《工程随机数学》PPT课件.ppt

工程随机数学,赵正予2011.9,课程内容,一、概率论Ch1Ch5二、数理统计Ch6Ch9三、随机过程Ch10Ch14,课程内容介绍,概率论是整个随机理论的基础，首先研究随机现象最基本的规律性，其次给出刻画随机变量的方法，进而研究随机变量的取值规律性，包括在某些假设下进一步研究随机变量的各种规律性。对于多个或有限个随机变量，还要研究变量之间在随机取值规律性的依赖关系。,数理统计以概率论为基础，通过观测试验数据，根据建筑在概率论基础上原理对随机数据进行推断或预测，包括如何有效地收集、整理和分析数据，如何应用这些数据进行统计推断和预测估计。概率论是数理统计学基础，数理统计学是概率论的应用,课程内容介绍,课程内容介绍,随机过程可称为概率论的动力学部分，它把有限或无限多个随机变量与参数T联系在一起，突出了随机性和过程性。作为随时间变化的随机变量，随机过程广泛存在于社会科学、自然科学、管理科学的各个领域中，有着重要的应用前景。,本课程与后续课程的关系,现代数字信号处理随机信号分析信息论误差分析方法通信原理无线电波传播。,应用,信号谱估计、高阶矩谱分析、双谱分析等无线电波在随机介质中的传播日地空间物理雷达信号处理无线通信理论随机信号处理信号与信息的统计建模误差分析、可靠性估计时间序列分析。,本门课程ABC,起源于赌博博弈16世纪意大利学者卡丹诺开始研究掷骰子等赌博问题17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合方法，研究了较复杂的赌博问题合理分配赌金问题论赌博中的数学（1657）、概率论的分析理论（1812）、统计学数学方法（1946）奠基人：瑞士数学家J.伯努利、拉普拉斯、泊松、高斯等20世纪30年代，苏联人科尔莫格洛夫创建概率的公理化体系，正式作为一个数学分支,名人名言,法国数学家Laplace：“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.”,Ch1、随机事件与概率,1随机事件及其运算内容：引入概率论的基本概念：随机现象、随机试验、随机事件、样本空间、事件的关系及运算,一、随机现象,1确定性现象：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，并且在一定条件下，它必然发生或不发生，遵从严格的因果关系。2不确定性现象：包括：随机现象、模糊数学、浑沌数学,一、随机现象,（1）随机现象：随机性：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，但条件与事件的发生之间没有决定性的因果关系；统计规律性：指在大量同类随机现象中所呈现的一种具有集体性质的必然规律统计规律；客观性：其发生的可能性大小却是可以用数量关系精确地描述，是客观存在的。,一、随机现象,基本定义：在个别实验中呈现出不确定性，但在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象就成为随机现象。,一、随机现象,（2）模糊现象：事物概念没有明确的外延、模糊不清，从而造成事物分类归属上的不确定性模糊性。,二、随机试验,对某事物特征进行观察,统称试验：可重复性试验在相同条件下可重复进行，它是随机现象具有统计规律性的客观依据。随机性进行一次试验前不可能事先确定哪个结果会发生，否则就无意义了。完备性尽管事先不能明确试验结果（或各次试验的结果不尽相同），但能事先明确试验的所有可能结果。具有上述三个特征的试验称为随机试验，记为E。,二、随机试验,注意：随机试验是相对于确定性试验而言，指一个试验可以在相同条件下重复进行，且每次试验结果不能事先确定；并非指“试验的结果都具有同等发生的可能性”，仅指都有可能发生，但有的发生的机率大，有的小，这个几率就是概率；有的具有等可能性，如掷硬币，有的不具有，如射击中靶的环数；若E是由一系列试验依次各做一次所组成，则称为复合试验。,三、随机事件,随机事件表示：在随机试验中，对一次试验可能发生或不发生、但在大量重复试验中具有某种规律性的事情随机事件。随机事件常用A、B、c等表示随机事件又可分为：基本事件、复合事件、绝对型事件。,三、随机事件,基本事件：不能再分或不必再分的随机事件。复合事件：由多个基本事件组成的事件。绝对型事件：为了描述绝对型现象（确定性现象）而引入：必然事件（S）、不可能事件（）,三、随机事件,基本事件的三个重要特征：（1）等可能性：在每次试验中，每个基本事件发生的可能性相等；（2）互不相容性：在一次试验中，只可能发生基本事件中的一个，即任意2个基本事件不会同时在在一次试验中发生；（3）完备性：在一次试验中，所有基本事件中必有一个会发生。,四、样本空间,在一次试验中所有基本事件的集合称为该随机试验的样本空间，记为。故基本事件又称为样本点，记为，即是全体样本点的集合，也即是随机试验所有可能结果的集合。,四、样本空间,袋中摸球：E为判断颜色1=黑，2=白，则1=1，2可列、可数、有限样本空间打靶：E为判断中靶否击中=“+”，脱靶=“”则2=+，-+，-+，-+不可列、无限交换台在10分钟内收到的呼唤次数：E为判断次数，3=0，1，2，3，可列、离散,四、样本空间,注意：（1）由E决定，不同的E有不同的。关键在于基本事件的选择（2）可以概括各种实际内容大不相同的问题，如1=1，2胜负、正反等（3）可以是可数集，亦可谓不可数集这对随机过程、极限定理等问题的讨论很重要！,归纳,随机现象随机试验包含许多可能结果（随机事件）基本事件的集合（样本空间）,五、事件之间的关系与运算,目的：通过研究事件之间的关系与运算，把某些复杂事件表示为若干简单事件的积、差、和，达到化繁为简，从而可利用简单事件的概率求解复杂事件的概率。（一）事件之间的关系（二）事件的运算设：E随机试验，样本空间，A，B，Ak随机事件（k=1，2，3）,五、事件之间的关系与运算,（一）事件之间的关系基本关系：等价、包含、互斥、互逆（1）包含若A的发生必然导致B发生，即A是B的子集，或A包含于B中。对任意事件有：（2）等价若A发生B必然发生，反之，若B发生A必然发生，A=B,五、事件之间的关系与运算,（3）和（并）A与B中至少有一个发生，记：三种情况：或A发生；或B发生；或A，B都发生。即C包含了属于A和B的全体样本点。当BA时，AB=B，由此类推：,五、事件之间的关系与运算,和事件可推广N个事件的和事件，N可有限或可列无穷多个有限可加性可列可加性如：“故障不超过十次”（B）=“0次”（A1）“1次”（A2）“10次”（A11）这11个事件之和。,五、事件之间的关系与运算,（4）积（交）A与B同时发生记为：C=AB，或C=ABC只包含了既属于A，又属于B的那些样本点。有限可积性可列可积性,显然，当B,A时，A,B=A，由此类推：,对任意事件总有：,五、事件之间的关系与运算,（5）互斥（互不相容）若A与B不可能同时发生，则称A，B互斥（互不相容）记为：AB=（积事件）三种情况：A发生但B不发生；B发生但A不发生；A，B都不发生。,A,B,S,五、事件之间的关系与运算,注意：“等价”同发或同不发；“积”同发，“互斥”不同发基本事件一定互斥，任一事件（包括必然事件）与不可能事件互斥两事件互斥时，AB可写为A+B互斥并不意味着A，B互不相干，实际上是有关的。即相互独立互斥。AB=，指其中一个发，另一个必不发；若一组事件中，A1，A2，A3Ak中任意两个互斥，则称这组事件两两互斥,五、事件之间的关系与运算,（6）互逆（对立）若，S=AB，且AB=，则A，B对立（互逆），并称A是B的逆事件，记，反之亦然。条件1：A，B构成一个完备事件组条件2：A，B互斥对立只适于描述两个事件之间的关系，互斥只是对立的必要条件，而非充分条件,A,S,五、事件之间的关系与运算,互斥与对立的区别1）两事件对立必互斥，但互斥不一定对立2）相互独立互逆3）互逆只适于两个事件，互斥则可多个事件4）“AB都发生”与“A，B都不发生”并非对立事件，相反，“AB都发生”与“A，B不都发生”是对立事件。5）对任意事件，有,五、事件之间的关系与运算,（7）差若A发生但B不发生，记为C=A-B由于B不发生，其对立事件一定发生，所以：A-B=,A,B,S,A,B,如A=直径合格，B=长度合格，则C=直径合格，但长度不合格=A-B,五、事件之间的关系与运算,若A1、A2，.An两两互斥，且则称，A1、A2，.An为的一个划分,（8）完备事件组,五、事件之间的关系与运算,（二）事件的运算1交换律：2结合律：3分配律：4重迭律：5互逆律：,五、事件之间的关系与运算,6吸收律：A=，A=A；A=A，A=7差化积：8吸收律：和之逆=逆之积至少发生一个的对立事件为都不发生：积之逆=逆之和都发生的对立事件为不都发生,五、事件之间的关系与运算,例1：计算：（A-AB）+B=？：AAB=AB，（AB）+B=A+B和（差）的运算时不能通过去括号、移项来处理的。,五、事件之间的关系与运算,例2：证明：解：A+B包括：A发B不发，B发A不发，A，B都发由分配律：但不能由此得出：因为和（差）不能去括号处理,2随机事件的概率及其运算,简单定义：刻画事件发生可能性大小的数量指标，称作为随机事件的概率P。P应具有客观性、可度量性一、古典概型（等可能概型）二、几何概型三、概率的统计定义,2随机事件的概率及其运算,一、古典概型（等可能概型）（一）模型与计算公式试验的可能结果有限，即样本空间所含样本点（基本事件）有限，且这有限个事件两两互不相容有限性各基本事件发生的可能性相同，即机会均等等可能性,一、古典概型（等可能概型）,设有一随机试验E发生，其基本事件总数有限，记为n，且等可能性发生。设事件A包含了k个基本事件（kn），则定义事件A发生的概率为,一、古典概型（等可能概型）,用古典概型计算概率要注意：弄清E（判断有限性和等可能性）根据试验目的，构建样本空间（求出基本事件总数n）考察所关心的事件A（求出A所包含的基本事件个数k）利用定义式计算（求P（A）关键：基本事件数目的计算做到不遗漏、不重复常用方法：乘法定理（串联）、加法定理（并联），排列与组合（注意区分有序或无序排列，重复与不重复排列、有放回和无放回抽样）。,一、古典概型（等可能概型）,例如：（1）2个人入座3个座位：一个人不能同时座2个座位，一个座位也不能同时座2个人，故问题属于不重复排列问题，其座法为（2）2封信投入3个信箱：虽然一封信不能同时投入2个信箱，但1个信箱可同时容纳多封信，故属于可重复排列问题，其投法为32。注意区分底数n和指数m。,一、古典概型（等可能概型）,例1:设甲类设备有8套，乙类设备有6套，一次雷击毁坏了3套，问这3套是同一类设备的概率解：E：毁坏了3套设备则14套中3套被毁的基本事件数为：A=毁坏的为同类设备毁坏的均为甲类的基本事件数：均为乙类的基本事件数：所以：,一、古典概型（等可能概型）,例2：摸球问题袋中有a个黑球，b个白球，无放回依次抽，摸k次，求第k（ka+b）次摸到黑球概率。解：考察E：从a+b个球中依次摸k次。由于要求把k个球一个一个摸出来，第k次摸到黑球，并且是无放回，因此考虑摸球的顺序，故属于无重复排列，基本事件总数应为：,一、古典概型（等可能概型）,也可在摸球时暂不考虑顺序，而在取出后再考虑顺序。则第一步为不可重复组合（由于无放回），有种取法；第二步将取出的k个球进行全排列，有K！中排法。再由乘法定理，基本事件总数为考察A：A=第k次摸到黑球第一步：从a个黑球中任取一个放到第k个位置上，属于任意不重复排列，有种取法；第二步：从余下的个球中任取个球排列到前面的位置上，有种取法；,一、古典概型（等可能概型）,第三步：由乘法定理，A所含基本事件总数为第四步：利用定义式求P（A）,一、古典概型（等可能概型）,例3：将n个人等可能地分配到N个房间中（nN）中每一间，求下列事件概率事件A：A=某指定的n间房中各有一人事件B：B=恰有n间房各有一人事件C：C=某指定房中恰有m个人（mn）事件D：D=余下N-1间房中各有一人,一、古典概型（等可能概型）,E：由于没有限定每间可住多少人，属于任意可重复排列数问题，故基本事件为：事件A：A=某指定的n间房中各有一人解：n个人等可能地分配到n间房，保证每房一人，则第一人有n中选择，第二人有n-1种选择，类推，A包含的基本事件数为A=n！（全排列）,一、古典概型（等可能概型）,事件B：B=恰有n间房各有一人解：恰有n间房，表示要在N间房中选取，故属于不重复组合问题，再加上各有一人的条件，故事件C：C=某指定房中恰有m个人（mn）解：首先从n个人中找出m个人放在指定房间中，有种余下的n-m个人等可能地分到N-1间房中，有种分法，由乘法定理,一、古典概型（等可能概型）,事件D：若D=余下N-1间房中各有一人,例4将15名新生随机地平均分配到3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。问：(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为：,一、古典概型（等可能概型）,(1)将3名优秀生分配到3个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有3!种。其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有,每个班各分配到一名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为：,三名优秀生分配在同一班级内,其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名,(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率为：,例5某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？,解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为:212/712=0.0000003，即千万分之三。,一、古典概型（等可能概型）,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,一、古典概型（等可能概型）,一、古典概型（等可能概型）,（二）古典概型的性质根据定义，对任意事件A有（1）非负性（2）归一性（3）若A1，A2，A3两两互不相容，则，有限可加性即和的概率等于概率之和：,二、几何概型,（一）定义及计算方法有一个可度量的几何图形S：试验E可看成在S中随机地投掷一点M，M的每个落点就是一个样本点，因此S中有无穷多个样本点（试验结果）。S即为样本空间，而事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中。事件A的概率与A的度量L（A）成正比，即,二、几何概型,例：约会问题甲乙相约9-10点见面，约定先来者等20分钟过时即走，问见面机会多少？解：二人均可能在此段时间（60分）内的任意时刻到达。设，甲、乙到达时间分别为X、Y（分钟），则有，,将（X，Y）看作平面直角坐标系的一点，则所有基本事件总数为6060（分钟）,二、几何概型,设，事件A=两人见面（1）甲先到（X0，如,二、乘法公式,例1：一批产品100个，10%次品率，接连两次无放回抽取，求第二次才取到正品概率。解：A=第一次次品，B=第二次正品，C=第二次才取到正品因为：C的发生要求A，B同时发生，而不是A发生后要求B发生所以：,二、乘法公式,例2：设甲地10条线路，在t时间内平均有100人用，乙地也有10条，在t时间内平均有50个当地人用。在甲地打不了电话的人中有20人到乙地去打。问，任一个在甲地打电话的人，在甲地打不通，且到乙地也打不通电话的概率。解：A=在甲地打不通，B=由甲地转到乙地，C=在乙地也打不通求P（ABC）,二、乘法公式,则：，P（B/A）=0.2，而在t时间内由甲地转到乙地的人数为：（100-10）0.2=18在甲地打不通，转到乙地后打通电话的概率：所以：故：,（三）全概率公式,目的：计算一类较复杂事件的概率意义：根据先验知识，推算结果发生可能性方法：借助于其它事件组，将这类随机事件分解为若干较简单的事件，把这些简单事件的概率综合起来。即：全概率公式=加法和乘法公式定理：设A1，A2，An构成一个互不相容的完备事件组，即A1+A2+An=S，AiAj=，且P（Ai）0，则对任意事件B，有,（三）全概率公式,全概率公式的证明B=BS=B（A1+A2+A3+An）=BA1+BA2+BA3+BAn完备事件组由加法公式和互不相容性：P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BAn）（I）由乘法公式：（II）,（I）中包括了所有可能导致事件发生的可能性（II）指明了其中任一可能与事件发生的关系的概率,（三）全概率公式,注意：即使不是完备群，但一定要能盖住B，使B当且仅当A1，A2，An，中某一事件出现时才发生；直观意义：对一个试验，某一结果的发生可能有多种原因，每一原因都对这一结果的发生作出一定贡献。不要把全概公式作为一个计算公式来理解，以为只要有和和积，就可用全概公式，它是其意义的。Ai是导致试验结果的原因，P（Ai）则是各种原因发生的概率，称为先验概率，是试验前对各种原因的认识，B是结果由因导果,（三）全概率公式,例1：去某地出差，乘飞机、船、汽车、火车的概率分别为3/10，1/5，1/10和2/5，而乘这些交通工具迟到的概率分别1/4，1/3，1/12，0，求此人迟到的概率。解：设Ai（i=1，2，3，4）表示乘飞机、船、汽车、火车B：迟到由题设：P(A1)=3/10，P(A2)=1/5，P(A3)=1/10，P(A4)=4/10P（B/A1）=1/4，P（B/A2）=1/3，P（B/A3）=1/12，P（B/A4）=0,（三）全概率公式,例2：五个球分别标1，2，3，4，5，无放回抽两次，一次一球，求已知第一次取到偶数球，第二次取到奇数球的P第二次才取到奇数球的P第二次取到奇数球的P解：设A=第一次取到奇数球，B=第二次取到奇数球，=第一次取到偶数球,（三）全概率公式,（1）求的是：发生条件下，B的概率条件概率（2）第二次才取到奇数球意味着第一次应取到偶数球，两者同时发生乘法公式（3）由于B包括了第一次取到奇数球或偶数球两种情况全概率公式,（四）贝叶斯公式,全概公式根据对各原因Ai的认识或已知知识，推断结果B发生可能性大小由因导果若结果B在一次试验中果然出现了，则有必要反过来估计它是由各种原因Ai造成的可能性大小，并从中比较，判别哪种原因可能性最大执果导因若：事件B能且仅能与两两环不相容的事件A1、A2，An，中之一事件同时发生，即则由条件概率和乘法定理，可知,（四）贝叶斯公式,例1：用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌，已知且：P（D）=0.0004现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,例1（续）,解：由已知，得,所以，由Bayes公式，得,（四）贝叶斯公式,（四）贝叶斯公式,3.独立性,一、两个事件的独立性一般讲，若要两者相等，则意味着即A的发生对B是否发生不产生任何影响，或不提供任何信息。习惯上称“无关”，数学上称“独立”，如产品有放回抽样。定义：若P（AB）=P（A）P（B）成立，则事件A，B是相互独立的随机事件。,3.独立性,注：定义虽有，但用其判断事件独立性往往较难，且不必要。许多实际问题本身给出的条件就能显示独立性。实际上，数学独立性与物理工程上的独立性是一致的；独立性与互斥有区别，二者间无必然联系；独立A发生与否不影响B发生的概率，关键要把握定义，以定义为准；互斥AB=，说明A，B间有联系（三种情况）互斥：和的概率=概率之和；独立：积的概率=概率之积,3.独立性,设P（A）0，P（B）0（1）若A，B互斥，则A，B独立因为：互斥AB=，则P（B/A）=P（AB）/P（A）=0/P（A）=0P（B），即，所以，A，B不独立；（2）若A，B独立，则A，B不互斥只有在P（A）或P（B）至少有一个为零，才可能同时独立与互斥（3）A，B不独立，并不能导致A，B不互斥（4）既不独立又不互斥的事件组是存在的,3.独立性,事件的独立性不具有传递性即，若A，B独立，且B，C独立，但不能推出A，C独立;即，两两相互独立不能忽略任一等式由事件的独立性可直接推出下列命题1）必然事件与任意事件A相互独立P（AS）=P（A/S）P（S）=P（A）P（S）2）不可能事件与任意事件A相互独立3）若A，B独立，则也独立推广成定理：4对事件，有一对对立，其余3对亦独立。,3.独立性,二、多个事件的独立性定义：对A，B，C三事件，若下列各事件同时成立，则A，B，C为相互独立事件。P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）上式：三事件两两独立必要条件下式：A，B，C中任一个事件与其它事件的积相互独立充分条件,注意：,(1)多个事件相互独立与多个事件两两相互独立并非一回事，两两独立并不能保证它们是相互独立的，一定要加上条件2）例如:一个均匀四面体，三面各涂R，B，Y色，第四面涂R，B，Y色，投掷此四面体，观察出现颜色记：A=R色，B=B色，C=Y色P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（ABC）=1/4，P（AB）=P（AC）=P（BC）=1/4显然，A，B，C两两独立，但A，B，C不独立P（ABC）P（A）P（B）P（C）=1/8同理，