2019年高考数学一轮总复习 专题16 导数的综合应用与优化问题检测 文.doc

专题16导数的综合应用与优化问题本专题特别注意：1.导数与不等式证明2.极值点偏移问题3.导函数为0的替换作用4.导数与数列不等式的证明5.变形后求导6.讨论参数求参数7.与三角函数有关的含参数的求导问题8.构造函数问题9.恒成立求参数方法总结：1有关超越型不等式的证明、方程根的探究等问题，构造函数应用导数推理求解是有效方法之一，也是近几年高考压轴题的常见命题方法之一2利用导数解决生活中的优化问题的思路是：阅读审题引入建模解模回归实际3在解决生活中的优化问题时应注意：(1)实际问题的意义(2)建立函数模型后还应根据实际问题情境确定函数的定义域高考模拟：一、单选题1已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.2己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意，函数，得，得到函数的单调性与最大值，再又方程，解得或，结合图象，即可求解.详解：由题意，函数，可得，当时，所以函数单调递增，当时，所以函数单调递减，且，所以函数的最大值为，又方程，解得或，结合图象，可知只有一个实数解，要使得方程恰有三个不同的实数解，则，解得，故选C.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程等知识点的综合运用，把方程的解得个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想方法和数形结合思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.3已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C详解：由题意可得函数的定义域为，且.令得或，则函数在，上单调递增；令得，则函数在上单调递减.函数的图象如图所示：令，则的增减性与相同，.关于的方程有四个不等的实根有四个不等的实根，即在和上分别有根.令，则.，即故选C.点睛：本题考查的是有关已知函数零点个数有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合，求得相应的结果.4已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）A. B. C. -2 D. -1【答案】D【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，由可得结果.若，即，此时的零点为，显然符合题意；（i）若，即或，若在只有一个零点，则；（ii）若在只有两个零点，则，解得，即的最小值为，故选D.点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.5已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，讨论其性质可得的取值范围.详解：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，即其定义域为且，设 （且），则 则在上单调递增，在上单调递减，但且），故的值域为 ，设，则,此时 此时，函数在上单调递减，在上单调递增，由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，且当时，函数函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围为.故选C.点睛：本题考查利用导数眼函数零点问题，注意数形结合思想的应用，解题时注意函数的定义域，属难题6设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意，设g（x）=x2f（x），x0，求出导数，分析可得g（x）0，则函数g（x）在区间（，0）上为减函数，结合函数g（x）的定义域分析可得：原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案详解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x0，其导数g（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f（x）=x（2f（x）+xf（x），又由2f（x）+xf（x）x20，且x0，则g（x）0，则函数g（x）在区间（，0）上为减函数，（x+2018）2f（x+2018）4f（2）0（x+2018）2f（x+2018）（2）2f（2）g（x+2018）g（2），又由函数g（x）在区间（，0）上为减函数，则有，解可得：x2020，即不等式（x+2018）2f（x+2018）4f（2）0的解集为（，2020）；故选：B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等7已知，且，有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：构造函数，利用可得，结合可得，利用导数研究函数的单调性，由数形结合思想，列不等式求解即可详解：因为，所以，设，则，即，又因为， ，则在上为减函数，在上为增函数，曲线与都过点，当时，若有且仅有一个整数解，只能为，则，解之得，故选A.点睛：构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8在平面直角坐标系内，如果两点满足条件：都在函数的图象上；关于原点对称，则称是函数的一对“奇点”（奇点与看作是同一奇点）.已知函数恰有两对“奇点”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出的一段图象关于原点对称的函数解析式，令与的另一段图象有2个交点即可详解：当时，关于原点对称的函数为 恰有两对“奇点”，与恰好有两个交点，显然设与恰好有1条公共切线，切点为，则 ，解得 此时与轴交点为公切点当 ,即 时，有两对“奇点”故选C点睛：本题考查了函数交点个数的判断，考查对新定义的理解，属于中档题9已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（ ）A. 恒成立 B. 恒成立C. D. 当时，；当时，【答案】A【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立.点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x1时，g(x)0,x1时，g(x)0.10已知函数 ，当时，对于任意的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求得f（x）的导数，可得f（x）的单调性，令g（x）=f（x）f（1x），可得g（x）的单调性，以及g（x）+g（1x）=0，将原不等式转化，可得x11sin2恒成立，由正弦函数的值域即可得到所求范围详解：函数f（x）=e2018x+mx3m（m0），导数为f（x）=2018e2018x+3mx2，可得m0时，f（x）在R上递增，可令g（x）=f（x）f（1x），可得g（x）在R上递增，且g（x）+g（1x）=f（x）f（1x）+f（1x）f（x）=0，由f（x1）+f（sin2）f（x2）+f（cos2）成立，可得f（x1）f（x2）+f（sin2）f（cos2）0成立，即为f（x1）f（1x1）+f（sin2）f（1sin2）0，即g（x1）+g（sin2）0，可得g（x1）g（sin2）=g（1sin2），即有x11sin2恒成立，由于1sin2的最大值为1，可得x11，故选：D点睛：处理抽象不等式的常用方法：般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则11已知函数,曲线关于直线对称,现给出如结论：若,则存在，使；若，则不等式的解集为；若，且是曲线 的一条切线,则的取值范围是.其中正确结论的个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】由题意得过点，且所以，因此，若,则由，因此存在若，则，此时,图像如图所示，因此不等式 等价于，即不等式的解集为；若，且，如图，则是曲线的一条切线, 设切点为，则，因为，所以，由，所以，综上，正确结论的个数为3，选D.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.12已知函数，如果时，函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛：本题的解答过程是巧妙构造函数，先运用求导法则求出函数的导数，再运用分类整合思想分析推断不等式成立的条件，进而求得实数的取值范围，使得问题获解.13若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足： 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数, ,有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为-4；和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的个数有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】， ，在内单调递增，故正确；，设的隔离直线为，则对一切实数成立，即有，又对一切成立，则，即，即有且，同理可得，故正确，错误，函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令 ， ，当时， ；当时， ；当时， ；当时， 取到极小值，极小值是，也是最小值， ，则， 函数和存在唯一的隔离直线，故正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的.14定义在上的偶函数的导函数为，且当.则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意，设g（x）=x2f（x），其导数g（x）=（x2）f（x）+x2f（x）=2xf（x）+x2f（x）=x2f（x）+xf（x），又由当x0时，有2f（x）+xf（x）0成立，则数g（x）=x2f（x）+xf（x）0），则年总产值为4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）设f（）= sincos+cos，0，），则令，得=，当（0，）时，所以f（）为增函数；当（，）时，所以f（）为减函数，因此，当=时，f（）取到最大值答：当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.29记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0），得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为（3）对任意a0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得，令，则b0函数，则由f（x）与g（x）且f（x）与g（x），得，即（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.30已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.详解：（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.31设（）.(1求函数的单调区间；(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)先求导数，再根据a讨论导函数零点：当时，无零点，函数单调递增，当时，函数先增后减，(2)先化简不等式为，构造函数，转化为对应函数单调递减，即对应导数恒非正，即得最小值，最后再利用导数求函数最小值，即得结果.详解：解：（1）（）， 当时，恒成立， 在上单调递增；当时，由得， 在上单调递增，在上单调递减.（2） ， ， ，即在上为减函数， ，令， 当，单调递减， 当，单调递增， ， ， 的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.32已知函数，其中a 2.（I）讨论函数f(x)的单调性；（II）若对于任意的，恒有，求a的取值范围.【答案】（）见解析（）（2，5【解析】分析：（）确定函数的定义域，求导数后由可得增区间，由可得减区间（）原不等式可化为令，则得在上单调递增，故在上恒成立，解不等式可得所求范围详解：（I）由题意得函数f(x)的定义域为，令，得或， ，由，解得0xa-1，由，解得1x2 ，解得实数的取值范围是点睛：（1）注意函数的单调区间不能并在一起，若相同的单调区间有多个，中间应用“和”或“，”（2）函数在某一区间上单调递增（减）的问题，可转化为导函数在该区间上大于等于零（或小于等于零）处理，解题时注意不要忘了等号33已知函数，其中a 2.（I）讨论函数f(x)的单调性；（II）若对于任意的，恒有，求a的取值范围.（III）设，求证：.【答案】(1)f(x)的单调递增区间为，单调减区间为(1，a-1).(2)(2,5;(3)见解析.【解析】分析：（I）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（II）对任意的，恒有，等价于，令，即函数在上为增函数，恒成立，结合基本不等式，即可求实数的取值范围；（III） 由（I）可知当时，函数为减函数， ，由（II）知，即可证明结论. （II）设，则不等式等价于整理得， 令函数g(x)在x(0，+)上为增函数. ，恒成立 而 a2 ，即a的取值范围是（2，5. （III） 由（I）可知当时，函数f(x)为减函数，而那么 由（II）知即. 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.34已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为；（2）.【解析】分析：（1）求导可得，分和两种情况讨论可得函数的单调区间（2）由题意得，且在上恒成立，令，则，然后再根据的范围分类讨论可得所求范围详解：（1），当时，则，所以在上单调递增；当时，则由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题意得， 当时，函数的图象恒不在轴的上方，在上恒成立设，则.令，则，若，则，故在上单调递增，在上单调递增，从而，不符合题意若，当时，在上单调递增，在上单调递增，,从而在上，不符合题意；若，则在上恒成立，在上单调递减，在上单调递减，从而恒成立综上可得实数的取值范围是.点睛：（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论（2）利用函数的导数研究不等式的恒成立问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目35已知函数有两个极值点，（为自然对数的底数）.（）求实数的取值范围；（）求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：() 函数有两个极值点，只需有两个根，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象可得当时，没有极值点；当时，当时，有两个极值点；()由()知，为的两个实数根，在上单调递减，问题转化为，要证，只需证，即证，利用导数可得，从而可得结论.详解： ()，.设，则.令，解得.当时，；当时，.当时，函数单调递增，没有极值点；当时，且当时，；当时，.当时，有两个零点.不妨设，则.当函数有两个极值点时，的取值范围为. ()由()知，为的两个实数根，在上单调递减.下面先证，只需证.，得，.设，则，在上单调递减，.函数在上也单调递减，.要证，只需证，即证.设函数，则.设，则，在上单调递增，即.在上单调递增，.当时，则，. 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.36已知函数在点)处的切线方程是.(I)求的值及函数的最大值()若实数满足.()证明:;()若,证明:.【答案】(1) ； .(2)见解析.【解析】分析：第一问利用题中所给的条件，结合导数的几何意义以及切点应该在切线上，建立关于的等量关系式，解方程组求得的值，从而确定出函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而求导函数的最大值，第二问将问题转化，利用导数，构造函数，证得结果.详解：（）， 由题意有，解得 故，所以在为增函数，在为减函数 故有当时， （）证明：（），由（）知，所以，即. 又因为（过程略），所以，故. （）法一：由（1）知 法二：，构造函数，因为，所以，即当时，所以在为增函数，所以，即，故点睛：该题所考查的是有关导数的综合应用，首先是应用导数的几何意义以及切点在切线上，建立相应的等量关系式，求得参数的值，以确定函数的解析式，从而利用导数来研究函数的单调性，从而确定出函数的最值，之后在证明不等式的时候，利用导数研究函数并构造新函数求得结果.37已知函数.（1）若时，讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，可筛选出函数在区间上恰有2个零点的实数的取值范围.详解：（1） 当时，此时在单调递增； 当时，当时，恒成立，此时在单调递增；当时，令 在和上单调递增；在上单调递减； 综上：当时，在单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减； 点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个点是围绕导数的几何意义展开，；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力38（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值【答案】(1)500米.(2) 两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为. 【解析】分析: (1) 设，记，利用和角的正切得到t 的方程，解方程即得两索塔之间的距离AC=500米(2) 设AP=x，点P处的承重强度之和为.先求出，且，再利用导数求最小值.详解：（1）设，记，则 ， 由， 化简得 ，解