三角函数-Microsoft-Word-文档.doc

三角函数（一）知识点一1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）:;终边在x轴上的角的集合:;终边在y轴上的角的集合：;终边在坐标轴上的角的集合：.2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.3.弧度制下，扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( ) 例2. 已知为第三象限角,则所在的象限是( )(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限知识点二1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，则，。注: 三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 根据三角函数定义可以推出一些三角公式:诱导公式：即或之间函数值关系，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.重视用定义解题.三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆2. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦 ,(纵坐标y的符号) (横坐标x的符号)例3.已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值.例4.若是第三象限角,且,则是( )第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角例5.若的终边所在象限是（ ）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限知识点三 三角函数公式三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 ()公式组三公式组四 公式组五 公式组六 (二)两角和与差公式公式组一公式组二: ,公式组三, ,常用数据: 的三角函数值注: 以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.三角函数恒等变形的基本策略。常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：;配凑角(常用角变换):、等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。例6.化简：例7.已知tan，tan是方程两根，且，则+等于( )(A) (B)或 (C)或 (D)例8. 的值是（ ） (A)2 (B)2+ (C)4 (D)例9. 设,若则=（ ）(A) (B) (C) (D)4例10. ( ) 例11. 求下列各式的值： ; tan17+tan28+tan17tan28例12.已知为锐角，且，求的值. 例13. 已知为第二象限角，且 sin=求的值.例14. 已知，（1）求的值；（2）求的值例15. 已知,例16. 已知，求例17. 已知锐角a,b满足cosa=,cos(a+b)=,求cosb.例18. 已知，tana =，tanb =，求2a + b.例19. 在ABC中，已知cosA =，sinB =，则cosC的值为( )(A) (B) (C) (D)例20. 若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。三角函数作业（一）一、选择题：1、已知A=第一象限角，B=锐角，C=小于90的角，那么A、B、C关系是（ ）AB=AC BBC=CCACDA=B=C2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）ABCD3、已知的值为（ ）A2B2CD4、已知角的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边 （ ） A在轴上 B在直线上 C在轴上 D在直线或上5、若,则等于 ( ) A B C D 6、要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（ ）A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位7、如图，曲线对应的函数是 （ ）Ay=|sinx|By=sin|x|Cy=sin|x|Dy=|sinx|8、化简的结果是 ( )A B C D9、为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形10、函数的图象（ ）A关于原点对称 B关于点（，0）对称 C关于y轴对称 D关于直线x=对称11、函数是 （ ）A上是增函数B上是减函数C上是减函数 D上是减函数12、函数的定义域是 （ ）AB C D二、填空题：13、已知的取值范围是 .14、为奇函数， .15、函数的最小值是 16、已知则 .三、解答题：17、求值18、已知,求的值.19、已知是第三角限的角，化简20、已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值21、已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 （）求f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.22、已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围三角函数（一）例题答案例1.C例2.D例3. 由定义 ：,sina=-,cosa=,2sina+cosa=-例4.B解：,则是第二或第四象限角,又,则是第二或第三象限角,必为第二象限角例5.D例6. 解：原式例7. A例8.C 例9.B例10.B例11. 解：原式=; ,tan17+tan28=tan(17+28)(1-tan17tan28)=1- tan17tan28原式=1- tan17tan28+ tan17tan28=1例12.解：,为锐角,例13.解：当为第二象限角，且时，所以=例14. 解（1）：由，解得（2）例15. 解： 例16.解:,例17. 解：cosa=,sina=,又cos(a+b)=0 ,a+b为钝角, sin(a+b)=,cosb=cos(a+b)-a=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina=（角变换技巧）例18. 解： ,又tan2a 0，tanb sinB A B,即B必为锐角 , cosB = ,cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =例20. 解：原方程变形为：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0,- 1sinx1 ,； , a的取值范围是作业（一）参考答案1. B 2. C 3. D 4. A 5. 6.C 7.C 8. 9.B 10. B 11. 12.D13. 14. 15. 16. 17原式18，由得19. 2tan20、解：（）因此，函数的最小正周期为（）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为yxO解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上 的最大值为，最小值为21、解：（）f(x)2sin(-)因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因为0，且xR,所以cos（-）0.又因为0，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由题意得故f(x)=2cos2x.因为（）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 当2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为(kZ)22.解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是三角函数（二）知识点四 三角函数性质（A、0）定义域RRR值域周期性 奇偶性奇函数偶函数当非奇非偶, 当奇函数单调性上为增函数；上为减函数.（）上为增函数;上为减函数.（）上为增函数；上为减函数（）定义域值域RR周期性奇偶性奇函数奇函数单调性上为增函数（）上为减函数（）以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.函数的图像和性质以函数为基础,通过图像变换来把握.如(A0,0)相应地，的单调增区间 的解集是的增区间. 注:或（）的周期; 的对称轴方程是（），对称中心；的对称轴方程是（），对称中心；的对称中心（）.例21.下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以为周期的偶函数是( )(A)y=lgx2 (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y=例22.函数的最小正周期是（ ）(A) (B) (C) (D) 例23. 函数为增函数的区间是( ) (A) (B) (C) (D)例24函数的最小值是（ ） 例25. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度例26. 若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是( )(A) (B) (C) (D)例27. 函数的最小正周期是_.例28将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移个单位，所得图象的解析式是_.例29. 函数在区间的最小值为_.例30.函数的最大值等于 .例31. 已知，求函数的值域例32.已知函数求它的定义域和值域； 求它的单调区间；判断它的奇偶性； 判断它的周期性.例33. 已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xR）求f(x)的最小正周期；求f(x)单调区间；求f(x)图象的对称轴，对称中心。例34. 求函数f (x)=的单调递增区间知识点五 反三角函数反三角函数符号的运用: 、注意：反三角数符号只表示这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.例35适合的角是（ ） 例36.求的值.三角函数作业（二）一、选择题1sin480等于 A B C D2已知,，则tan(p-q)的值为 A B C D3设xz，则f(x)=cos的值域是A-1, B-1, ,1 C-1, ,0,1 D,14 要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos(2x+)的图象A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度5已知tana=，tan(a-b)=，那么tan(2a-b)的值是 A B C D6若0q2p且满足不等式，那么角q的取值范围是 A B C D7若，则cosa+sina的值为 A B C D8设函数f(x)=sin(2x-)，xR,则f(x)是 A最小正周期为p的奇函数 B最小正周期为p的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数二、填空题16已知函数f(x)=cos+sin(xR)，给出以下命题： 函数f(x)的最大值是2;周期是；函数f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是； 对任意xR，均有f(5p-x)=f(x)成立；点()是函数f(x)图象的一个对称中心.其中正确命题的序号是_三、解答题17已知0a0，利用单位圆中的三角函数线及，kZ 函数定义域为，kZ 当x时， 函数值域为）（3）定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,不具备奇偶性 （4） f(x+2)=f(x) 函数f(x)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以、象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号例33. （1）T=（2）增区间k-，k+，减区间k+（3）对称中心（，0），对称轴，kZ例34. 解：f (x)= 令,y=,t是x的增函数,又00,2kpt2kp+ (kZ),2kp2kp+ (kZ) ,6kp-x6kp+ (kZ),f (x)=的单调递减区间是6kp-,6kp+) (kZ)例35.D例36. 解：arctan2 = a, arctan3 = b ,则tana = 2， tanb = 3,且， ,而,a + b = ,又arctan1 = ,= p三角函数（二）答案题号123456789101112答案DBABBCBCCBCD135 14. 15.6 16. 17解：因为0ap，tana=-2，所以sina=,cosa=(1)sin(a+)=sinacos+cosasin=+()=(2)原式(3)原式20解：f(x)=cos2x-sin2x=cos(2x+)(1)因为x0,p,所以2x+,2x+p2px0pf(x)1001(2)法一:在上图中作出，0的图象,依图象可知,f(x)的最小值为-1,最大值为.法二:因为x，0,所以2x+,当2x+=时f(x)取最小值-1,当2x+=0时f(x)取最大值21解:f(x)=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos-cos2xsin+1+cos2x=2sin2xcos+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1(1)f(x)取得最大值3,此时2x+=+2kp,即x=+kp,kZ故x的