概率统计考试试卷A

系(院)： 专业： 年级及班级： 姓名： 学号： .密 封 线重庆文理学院试卷第 15 页 共 15 页得分评卷人一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设随机变量(,)只取下列数组中的值 (0,0),(-1,0),(-1,),(2,0) 且相应的概率以此为，则=（ ） (A)2 (B) 3 (C) 4 (D)5 分析：由二维离散型随机变量联合分布列的性质 1= 得=3 故选(B)。2、设随机变量(,)的概率密度为 则边缘密度为（ ）。 (A) (B) (C) (D)分析：如图， = = 1 = 0 1 = 01 故选(C)3、接连不断的掷一颗骰子，直到出现小于5点为止，以表示最后一次掷出的点数，以表示投掷的次数，则（=，=）=( ),=1，2，3，4, =1,2, (A) (B) (C) (D) 分析：掷一次骰子的分布列为： 易知： （掷出点数5） （掷出点数5）= 由此可知 事件（=，=）表示一共掷骰子次，第次掷出的点数5（即掷出点，=1，2，3，4），其概率为，而前-1次掷出的点数均5，其概率为 ，所以事件（=，=）的概率为（=，=）=，故选(D)4、,概率密度为 ，则（ ） (A)（0）=（0）=0.5 (B) (C)（1）=（1）=0.5 (D) 分析：，则-1 由于标准正态概率密度关于原点对称，故有 （-10）=（-10）=0.5 即：（1）=（1）=0.5 故应选(C)5、,相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ ） (A)(,) (B)+ (C)2 (D)- 分析：，都服从上的均匀分布，即 由，的独立性， = 即（，） 故应选(A)6、设，是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为 ， ，则的分布函数( ) (A) (B) (C) (D)都不是 分析：由最小值分布知，的分布函数为： 故应选(C)7、如果与满足(+)=(-)，则必有（ ） (A)与独立 (B)与不相关 (C)()=0 (D)()()=0 分析：由条件(+)=()+()+2(,)(-)=()+()-2(,) 因此有，2(,)=-2(,)=0 即,不相关，故应选(B)8、随机变量=+与=-不相关的充分必要条件为（ ） (A)()=() (B)(2)-2()=(2)-2() (C)(2)=(2) (D)(2)+2()=(2)+2() 分析：(,)=(+，-)=(，-)+(，-)=(，)-(，)+(，)-(，)=()=()也就是：(2)-2()=(2)-2()故应选(B)9、设为独立同分布序列，且(=1,2,)服从参数为的指数分布，则（ ）(A) (B) (C) (D)其中分析：由条件有 ()= ,()= =1,2, 将“标准化”得： =, 比较四个选项，应选(A)10、设相互独立，且，（=1,2,9），则对0，有（ ）(A)1- (B)1- (C)1- (D)1-分析：由选项形式知应考虑切比且雪夫不等式，由条件， = 故有=1-9 故应选(D)得分评卷人二、填空题（本大题共7小题，共11个空，每空2分，共22分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11、设随机变量(,)的分布率为 Y X12311/61/91/1821/3则，应满足条件 ；若,相互独立，则= ；= 。 分析：由分布列性质： 故若，独立(=2, =2)=(=2)(=2)=272-15+3+27=0将=-代入解得=，=12、设，且和相互独立，则 。分析：由 ，且，独立，故有： -13、设的概率分布密度为，；，。若=，则= 。分析：由条件有： 又由：=1-= 即，= 而= =，（负根舍去）故=14、设，相互独立，且具有相同的分布律，且的分布率为(=0)=(=1)=，则的概率分布率为 。分析：由条件，均服从两点分布，分布列为，又由，独立，则(，)的联合分布列为(=0，=0)=同理有(=0，=1)=(=1，=0)=(=1，=1)=列表： (，)（0，0），（0，1），（1，0），（1，1） 0 0 0 1故的分布列为 0 1 15、设服从区间（-1，1）内的均匀分布，则与的相关系数 = 。 分析：由题设（-1，1）知 且：（）=0 （）=0 奇函数 故=016、设随机变量与相互独立，且都服从参数为的泊松分布，令，则与的相关系数= 。分析：由题设： 故有=(,)=(2+,2-)=(2,2-)+(,2-)=(2,2)-(,)=4(,)-(,)=4-=4-=3 又= 同理可得 故有：=17、设是随机变量，=0.009，存在，用贝雪夫不等式估计概率不等式0.9若要成立，则至少应为 。 分析：由切贝雪夫不等式 1-=1-0.9 解之得0.318、设随机变量和的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式 。分析：令=+,则=+=-2+2=0 =+=2() =1=4+2 =5+2=3 切贝雪夫不等式 = =19、设二维随机变量(，)（0，0，1，1，0），则= 。分析：由二维正态分布的性质知：（0，1），（0，1），且，独立，故：=(0,0)+(0,0)=(0)(0)+(0)(0)=+= 得分评卷人三、计算题（本大题共6小题，除第21题12分外，其余每小题10分，共62分）20、将3峰信随即投入编号为1，2，3的三个邮筒，记=“1号邮筒内投入的信的数目”=“有信的邮筒数”求：（1）（，）的联合分布列； （2）边际分布列； （3）判断，的独立性。解：可取值：0，1，2，3 可取值：1，2，3 (=0，=1)= 事件(=0，=1)表示3封信全投进2，3号邮筒中的一个内， (=0，=2)= 事件(=0，=2)表示3封信投入2，3号邮筒内，有中投法，但要排除把3封信全投入2，3号中的一个邮筒的情况 (=0，=3)=0 (=1，=1)=0 (=1，=2)= (=1，=3)= (=2，=1)=0 (=2，=2)= (=2，=3)=0 (=3，=1)= (=3，=2)=(=3，=3)=0 （1）联合分布列为： 1 2 3 0 2/27 6/27 0 8/271 0 6/27 6/27 12/272 0 6/27 0 6/273 1/27 0 0 1/27 3/27 18/27 6/27 （2）边际分布列 0 1 2 3 8/27 12/27 6/27 1/27 1 2 3 3/27 18/27 6/27 （3）由于(=1，=1)=0 而(=1)（=1)= (=1，=1) 故与不独立。21、设随机变量（，）的联合密度函数为 =（1） 确定常数（2）求(1，3)，(1.5），（+4)解：（1）由联合密度函数的性质 = = =8 故= （2）(1，3)= = = (1.5）= （+4)，如图， （+4) = y = 4 = 2 x+y=4 = 0 2 4 x 22、设（，）在曲线 ， 所围成的区域内服从均匀分布，求： （1）联合分布密度； （2）边际分布密度； （3）判断与的独立性。 解：（1）如图， 区域的面积为： 1 = = 0 1 = 故（，）的联合密度为： （2）= 即 = 即 （3）由于= 故与不独立。23、设二维随机变量（，）的联合分布密度为 求（，）的联合分布函数。 解： 1 0 1 当0或时， =(，)=0 当01，01时。= =当01，1= = 同理1，01时， = 当1，1时， =1综上，分布函数为： = 得分评卷人四、应用题（本大题共6小题，除第21题12分外，其余每小题10分，共62分）24、计算机在进行加减法时，每个加数按四舍五入取最为接近的整数，设各个加数的取整误差是相互独立的，他们都服从区间上的均匀分布，现在有三百个加数相加，求误差总和绝对值超过15的概率。 解：设第个加数的取整误差为，由于相互独立，=0，=，=1，2，300，为误差总和。根据中心极限定理，近似服从正态分布，并且 =0 =300=25 =1- =1- 1-（2（30-1）=0.002725、设某种器件使用寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更换另一个新器件，如此继续，已知每个器件进价为元，试求在年计划中应为此器件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年有2000个工作小时）解：设第个器件使用寿命为，由于服从参数的指数分布，且=20，所以=，=，=400 假定一年至少准备件才能有95%的把握够用，=1，2，相互独立，记 =，=200，=400依题意，（2000）=0.95，即 0.05=（2000） 0.95=差标准正态分布表，可得方程： =1.6