北师大版八年级数学下册第4周教学设计.doc

第四周 第一课时 2.2.2 提公因式法（二）教学目标：（一）教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力训练要求 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式.教学方法 类比学习法教学过程：.创设问题情境,引入新课 上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.新课讲解 一、例题讲解 例2把a（x3）+2b（x3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x3）与2b（x3），每项中都含有（x3）,因此可以把（x3）作为公因式提出来.解：a（x3）+2b（x3）=（x3）（a+2b）从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？不是，是两个多项式的乘积.例3把下列各式分解因式:（1）a（xy）+b（yx）; （2）6（mn）312（nm）2.分析：虽然a（xy）与b（yx）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（xy）与（yx）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如yx=（xy）.（mn）3与（nm）2也是如此.解：（1）a（xy）+b（yx）=a（xy）b（xy）=（xy）（ab）（2）6（mn）312（nm）2=6（mn）312（mn）2=6（mn）312（mn）2 =6（mn）2（mn2）二、做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立:（1）2a=_（a2）;（2）yx=_（xy）;（3）b+a=_（a+b）; （4）（ba）2=_（ab）2;（5）mn=_（m+n）; （6）s2+t2=_（s2t2）.课堂练习 补充练习 把下列各式分解因式解：1 .5（xy）3+10（yx）2=5（xy）3+10（xy）2=5（xy）2（xy）+2=5（xy）2（xy+2）;2. m（ab）n（ba）=m（ab）+n（ab）=（ab）（m+n）;3. m（mn）+n（nm）=m（mn）n（mn） =（mn）（mn）=（mn）2;4. m（mn）（pq）n（nm）（pq）= m（mn）（pq）+n（mn）（pq）=（mn）（pq）（m +n）;5.（ba）2+a（ab）+b（ba）=（ba）2a（ba）+b（ba）=（ba）（ba）a+b=（ba）（baa+b）=（ba）（2b2a）=2（ba）（ba）=2（ba）2.课时小结 本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.课后作业 习题2.3 .活动与探究一、把（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）分解因式.二、把下列各式分解因式： 1 .a（xy）b（yx）+c（xy）; 2 .x2y3xy2+y3; 3 .2（xy）2+3（yx）; 4. 5（mn）2+2（nm）3. 教学反思：第二课时 2.3.1 运用公式法（一）教学目标：（一）教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.教学重点： 让学生掌握运用平方差公式分解因式. 教学方法： 引导自学法教学难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步分解因式的能力.教学过程：.创设问题情境,引入新课 在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法公式法.新课讲解 1.请看乘法公式（a+b）（ab）=a2b2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2b2=（a+b）（ab）（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？符合因式分解的定义，因此是因式分解 对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解 请大家观察式子a2b2,找出它的特点. 是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. 如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x216=（x）242=（x+4）（x4）. 9 m 24n2=（3 m ）2（2n）2=（3 m +2n）（3 m 2n）3.例题讲解例1把下列各式分解因式： （1）2516x2; （2）9a2b2.解：（1）2516x2=52（4x）2 =（5+4x）（54x）; （2）9a2 b2=（3a）2（b）2=（3a+b）（3ab）例2把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2（mn）2; （2）2x38x.解：（1）9（m +n）2（mn）2=3（m +n）2（mn）2=3（m +n）+（mn）3（m +n）（mn）=（3 m +3n+ mn）（3 m +3nm +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n） （2）2x38x=2x（x24）=2x（x+2）（x2）说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题：判断下列分解因式是否正确 （1）（a+b）2c2=a2+2ab+b2c2. （2）a41=（a2）21=（a2+1）（a21）.解：（1）不正确. 本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确. 错误原因是因式分解不到底，因为a21还能继续分解成（a+1）（a1）.应为a41=（a2+1）（a21）=（a2+1）（a+1）（a1）.课堂练习：（二）补充练习 把下列各式分解因式 （1）36（x+y）249（xy）2;（2）（x1）+b2（1x）;（3）（x2+x+1）21.课时小结 我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.活动与探究 把（a+b+c）（bc+ca+ab）abc分解因式解：（a+b+c）（bc+ca+ab）abc=a+（b+c）bc+a（b+c）abc=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c）a2+bc+a（b+c）=（b+c）a2+bc+ab+ac=（b+c）a（a+b）+c（a+b）=（b+c）（a+b）（a+c）把下列各式分解因式：（1）49x2121y2; （2）25a2+16b2;（3）144a2b20.81c2; （4）36x2+y2（5）（ab）21;（6）9x2（2y+z）2;（7）（2mn）2（m2n）2;（8）49（2a3b）29（a+b）2. 教后反思：第三课时 2.3.2 运用公式法（二）教学目标：（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.教学重点： 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. 教学方法： 观察发现运用法教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教学过程.创设问题情境，引入新课师我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（ab）=a2b2而且还学习了完全平方公式（ab）2=a22ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.新课：1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？可以将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2; a22ab+b2=（ab）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 形如a2+2ab+b2或a22ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.练一练：下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+2ab+b2;（4）a2ab+b2; （5）x26x9; （6）a2+a+0.25.判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.2.例题讲解例1把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49; （2）（m+n）26（m +n）+9.分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+27x+72=（x+7）2（2）（m +n）26（m +n）+9=（m +n）22（m +n）3+32=（m +n）32=（m +n3）2.例2把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）x24y2+4xy.分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“”号，然后再用完全平方公式分解因式. 补充练习 把下列各式分解因式：（1）4a24ab+b2; （2）a2b2+8abc+16c2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9 （4）+n2; （5）4（2a+b）212（2a+b）+9;（6）x2yx4.课时小结 这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.活动与探究 写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：含字母a和b；三项式；可提公因式后，再用公式法分解.把下列各式分解因式 1.4xy4x2y2; 2.3ab2+6a2b+3a3; 3.（s+t）210（s+t）+25; 4.0.25a2b2abc+c2; 5.x2y6xy+9y; 6.2x3y216x2y+32x; 7.16x5+8x3y2+xy4 教后反思：第四课时 2.4 回顾与思考教学目标：（一）教学知识点1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.2.熟悉本章的知识结构图.（二）能力训练要求 通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.教学重点：复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. 教学难点：用分解因式进行计算及讨论.教学过程：.创设问题情境,引入新课：前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.新课讲解（一）讨论推导本章知识结构图 请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢? （二）重点知识讲解 下面请大家把重点知识回顾一下 1.举例说明什么是分解因式.如15x3y2+5x2y20x2y3=5x2y（3xy+14y2） 把多项式15x3y2+5x2y20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+14y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y20x2y3分解因式.学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.2.分解因式与整式乘法有什么关系? 分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c） 从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.3.分解因式常用的方法有哪些? 提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c） a2b2=（a+b）（ab） 2ab+b2=（ab）24.例题讲解 例1下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由. （1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2 （2）6x2y3=3xy2xy2 （3）（3x2）（2x+1）=6x2x2 （4）4ab+2ac=2a（2b+c）分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是例2将下列各式分解因式.（1）8a4b34a3b4+2a2b5;（2）9ab+18a2b227a3b3;（3）x2;（4）9（x+y）24（xy）2; （5）x425x2y2; （6）4x220xy+25y2;（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.例3把下列各式分解因式:（1）x7y3x3y3; （2）16x472x2y2+81y4;从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?分解因式一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.课时小结 1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解. 2.利用因式分解简化某些计算. .课后作业 复习题 A组.活动与探究：求满足4x29y2=31的正整数解.分析:因为4x29y2可分解为（2x+3y）（2x3y）（x、y为正整数），而31为质数. 所以有或解：4x29y2=31 （2x+3y）（2x3y）=131或 解得或因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5.教后反思：第五课时 2.4 检测教学目标：（一）教学知识点1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解