2019版中考数学总复习第三章变量与函数3.2一次函数讲解部分检测.pdf

第三章 变量与函数 一次函数 考点清单 考点一 一次函数的概念、图象和性质 一次函数的定义 一般地，如果 （， 是常数），那么 叫做 的 一次函数当 时，一次函数 叫做正比例函数 一次函数的图象与性质 图象 正比例函数 （） 一次函数 （ ） 图象经过 第一、二、三 象限 图象经过 第 一、三、 四 象限 图象经过第 一、 二、 四 象限 图象经过第 二、 三、 四 象限 性质 随 的增大而增大 随 的增大而 减小 注意 ， 符号的确定方法 （）一次函数图象从左向右看，上升趋势，；下降趋势， （）一次函数的图象与 轴的交点在正半轴上，；在负半 轴上，；过原点， 直线与坐标轴的交点 直线 （）与 轴的交点为 ， ()，与 轴的交 点为 （，） 考点二 一次函数的应用 常用类型： 求一次函数的解析式的方法： 直接写出； 用待定系数法求出 注意 用待定系数法求一次函数解析式的步骤 一设：设出一次函数解析式的一般式 （）； 二列：根据已知两点的坐标或已知的两个条件列出关于 、 的二元一次方程组； 三解：解这个方程组，求出 ， 的值； 四还原：将已求得的 ， 的值代入 （）中，求得 一次函数解析式 利用一次函数的图象和性质解决如最值、最优方案等 问题 易混清单 一、一次函数与方程、不等式之间的关系 例 在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知 识结构的重要方法善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一 元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与 方程的关系 （）一次函数的解析式 可以看作一个二元一次 方程； （）点 的横坐标是方 程 的解； （）点 的坐标（，）中 的 ， 的 值 是 方 程 组 的解 一次函数与 不等式的关系 （）函数 的函数 值 大于 时，自变量 的取值范围就是不等式 的解集； （）函数 的函数 值 小于 时，自变量 的取值范围就是不等式 的解集 （）请你根据以上方框中的内容在下面序号后写出相应的 结论： ； ； ； ； （）如果点 的坐标为（，），那么不等式 的 解集是 答案 （）； ， ； ； （） 注意一次函数与一次方程、一次不等式的关系 二、一次函数图象的平移 一次函数 的图象可以看作是直线 向上（下） 平移 个单位长度得到的当 时，将直线 向上平移 个单位长度；当 时，将直线 向下平移 个单位 长度 直线 ：（），直线 ：（） 当 ，时，一条直线可以通过平移得到另 一条直线 年中考 年模拟 一次函数的再认识 从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直 角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形求两条直线的交 点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立后的方程 组无解时，两直线平行；当有无穷多解时，两直线重合；只有一解 时，两直线相交于一点常用直线向上方向与 轴正向的夹角（叫 直线的倾斜角）或该角的正切值（称直线的斜率）来表示平面上 直线（对于 轴）的倾斜程度可以通过斜率来判断两条直线是 否互相平行或互相垂直直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上 的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距直线在平面上的位置，由 它的斜率和一个截距完全确定 我们初中学习的一次函数的表达式 （），叫斜截 式， 叫直线的斜率，直线还有其他表示方式，一般式： （、 不同时为 ），点斜式：（）（适用于不垂直于 轴的直线），表示斜率为 ，且过（，）的直线，等等 方法一 用待定系数法求一次函数解析式 待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题引入一些 待定的系数，问题中含几个待确定的系数，一般就需要列出几个 含有待定系数的方程 例 （ 临沂， 分）某市为节约水资源，制定了新 的居民用水收费标准按照新标准，用户每月缴纳的水费 （元） 与每月用水量 （）之间的关系如图所示 （）求 关于 的函数解析式； （）若某用户二、三月份共用水 （二月份用水量不超过 ），缴纳水费元，则该用户二、三月份的用水量各是多少？ 解析 （） （）， （） （）设二月用水量为 ，则三月用水量为（） ， 当 时， （），解得 ， 当 时， ，不合题意 二月份用水量为 ，三月份用水量是 变式训练 （ 广东广州， 分）如图，在平面直角 坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ， ()，点 的坐标为（，） （）求直线 的解析式； （）直线 与 轴交于点 ，若点 是直线 上一动点 （不与点 重合），当 与 相似时，求点 的坐标 解析 （）设直线 的解析式为 ， 把 ， ()，（，）代入，得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 （）当 ，即 时，解得 （，），则 点 的坐标为（，）， 由勾股定理，得 与 轴交于点 ， （，），则 ， 如图， 与 相似，有两种情况： 当 时，有 ， 即 ， 解得 ， 设点 的纵坐标为 ，根据三角形的面积公式，有 ，即 ， 当 ，即 时，解得 （，） 当时， 轴，此时点 的横坐标为 ，纵坐标为 ， ， () 综上，当 与 相似时，点 的坐标为（，） 或 ， () 方法二 反比例函数与一次函数的综合 对于一次函数、反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握 待定系数法和数形结合思想 例 （ 淄博， 分）已知：如图，直线 ， 第三章 变量与函数 都与双曲线 交于点 （，），这两条直线分别与 轴交于 、 两点 （）求 与 之间的函数关系式； （）直接写出当 ，不等式 的解集； （）若点 在 轴上，连接 ，且 把 的面积分成 的两部分，求此时点 的坐标 解析 （）因为直线 ， 都与双曲线 交于点 （，）， 所以 ， ， 解得 ， ， 所以 ， （）当 ，不等式 的解集为 （）将 代入 ，得 ，所以 的坐标为（，） 同理可得 的坐标为（，） 因为 把 的面积分成 的两部分，所以点 的坐标 为 ， ()或 ， ()，即点 的坐标为 ， ()或 ， () 变式训练 （ 广东茂名， 分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数，）的图象交于点 （，）和点 （，） （）求反比例函数的表达式和 、 的值； （）若 、 两点关于直线 对称，请连接 ，并求出直线 与线段 的交点坐标 解析 （）把 （，），（，）分别代入 ， 可得 ， （ 分） 把 （，）代入 ，得 ， 反比例函数的表达式是 （ 分） （）如图，设 与直线 交于点 ，（ 分） 过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，则 ， 由轴对称的性质可知， 是 的垂直平分线， 即 （ 分） ， ， （ 分） ， ， 点 坐标为 ， () （ 分） (也可用 是 的中位线，得到 ， ) 方法三 用一次函数解决实际问题 对于一些实际问题，要理清各种数量关系，能利用等量关系 列出函数关系式，能利用不等关系列不等式（组）；会利用不等式 （组）的整数解设计可行性方案，利用函数的增减性求最值 例 （ 天津， 分）公司有 台机器需要一次 性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共 辆已知每辆甲种货 车一次最多运送机器 台、租车费用为 元，每辆乙种货车 一次最多运送机器 台、租车费用为 元 （）设租用甲种货车 辆（ 为非负整数），试填写下表 表一： 租用甲种货车的数量 辆 租用的甲种货车最多运送机器的数量 台 租用的乙种货车最多运送机器的数量 台 表二： 租用甲种货车的数量 辆 租用甲种货车的费用 元 租用乙种货车的费用 元 （）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并 说明理由 解析 （）表一：，； 表二： ， ， （）租用甲种货车 辆时，设两种货车的总费用为 元， 则 （ ） ， 其中，（），解得 ， 随 的增大而增大 当 时， 取得最小值 答：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案为租用 甲种货车 辆、乙种货车 辆 变式训练 （ 日照， 分）“低碳生活，绿色出行” 的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或 外出旅游周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发 小时后到 达甲地，游玩一段时间后按照原速前往乙地，刚到达乙地，接到 妈妈电话，快速返回家中小红从家出发到返回家中，行进路程 年中考 年模拟 （）随时间 （）变化的函数图象大致如图所示 （）小红从甲地到乙地骑车的速度为 ； （）当 时，求出路程 （）关于时间 （）的函 数解析式，并求出乙地离小红家多少千米？ 解析 （）（ ） 所以小红从甲地到乙地骑车的速度为 （）解法一：（） ， 点 的坐标为（