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2.4可满足性问题与消解法,可满足性问题：用于证明A是否永真用于验证逻辑蕴涵A1AkB永真当且仅当A1AkB永假解决方法真值表主析取范式主合取范式缺点：计算量大,2.4可满足性问题与消解法,无论是命题演算还是谓词演算，自然推理系统是比较便于使用的，但对于计算机实现来说，仍然过于复杂。消解法,2.4可满足性问题与消解法,分离规则可改为说明：该规则要求“消去两个互补文字”。“操作”特色对第二种形式作如下的推广：,（1）,2.4可满足性问题与消解法,设C1，C2为两个简单析取式，称为子句，L1，L2是分别属于C1，C2的互补文字对，用C-L表示从子句C中删除文字L后所得的子句，那么消解原理可表示为：其中C1,C2称为消解母式，L1，L2称为消解基，而(C1-L1)(C2-L2)称为消解结果。,2.4可满足性问题与消解法,例：设C1为RPQ，C2为PQ以P，P为消解基的消解结果是RQQ以Q，Q为消解基的消解结果是RPP特别地，当C1，C2都是单文字子句，且互补时，C1，C2的消解结果不含有任何文字，这时我们称其消解结果是“空子句”（nil），常用符号表示之,空子句是永远无法被满足的。,2.4可满足性问题与消解法,定理1：设C是C1，C2的消解结果，那么C是C1和C2的逻辑结果。说明消解原理作为推理规则是适当的。作为特别情况，p与p的消解结果是，实质上是pp的另一种表示形式,它们都是不可满足的。给定一个合取范式S，S的所有简单析取式称为S的子句集。重复使用消解规则，可以的到一个子句序列。,2.4可满足性问题与消解法,定义：设S为一子句集，称C是S的消解结果，如果存在一个子句序列C1，C2，,Cn（=C），使Ci(i=1,2,n)或者是S中子句，或者是Ck，Cj(k,ji)的消解结果。该序列称为是由S导出的C的消解序列。当是S的消解结果时，称该序列为S的一个否证（refutations）。,2.4可满足性问题与消解法,定理2：如果子句集S有一个否证，那么S是不可满足的。分析：设C1，C2，,Cn（=）是S的一个否证。若S可满足，即有某个赋值使S中所有子句为真，那么可对n归纳证明，使C1，C2，,Cn为真，从而(Cn)=()=1，导致矛盾。证：n=1时，因C1S，显然(C1)=1。设对任意kn，(Ck)=1，考虑Cn。若CnS，则应有(Cn)=1；若Cn为Ci,Cj的消解结果，而i,jn。据归纳假设，有(Ci)=1，(Cj)=1，从而根据定理1可得(Cn)=1。,2.4可满足性问题与消解法,说明：如果子句集S是不可满足的，那么必定存在由S导出空子句的一个否证。我们可以利用消解原理作出S的否证，以证明S的不可满足性。,2.4可满足性问题与消解法,例设子句集S由以下四个子句组成：（1）pq（2）pq（3）pq（4）pq证明S是不可满足的。可如下作出S的否证：（5）q由（1），（2）消解得（6）q由（3），（4）消解得（7）由（5），（6）消解得,2.4可满足性问题与消解法,例：求证(pq)(pr)(pqr)永真。证S为上式的否定的子句集，S由以下子句组成：（1）pq（2）pr（3）p（4）qr作出S的否证：（5）q由（1），（3）消解得（6）r由（2），（3）消解得（7）r由（4），（5）消解得（8）由（6），（7）消解得因此(pq)(pr)(pqr)为永真式。,2.4可满足性问题与消解法,说明：一般命题公式都可化成等值的合取范式合取范式是不可满足的当且仅当它