2019高考数学二轮复习 专题四 数列 第一讲 等差数列、等比数列学案 理.doc

第一讲等差数列、等比数列考点一等差、等比数列的基本运算1等差数列的通项公式及前n项和公式ana1(n1)d；Snna1d.2等比数列的通项公式及前n项和公式ana1qn1(q0)；Sn对点训练1在等差数列an中，已知a5a1012，则3a7a9()A12 B18 C24 D30解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为a5a1012，所以2a113d12，所以3a7a93(a16d)a18d4a126d2(2a113d)21224.答案C2(2018山东青岛模拟)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a63a4，且S9a4，则的值为()A18 B20 C21 D25解析设公差为d，由a63a4，且S9a4，得解得18，故选A.答案A3已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1 C. D.解析设等比数列an的公比为q，由a1，a3a54(a41)，可知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，即q38，q2，a2，故选C.答案C4在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.解析设等比数列an的公比为q，则两式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.答案4或4快速审题看到求项、求和，想到求a1，d，q及通项公式、前n项和公式等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量考点二等差、等比数列的性质对点训练1(2018山西太原一模)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2a3a109，则S9()A3 B9 C18 D27解析设等差数列an的公差为d，a2a3a109，3a112d9，即a14d3，a53，S99a527，故选D.答案D2(2018山东菏泽一模)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的根，则的值为()A2 B C. D或解析设等比数列an的公比为q，由a2，a16是方程x26x20的根，可得a2a162，所以a2，则a9.故选D.答案D3(2018合肥模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，若S51，S103，则S15的值是_解析数列an是等比数列，S5，S10S5，S15S10成等比数列，(S10S5)2S5(S15S10)，41(S153)，得S157.答案7探究追问3题中条件不变，如何求S100的值？解析在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S51，S103，所以S100可表示为等比数列1,2,4，的前20项和，故S1002201.答案2201快速审题看到等差、等比数列，想到等差、等比数列项的性质、和的性质等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解考点三等差、等比数列的判定与证明1证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)2证明数列an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(nN*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明aan1an1(n2)解(1)证明：由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由Sn14an2知当n2时，有Sn4an12得an14an4an1，an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)可得bnan12an32n1，数列是首项为，公差为的等差数列(n1)n，an(3n1)2n2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式的特征，但不能作为证明方法(2)aan1an1(n2)是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零对点训练若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，Sn，当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an1(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12解析解法一：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B.解法二：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B.答案B2(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8解析解法一：等差数列an中，S648，则a1a616a2a5，又a4a524，所以a4a22d24168，得d4，故选C.解法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得即解得故选C.答案C3(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3 C3 D8解析设等差数列an的公差为d，依题意得aa2a6，即(12d)2(1d)(15d)，解得d2或d0(舍去)，又a11，S661(2)24.故选A.答案A4(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.f B.f C.f D.f解析由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为an，则a8a1q7，即a8f，故选D.答案D5(2017江苏卷)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.解析设等比数列an的公比为q.当q1时，S33a1，S66a12S3，不符合题意，q1，由题设可得解得a8a1q72732.答案32高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在47题的位置或1314题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主热点课题10数列中的最值问题感悟体验1(2018江西五校联考)在等差数列an中，已知a3a80，且S90，S90，S99a50，a50，S1、S2、S9中最小的是S5，故选A.答案A2(2018山东青岛模拟)已知an(nN*)，则在数列an的前50项中，最小项和最大项分别是()Aa1，a50 Ba1，a44Ca45，a50 Da44，a45解析an1.结合函数ya(c0)的图象，要使an最大，则需n最小且n0，当n45时，an最大，当n44时，an最小答案D专题跟踪训练(十八)一、选择题1(2018长郡中学摸底)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4a12a88，a10a64，则S23()A23 B96 C224 D276解析设等差数列an的公差为d，依题意得a4a12a82a8a8a88，a10a64d4，解得d1，所以a8a17da178，解得a11，所以S232311276，选D.答案D2已知数列an为等比数列，且a11，a34，a57成等差数列，则公差d为()A2 B3 C4 D5解析设an的公比为q，由题意得2(a34)a11a572a3a1a52q21q4q21，即a1a3，da34(a11)413，选B.答案B3等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15的值为()A1 B2 C3 D5解析因为an为等比数列，所以a5a7是a1a3与a9a11的等比中项，所以(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112；同理，a9a11是a5a7与a13a15的等比中项，所以(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a151.所以a9a11a13a15213.答案C4已知等比数列an中a21，则其前3项的和S3的取值范围是()A(，1 B(，0)1，)C3，) D(，13，)解析因为等比数列an中a21，所以S3a1a2a3a21q.当公比q0时，S31q123；当公比q0时，S31121，所以S3(，13，)故选D.答案D5(2018江西七校联考)等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若(nN*)，则()A16 B. C. D.解析令Sn38n214n，Tn2n2n，a6S6S53862146(3852145)381114；b7T7T62727(2626)2131，16.故选A.答案A6(2018河南郑州二中期末)已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an的前n项的和，则(nN*)的最小值为()A4 B3 C22 D.解析a11，a1、a3、a13成等比数列，(12d)2112d.得d2或d0(舍去)an2n1，Snn2，.令tn1，则t2624当且仅当t3，即n2时等号成立，的最小值为4.故选A.答案A二、填空题7(2018福建四地六校联考)已知等差数列an中，a3，则cos(a1a2a6)_.解析在等差数列an中，a1a2a6a2a3a43a3，cos(a1a2a6)cos.答案8(2018山西四校联考)若等比数列an的前n项和为Sn，且5，则_.解析解法一：设数列an的公比为q，由已知得15，即1q25，所以q24，11q411617.解法二：由等比数列的性质可知，S2，S4S2，S6S4，S8S6成等比数列，若设S2a，则S45a，由(S4S2)2S2(S6S4)得S621a，同理得S885a，所以17.答案179已知数列xn各项均为正整数，且满足xn1nN*.若x3x43，则x1所有可能取值的集合为_解析由题意得x31，x42或x32，x41.当x31时，x22，从而x11或4；当x32时，x21或4，因此当x21时，x12，当x24时，x18或3.综上，x1所有可能取值的集合为1,2,3,4,8答案1,2,3,4,8三、解答题10(2018沈阳市高三第一次质量监测)已知数列an是等差数列，满足a12，a48，数列bn是等比数列，满足b24，b532.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d2，所以ana1(n1)d2(n1)22n.设等比数列bn的公比为q，由题意得q38，解得q2.因为b12，所以bnb1qn122n12n.(2)由(1)可得，Snn2n2n12.11(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.12已知数列an和bn满足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为