人教版八年级数学下册第16章全章教案.docx

.161二次根式第1课时二次根式的概念.1能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为_，面积为S的正方形的边长为_(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h5t2，如果用含有h的式子表示t，则t_问题2：上面得到的式子，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(x3)；(7)(x0)；(8)；(9)；(10)(ab0)解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数解：因为，(x3)，(ab0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，(x0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围(1)；(2)；(3).解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解解：(1)由题意得43x0，解得x.当x时，有意义；(2)由题意得解得x3且x2.当x3且x2时，有意义；(3)由题意得解得x5且x0.当x5且x0时，有意义方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a、b满足|b|0，解关于x的方程(a2)xb2a1；(2)已知x、y都是实数，且y4，求yx的平方根解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根解：(1)根据题意得解得则(a2)xb2a1，即2x35，解得x4；(2)根据题意得解得x3.则y4，故yx4364，8，yx的平方根为8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题 先观察下列等式，再回答下列问题11；11；11.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子解：(1)11；(2)11(n为正整数)方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来三、板书设计1二次根式的定义一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式2二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；有意义a0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣第2课时二次根式的性质.1经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)2了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算(重点，难点)一、情境导入等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，2，3，3，分别计算出对应的的值，看看有什么规律2；2；3；3；你能概括一下的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】 利用|a|、()2a进行计算 化简：(1)()2；(2)；(3)；(4)()2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可解：(1)()25；(2)5；(3)5；(4)()25.方法总结：利用|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数【类型二】 ()2a(a0)的有关应用 在实数范围内分解因式(1)a213；(2)4a25；(3)x44x24.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式解：(1)a213a2()2(a)(a)；(2)4a25(2a)2()2(2a)(2a)；(3)x44x24(x22)2(x)(x)2(x)2(x)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式这就需要把一个非负数表示成平方的形式探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：2|ab|.解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a1、b1和ab的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解解：从数轴上a，b的位置关系可知2a1，1b2，且ba，故a10，b10，ab0.原式|a1|2|b1|ab|(a1)2(b1)(ab)b3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合 已知a、b、c是ABC的三边长，化简.解析：根据三角形的三边关系得出bca，bac.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可解：a、b、c是ABC的三边长，bca，bac，原式|abc|bca|cba|abc(bca)(bac)abcbcabac3abc.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简【类型三】 利用分类讨论的思想对二次根式进行化简 已知x为实数时，化简.解析：根据|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答解：|x1|x|.当x0时，x10，原式1x(x)12x；当0x1时，x10，原式1xx1；当x1时，x10，原式x1x2x1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏【类型四】 二次根式的规律探究性问题 细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题()212，S1，()213，S2，()214，S3.(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出SSSS的值解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n个三角形的一直角边长就是，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得解：(1)()21n1，Sn(n是正整数)；(2)OA1，OA2，OA3，OA10；(3)SSSS(12310).方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想探究点三：代数式的定义及简单应用 按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是_解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n.故答案为n.方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式三、板书设计1二次根式的性质1：()2a(a0)；2二次根式的性质2：a(a0)3代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活162二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法.1掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点)2会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简(难点)一、情境导入计算：(1)与；(2)与.思考：对于与呢？从计算的结果我们发现，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法法则成立的条件 式子成立的条件是()Ax2 Bx1C1x2 D1x2解析：根据题意得解得1x2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：(a0，b0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件【类型二】 二次根式的乘法运算 计算：(1)；(2)；(3)6(3)；(4).解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式解：(1)；(2)4；(3)6(3)1818189162；(4)6b.方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘探究点二：积的算术平方根的性质 化简：(1)；(2)；(3).解析：主要运用公式(a0，b0)和a(a0)对二次根式进行化简解：(1)64372；(2)12560；(3)|x3y|.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简探究点三：二次根式乘法的综合应用 小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算解：设圆的半径为rcm.因为矩形木相框的面积为168(cm2)，所以r2168，r2cm(r2舍去)答：这个圆的半径是2cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想三、板书设计1二次根式的乘法法则：(a0，b0)2积的算术平方根：(a0，b0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养第2课时二次根式的除法.1掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)2能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1)_；_(2)_；_；_.二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算 计算：(1)；(2)；(3)；(4).解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分解：(1)2；(2)3；(3)；(4)5.方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简【类型二】 二次根式的乘除混合运算 计算：(1)93；(2)a2b.解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算解：(1)原式918；(2)原式a2b.方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围 若，则a的取值范围是()Aa2 Ba2C0a2 Da0解析：根据题意得解得0a2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：(a0，b0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式 化简：(1)；(2)(a0，b0，c0)解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根解：(1)；(2).方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式探究点三：最简二次根式 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由(1)；(2)；(3)；(4)；(5).解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可解：(1)3，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；(5)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式探究点四：二次根式除法的综合运用 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T2，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数解：T21.42，42(次)，在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声方法总结：解决本题的关键是正确运用公式用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一三、板书设计1二次根式的除法运算2商的算术平方根3最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展163二次根式的加减第1课时二次根式的加减.1会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)2熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式 已知最简二次根式与能够合并同类项，求ab的值解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入ab求解即可解：最简二次根式与能够合并同类项，ab2，2ab3a4，解得a3，b1，ab3(1)2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解探究点二：二次根式的加减【类型一】 二次根式的加减运算 计算：()2|2|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式解：原式222.方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变【类型二】 二次根式的化简求值 先化简，再求值：，其中a2，b2.解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出解：原式.当a2，b2时，原式.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解【类型三】 二次根式加减运算在实际生活中的应用 母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4()4(2015)140197.96(cm)因为1.2m120cm197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.9612077.9678(cm)，即还需买78cm的金色细彩带方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求三、板书设计1被开方数相同的最简二次根式2二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐第2课时二次根式的混合运算.1会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为2cm，4cm，高为cm，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：(24)(2)2226(cm2)他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的四则运算 计算：(1)9；(2)2；(3)(2).解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算解：(1)原式99；(2)原式25；(3)原式(2)1.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算 计算：(1)()()；(2)(1)22()()；(3)(2)解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可解：(1)原式()()()2()22(92)29676