三角函数教案

1 / 10 三角函数教案 二、复习要求 1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念 ; 2、三角公式 ,包括诱导公式 ,同角三角函数关系式和差倍半公式等 ; 3、三角函数的图象及性质。 三、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度 ,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于 3600 的角。这样一来 ,在直角坐标系中 ,当角的终边确定时 ,其大小不一定 (通常把角的始边放在 x轴正半轴上 ,角的顶点与原点重合 ,下同 )。为了把握这些角之间的联系 ,引进终边相同的角的概念 ,凡是与终边 相同的角 ,都可以表示成 k3600 的形式 ,特例 ,终边在 x 轴上的角集合 |=k1800,kZ, 终边在 y 轴上的角集合|=k1800900,kZ, 终边在坐标轴上的角的集合|=k900,kZ 。 在已知三角函数值的大小求角的大小时 ,通常先确定角的终边位置 ,然后再确定大小。 弧度制是角的度量的重要表示法 ,能正确地进行弧度与角度的换算 ,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下 ,扇形弧长公式l=|R, 扇形面积公式 ,其中 为弧所对圆心角的弧度数。 2、利用直角坐标系 ,可以把直角三角形中的三角函数推广到2 / 10 任意角的三角数。三角函数定义是本章重点 ,从它 可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。 设 P(x,y)是角 终边上任一点 (与原点不重合 ),记 ,则 ,。 利用三角函数定义 ,可以得到 (1)诱导公式 :即与 之间函数值关系 (kZ), 其规律是 奇变偶不变 ,符号看象限 ;(2)同角三角函数关系式 :平方关系 ,倒数关系 ,商数关系。 3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式 ,诱导公式是和差公式的特例 ,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式 :cos2=2cos2 -1=1-2sin2, 变形后得 ,可以作为降幂公式使用。 三角变换公式除用来化简三角函数式外 ,还为研究三角函数图象及性质做准备。 4、三角函数的性质除了一般函数通性外 ,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义 :设 T 为非零常数 ,若对f(x)定义域中的每一个 x,均有 f(xT)=f(x),则称 T 为 f(x)的周期。当 T 为 f(x)周期时 ,kT(kZ,k0) 也为 f(x)周期。 三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法 ,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。 5、本章思想方法 (1)等价变换。熟练运用公式对问题进行转化 ,化归为熟悉的基本问题 ; 3 / 10 (2)数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题 ; (3)分类讨论。 四、典型例题 例 1、已知函数 f(x)= (1)求它的定义域和值域 ; (2)求它的单调区间 ; (3)判断它的奇偶性 ; (4)判断它的周期性。 分析 : (1)x 必须满足 sinx-cosx0,利用单位圆中的三角函数线及 ,kZ 函数定义域为 ,kZ 当 x 时 , 函数值域为 ) (3)f(x) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x) 不具备奇偶性 (4)f(x2 )=f(x) 函数 f(x)最小正周期为 2 4 / 10 注 ;利用单位圆中的三角函数线可知 ,以 、 象限角平分线为标准 ,可区分 sinx-cosx的符号 ; 以 、 象限角平分线为标准 ,可区分 sinxcosx 的符号 ,如图。 例 2、化简 ,(,2) 分析 : 凑根号下为完全平方式 ,化无理式为有理式 原式 = (,2) 当时 , 原式 = 当时 , 原式 = 原式 = 注 : 1、本题利用了 1的逆代技巧 ,即化 1 为 ,是欲擒故纵原则。一般地有 ,。 2、三角函数式 asinxbcosx 是基本三角函数式之一 ,引进辅助角 ,将它化为 (取 )是常用变形手段。特别是与特殊角有关5 / 10 的 sincosx,sinxcosx, 要熟练掌握变形结论。 例 3、求。 分析 : 原式 = 注 :在化简三角函数式过程中 ,除利用三角变换公式 ,还需用到代数变形公式 ,如本题平方差公式。 例 4、已知 00900, 且 sin,sin 是方程=0的两个实数根 ,求 sin( -5) 的值。 分析 : 由韦达定理得 sinsin=cos400,sinsin=cos2400 - sin -sin= 又 sinsin=cos400 00900 sin( -5)=sin600= 注 :利用韦达定理变形寻找与 sin,sin 相关的方程组 ,在求出 sin,sin 后再利用单调性求 , 的值。 例 5、 (1)已知 cos(2)5cos=0, 求 tan()tan的值 ; (2)已知 ,求的值。 分析 : 6 / 10 (1)从变换角的差异着手。 2=(),=() - 8cos()5cos() -=0 展开得 : 13cos()cos -3sin()sin=0 同除以 cos()cos 得 :tan()tan= (2)以三角函数结构特点出发 tan=2 注 ;齐次式是三角函数式中的基本式 ,其处理方法是化切或降幂。 例 6、已知函数 (a(0,1), 求 f(x)的最值 ,并讨论周期性 ,奇偶性 ,单调性。 分析 : 对三角函数式降幂 f(x)= 令 则 y=au 0a0,0), 在一个周期内 ,当 x=时 ,ymax=2;当 x=时 ,ymin=-2,则此函数解析式为 8 / 10 A、 B、 c、 D、 4、已知 =1998,则的值为 A、 1997B、 1998c、 1999D、 2000 5、已知 tan,tan 是方程两根 ,且 , 则 等于 A、 B、或 c、或 D、 6、若 ,则 sinxsiny 的最小值为 A、 -1B、 -c、 D、 7、函数 f(x)=3sin(x100)5sin(x700)的最大值是 A、 7D、 8 8 、若 (0,2, 则使sincoscot, 则 sinsin B、函数 y=sinxcotx 的单调区间是 ,kZ c、函数的最小正周期是 2 D、函数 y=sinxcos2 -cosxsin2x 的图象关于 y 轴对称 ,则 ,kZ 10、函数的单调减区间是 A、 B、 B、 D、 kZ 9 / 10 (二 )填空题 11、函数 f(x)=sin(x)cos(x -) 的图象关于 y 轴对称 ,则=_ 。 12、已知 =, 且 (tantanc)tan=0(c 为常数 ),那么tan=_ 。 13、函数 y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为 _。 14、已知 (x-1)2(y-1)2=1,则 xy的最大值为 _。 15、函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心是 _。 (三 )解答题 16、已知 tan( -)=,tan=,( -,0), 求 2 -的值。 17、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2xacosx 在闭区间 0,上的最大值是 1?若存在 ,求出对应的 a 值。 18、已知 f(x)=5sinxcosx-cos2x(xR) (1)求 f(x)的最小正周期 ; (2)求 f(x)单调区间 ; (3)求 f(x)图象的对称轴 ,对称中心。 参考答案 (一 )