2019高考数学一轮复习 第十五章 坐标系与参数方程练习 理.doc

第十五章坐标系与参数方程命题探究解答过程(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离d=.当a-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).(4分)设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.于是1+2=-12cos ,12=11.(6分)|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)5.(2015课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解析(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)将=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.(10分)教师用书专用(621)6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是=4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为() A.B.2C.D.2答案D7.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为() A.=,0B.=,0C.=cos +sin ,0D.=cos +sin ,0答案A8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆=2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.=0(R)和cos =2B.=(R)和cos =2C.=(R)和cos =1D.=0(R)和cos =1答案B9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线cos -sin -1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|=.答案210.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为=2sin ,则曲线C的直角坐标方程为.答案x2+y2-2y=011.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos +sin )=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.答案(2,-4)12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是.答案cos=113.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2-4cos =0(0,0b0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为sin=m(m为非零常数)与=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为.答案18.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.答案cos +sin =219.(2014辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=.20.(2013课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).解析(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得2-8cos -10sin +16=0.所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.21.(2013辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(tR为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解析直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d=.当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.2.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=.(8分)当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)3.(2015陕西,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).4.(2014课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=|4cos +3sin -6|.则|PA|=|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.5.(2013课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的轨迹的参数方程为(为参数,02).(2)M点到坐标原点的距离d=(02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.教师用书专用(613)6.(2014北京,3,5分)曲线(为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案B7.(2014湖北,16,5分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,则C1与C2交点的直角坐标为.答案(,1)8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(为参数)的右顶点,则常数a的值为.答案39.(2013陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.答案(为参数)10.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.11.(2014福建,21(2),7分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=4,解得-2a2.12.(2014江苏,21C,10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.解析将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8.所以AB=|t1-t2|=8.13.(2013福建,21(2),7分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为cos=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.解析(1)由点A在直线cos=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为cos +sin =2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d=0),直线l:cos=4,C与l有且只有一个公共点.(1)求a的值;(2)若O为极点,A,B为曲线C上的两点,且AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.解析(1)曲线C的直角坐标方程为(x-2a)2+y2=4a2(a0),曲线C表示以(2a,0)为圆心,2a为半径的圆.l的直角坐标方程为x+y-8=0.由题意知直线l与圆C相切,则=2a,解得a=(舍负).(2)不妨设A的极角为,B的极角为+,则|OA|+|OB|=cos +cos=8cos -sin =cos,所以当=-时,|OA|+|OB|取得最大值,为.考点二参数方程5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是2-6cos +1=0,l与C相交于A、B两点.(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|MB|的值.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是2-6cos +1=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,则|MA|MB|=|t1t2|=2.6.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=asin (a0).(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,求a的值.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0.由圆C的极坐标方程为=asin (a0),可得2=asin ,根据sin =y,2=x2+y2,可得圆C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0,即x2+=.(2)由(1)可知圆C的圆心为,半径r=,直线方程为4x+3y-8=0,圆心到直线l的距离d=,直线l截圆C的弦长为=2,解得a=32或a=,故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时,a的值为32或.7.(2017河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别是(t是参数)和(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)射线OM:=与曲线C1的交点为O,P,与曲线C2的交点为O,Q,求|OP|OQ|的最大值.解析(1)C1的普通方程为y2=4x,C2的极坐标方程为=2sin .(2)由(1)可得C1的极坐标方程为sin2=4cos ,与直线=联立可得:=,即OP=,同理可得OQ=2sin .所以|OP|OQ|=,令f()=,易知f()在上单调递减,所以(|OP|OQ|)max=8.B组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:35分钟)解答题(共40分)1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:+=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:(2cos -sin )=6.(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程;(2)在曲线C1上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.解析(1)曲线C1:+=1,设为参数,令x=cos ,y=2sin ,则曲线C1的参数方程为(为参数).又直线l:(2cos -sin )=6,即2cos -sin -6=0,化为直角坐标方程是2x-y-6=0.(2)设P(cos ,2sin ),则P到直线l的距离d=,cos=-1,即P时,点P到直线l的距离最大,最大值为=2.2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l1:=,l2:=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求AOB的面积.解析(1)曲线C的参数方程是(为参数),将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0.(2分)C的极坐标方程为=6cos +8sin .(4分)(2)把=代入=6cos +8sin ,得1=4+3,A.(6分)把=代入=6cos +8sin ,得2=3+4,B.(8分)SAOB=12sinAOB=(4+3)(3+4)sin=12+.(10分)3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为=4cos .(1)求l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)当(0,)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.解析(1)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数t,得(x-3)sin -(y-1)cos =0,即直线l的普通方程为xsin -ycos +cos -3sin =0.由圆C的极坐标方程=4cos ,得2-4cos =0(*).将代入(*)得,x2+y2-4x=0.即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)将直线l的参数方程代入(x-2)2+y2=4,得t2+2(cos +sin )t-2=0.设P,Q两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2(cos +sin ),t1t2=-2.所以|PQ|=|t1-t2|=2=2,因为(0,),所以2(0,2),所以当=,即sin 2=-1时,|PQ|取得最小值2.4.(2017河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的普通方程;(2)直线l的极坐标方程是2sin =5,射线OM:=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析(1)因为圆C的参数方程为(为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.(2)将x=cos ,y=sin 代入x2+(y-2)2=4,得圆C的极坐标方程为=4sin .设P(1,1),则由解得1=2,1=.设Q(2,2),则由解得2=5,2=.所以|PQ|=3.C组20162018年模拟方法题组方法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为=.(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析(1)曲线C的参数方程为(为参数),曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,将x=cos ,y=sin 代入整理得+2cos -2sin =0,即曲线C的极坐标方程为=2sin.直线l过点(-1,0),且斜率为,直线l的方程为y=(x+1),直线l的极坐标方程为cos -2sin +1=0.(2)当=时,|OP|=2sin=2,|OQ|=,故线段PQ的长为2-=.2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为=6sin .(1)求圆C的直角坐标方程