得，这 样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式， 逐步变形，消去 x、y，即可求得 z 【解答】解：据条件式 第 20页（共 26页） 令=z， 则（1）式化为：z+xy+=9， 即有 9z=xy+， 平方得，8118z+z2=x2y2+（x2+1） （y2+4）+2xy（2） ， 又由 z2=x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy， 代入（2）得，8118z=4，所以 即=， 故答案为： 【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条 件求解 22若，则 x6+y6的值是40 【分析】根据题意可求出 x2+y2，x2y2，利用平方差公式可求得 x4 y4， （x2y2） （x4y4）=x6+y6x2y4y2x4，由此可得答案 【解答】解：由题意得：x2+y2=2+2=4，x2y2=2+（2） =2，x4y4=（x2+y2） （x2y2）=8， 又（x2y2） （x4y4）=x6+y6+x2y4+y2x4， 可得：x6+y6=32x2y2（x2+y2）=32+24=40 故答案为：40 【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练 运用平方差及完全平方公式 第 21页（共 26页） 23当时，的值为 【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果 计算即可 【解答】解：原式= ， ， =2005， x ， 原式= +x， =x， 当时，原式= 故答案为 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a （a0）的应用 24已知，则 k=1 【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=2，然后依次循 环即可求 k 的值 【解答】解：由原式可知=+24=2， 4+=+2， 第 22页（共 26页） 依此类推得：=+2， k=1 故答案为1 【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分 母有理化，那样会简便些 25当 1x2 时，经化简等于2 【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可 【解答】解：1x2， =+ =+1+1 =2 故答案为：2 【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成 完全平方式 26 计算=2010 【分析】因为= ，= ，=，可 发现 =1+ =1+1 ， =1+ =1+ ，依此类推再把 1+1 ， 第 23页（共 26页） 1+ 相加可得问题答案 【解答】解：原式= + +， =1+1 +1+ +1+ +1+ +1+， =2010+（1 + + +） ， =2010+（1） ， =2010 【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律 27已知 x=，那么+1 的值是2 【分析】先根据分母有理化得到 x=1，所以 x+1=，然后将代数 式化为含有（x+1）2的形式，把 x+1 的值代入求出代数式的值 【解答】解：x=1，x+1= 原式= （3x3+10 x2+5x+4） = （3x3+6x2+3