2020版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第3节 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版.pptVIP

第3节等比数列及其前n项和,考试要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.,知识梳理,1.等比数列的概念,同一个,q,等比中项,2.等比数列的通项公式及前n项和公式,a1qn1,3.等比数列的性质,已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akal_.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为_.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为_.,aman,qm,qn,微点提醒,2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.,基础自测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),解析(1)在等比数列中，q0.(2)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a1时，Snna.(4)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4),答案D,3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327，27381.答案27，81,4.(2019天津和平区质检)已知等比数列an满足a11，a3a54(a41)，则a7的值为(),答案B,答案D,6.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.,答案6,考点一等比数列基本量的运算,【例1】(1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.,解析(1)由an为等比数列，设公比为q.,显然q1，a10，,所以a4a1q31(2)38.,(2)设数列an首项为a1，公比为q(q1)，,答案(1)8(2)32,【训练1】(1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4(),解析(1)设数列an的公比为q(q0)，,答案(1)D(2)1,考点二等比数列的判定与证明【例2】已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.,由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，,解得1.,规律方法1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.,【训练2】(2019广东省级名校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.,(1)证明因为anSnSn1(n2)，所以Sn2(SnSn1)n4(n2)，则Sn2Sn1n4(n2)，所以Snn22Sn1(n1)2(n2)，又由题意知a12a13，所以a13，则S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2等比数列.,(2)解由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n,考点三等比数列的性质及应用【例3】(1)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A.12B.10C.8D.2log35(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A.40B.60C.32D.50,解析(1)由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510.(2)数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163260.答案(1)B(2)B,规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.,【训练3】(1)(2019菏泽质检)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是(),解析(1)根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50，,(2)法一由等比数列的性质S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得S63S3，,思维升华1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q1和q1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.易错防范1.特别注意q1时，Snna1这一特殊情况.2.Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1时且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.,数学运算等差(比)数列性质的应用,1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.,类型1等差数列两个性质的应用,在等差数列an中，Sn为an的前n项和：(1)S2n1(2n1)an；(2)设an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd.,显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.,答案(1)10(2)5,类型2等比数列两个性质的应用,在等比数列an中，(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则anamapaq；(2)当公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).,【例2】(1)等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于(),解析(1)数列lgan的前8项和S8lga1lga2lga8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a