2018年高中数学 第3章 统计案例 3.2 回归分析教学案 苏教版选修2-3.doc

3.2 回归分析1线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为yabx，其中abx是确定性函数，称为随机误差(2)随机误差产生的主要原因所用的确定性函数不恰当引起的误差；忽略了某些因素的影响；存在观测误差(3)线性回归模型中a，b值的求法yabx称为线性回归模型a，b的估计值为a ，b ，则(4)回归直线和线性回归方程直线y_a_b_x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a 称为回归截距，b 称为回归系数，y 称为回归值2样本相关系数r及其性质(1)r(2)r具有以下性质|r|1|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱3对相关系数r进行显著性检验的基本步骤(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据10.950.05与n2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中10.950.05称为检验水平)(3)计算样本相关系数r(4)作出统计推断：若|r|r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系1在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量2通过回归方程y a b x可求出相应变量的估计值3判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断例1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由数据可知，y对x呈现线性相关关系(1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？思路点拨代入数值求线性回归方程，然后把x10代入，估计维修费用精解详析(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536经计算得：x4，y5，5,i1x90，5,i1xiyi112.3，a yb x0.08，所以线性回归方程为y a b x0.081.23x.(2)当x10时，y 0.081.231012.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元一点通线性回归分析的步骤：(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；(2)计算x，y，n,i1x，n,i1y，n,i1xiyi；(3)代入公式求出y b xa 中参数b ，a 的值；(4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：x681012y2356则y对x的线性回归方程为_解析：9，4，故y对x的线性回归方程为y 0.7x2.3.答案：y 0.7x2.32某班5名学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩解：(1)散点图如图(2)x (8876736663)73.2.y(7865716461)67.8.xiyi8878766573716664636125 054.又x88276273266263227 174.y对x的线性回归方程是y 0.625x22.05.(3)当x96时，y 0.6259622.0582.可以预测他的物理成绩是82. 例2现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？思路点拨可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性作出判断精解详析x(12010899108)107.8，y(84645771)68.所以相关系数为r0.751.由检验水平0.05及n28，在附录2中查得r0.050.632，因为0.7510.632，由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系一点通利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别细心，避免出现计算错误3对于回归分析，有下列叙述：(1)在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确定(2)线性相关系数可以是正的或是负的(3)回归分析中，如果r21或r1，说明x与y之间完全线性相关(4)样本相关系数r(，)判断其说法是否正确解：由回归模型及其性质易知(1)，(2)，(3)是正确的相关系数的取值范围应为|r|1，所以(4)是错误的4一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985对变量y与x进行线性相关性检验解：由题中数据可得12.5，8.25，xiyi438，4 412.5，x660，y291，所以0.995.由检验水平0.05及n22在教材附录表2中查得r0.050.950，因为rr0.05，所以y与x具有线性相关关系对两个相关变量进行线性回归分析时，首先判断两个变量是否线性相关，可以通过散点图和相关系数判断，然后再求线性回归方程，对问题进行预测，否则求出的回归方程无意义，预测也无价值课下能力提升(十九)一、填空题1下列命题中正确的是_(填所有正确命题的序号)任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与圆的半径具有相关关系；某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究解析：显然是错误的；而中，圆的周长与圆的半径的关系为C2R，是一种确定性的函数关系答案：2已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y 0.95xa ，则a _解析：2，4.5.又回归直线恒过定点(，)，代入得a 2.6.答案：2.63从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y 0.849x85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为_解析：y 0.84917285.71260.316.答案：60.316 kg4有下列关系：人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；学生与其学号之间的关系其中有相关关系的是_(填序号)解析：由相关关系定义分析答案：5某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程yb xa 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为_万元解析：样本中心点是(3.5，42)，答案：65.5二、解答题6下面是水稻产量与施肥量的一组观测数据：施肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系7在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为12345价格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知5,i1xiyi62，5,i1x16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)解：(1)散点图如下图所示：(2)因为x91.8，y377.4，8为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析下面是该生7次考试的成绩：数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理