小学奥数教案第十三讲中国剩余定理.doc

第十三 讲中国剩余定理教学目的：理解掌握中国剩余定理教学重点：理解掌握中国剩余定理，并会解决类似问题教学难点：理解理解掌握中国剩余定理教学时数：2课时教学方法：讲解法，讨论法，练习法教学过程：什么是中国剩余定理？中国剩余定理例题讲解1中国剩余定理例题讲解23、中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书孙子算经中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？意思 是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最 后剩二个，问这堆东西有多少个？ 你知道这个数目吗？孙子算经这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的 具体体现，针对这道题给出的解法是： N=702213152-210523如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当702时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当213时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当152时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。中国剩余定理练习题及解法一、填空题1. 有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_.2. 一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是_.3. 学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组3.19元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全班共有_人.4. 五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有_人.5. 一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是_.6. 同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人.参加队列训练的学生最少有_人.7. 把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余3个.这堆苹果共有_个.8. 一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7个一堆放,还多出1个.这筐苹果至少有_个.9. 除以3余1,除以5余2,除以7余4的最小三位数是_.10. 有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩.已知筐里的鸡蛋不足400个,那么筐内原来共有_个鸡蛋.二、解答题11有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?12. 求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.13. 一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多四只,七只七只数多六只,若此盒围棋子的个数在200到300之间,问有多少围棋子?14. 求一数,使其被4除余2,被6除余4,被9除余8.-答 案-1. 7因为除以3余数是1的数是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，这些数除以12余数均为7.2. 14用一个两位数除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56, 73-3=70,85-1=84能被这个两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约数.2 56 70 847 28 35 424 5 6由可可见,56、70、84的两位数公约数是2 7=14，可见这个两位数是14.3. 41根据题意得319-261=练习本单价 第二、一组人数之差，348-319=练习本单价 第四、二组人数之差.即练习本单价 第二、一组人数之差=58,练习本单价 第四、二组人数之差=29，所以,练习本单价是58与29的公约数,这样,练习本的单价是29分,即0.29元.因此,全班人数是(2.61 2+3.19+3.48) 0.29=11.89 0.29=41(人)注这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件,将小数化成整数来考虑,为解决问题提供了方便.这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难.上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示.4. 91如果将两个班的人数减少1人,则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余,所以两班人数减1是9和10的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出9和10的最小公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有9 10+1=91(人)5. 210一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依次为:105,210,315,420,，其中被11除余数为1的最小数是210，所以这个最小数是210.6. 46人.如果总人数少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余.由此可见,人数比10和8的最小公倍数多6人,10和8的最小公倍数是40,所以参加队列训练的学生至少有46人.7. 71依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后,正好是9,8,4的倍数.因为9,8,4的最小公倍数是9 8=72,所以这堆苹果至少有9 8-1=71(个).注本题为什么求9,8,4的最小公倍数呢?这是根据限制条件这堆苹果共几十个决定的.若限制条件改为这堆苹果的个数在100-200之间的话，那么这堆苹果共有9 8 2-1=141（个）.因此，在解答问题时，一定要把条件看清楚，尤其要注意隐含条件的应用.8. 148从6和7的公倍数42,84,126,中找到除以5余3的数是378（可以先找到除以5余1的数126，再乘以3即可）.从5和7的公倍数35,70,中找到除以6余4的数是70.从5和6的公倍数30,60,90，120，中找到除以7余1的数是120.5,6,7的最小公倍数是5 6 7=210.所以,这筐苹果至少有568-210 2=148个.9. 172因为除以3余1,除以5余2的最小数是22,而3和5的最小公倍数是15,所以符合条件的数可以是22,37,52,67,.又因为67 7=94，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，.所以,符合条件的最小三位数是172.10. 301先求出2,3,4,5的最小公倍数是60,然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数60+1=6160 2+1=12160 3+1=18160 4+1=24160 5+1=301其中301能被7整除.所以筐内原来有301个鸡蛋.11. 如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是2 2 2 5 3=120.所以这盒乒乓球有123个.12. 设所求数为 ,则 +2就能同时被6,8,10整除.由于6,8,10=120,所以 =120-2=11813. 设有 个围棋子,则 +1是3,5,7的倍数, +1是3,5,7=3 5 7=105的倍数, +1=210, =209.14. 无解,若该数存在必为8+18 ( 为整数),它被6除只能余2,矛盾.1、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。为了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用123=36。然后，401452364=274，因为，27460，所以，274604=34，就是所求的数。2、一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。为了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=120。使21被8除余1，用215=105；然后，112212041055=1229，因为，1229168，所以，12291687=53，就是所求的数。3、一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。为了使88被5除余1，用882=176；使55被8除余1，用557=385；使40被11除余1，用408=320。然后，176438533202=2499，因为，2499440，所以，24994405=299，就是所求的数。4、有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，280522511262=1877，因为，1877315，所以，18773155=302，就是所求的数。5、有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，280622521263=2508，因为，2508315，所以，25083157=303，就是所求的数。6、中国剩余定理的实际应用：有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?求数学高手详细解答!剩余定理是什么意思?5 和 9 的公倍数依次是 45、90、135、180、225 这些公倍数中，被7除余1的数是 2259 和 7 的公倍数依次是 63、126、189、252这其中，被5除余2的是 2525 和 7 的公倍数是 35、70、105、140、其中被9除余5的数是 140把以上 225 252 140 三个数相加，求得225 + 252 + 140 = 6175 7 9 三个数的最小公倍数是 5*7*9=315617-315 = 302因此 302 就是这个年级至少人数。7、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数_.解答:采用中国剩余定理：35的公倍数 37的公倍数 57的公倍数15 21 3530 42 7045 63 10560 84 140 除以7余4的 除以5余3 除以3余2分别是：60 63 35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍