毕业设计（论文）-级数求和的几种常见方法和几个特殊级数和.doc

292929 级数求和的几种常见方法和几个特殊级数和摘 要级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.本文整体布局可分为三部分：一、数项级数求和的常用方法 二、函数项级数求和的常用方法.三、运用特殊级数的和这几种方法求级数的和。由于级数求和的技巧性很强，方法有比较多，而我们很难掌握规律，因此通过例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，为理解和应用技术求和打下基础。关键字：数项级数求和; 函数项级数求和; 常用方法; 特殊级数和. Summation of several common methods and several special seriesAbstractDigest series are widely used in numerical calculations,the series first consideration in convergence, seeking methods that can be summed in a convergent series. this overall layout can be divided into three parts: first, the summation of two commonly used method, the function summation of. third, the use of special series and series and these methods, please. Due to the summation of strong skills, there are a relatively large number, and it is difficult to grasp rules, through examples of analysis and solution, show summation methods and ideas, thereby exploring the law of summation, lay the Foundation for the understanding and application of the summation.Keywords: summation, the function summation, common methods, special series 目 录中文摘要英文摘要1.数项级数求和1.1无穷级数求和的定义求和1.2 利用公式的四则运算求级数的和1.2.1等差级数求和1.2.2 首尾相加法1.2.3等比级数求和1.2.4 错位相减法1.2.5裂项相消法1.2.6 分和法1.2.7 方程式法1.3 利用原级数化为子序列法1.4利用幂级数理论求级数的和1.5三角型数项级数转化为复数系级数 1.6 构造法2. 函数项级数求和 2.1逐项求导求级数和 2.2逐项积分求级数和2.3将原级数分解转化为已知级数 2.4方程式法2.5积分型级数求和 2.6利用傅立叶级数求级数和2.7三角级数对应复数求级数和2.8利用三角公式化简级数 2.9针对2.7的延伸 2.10添加项处理系数2.11应用留数定理计算级数和 2.12利用函数求级数和3. 运用特殊级数的和求和法1. 数项级数求和1.1 无穷级数求和的定义求和根据无穷级数收敛定义：若级数的部分和有极限，即，则称级数收敛，S为级数的和。利用定义求级数的和即求级数部分和数列的极限.由于部分和随着n的增大，项数越来越多，除非能化为已知级数，人们只能设法把转化为紧缩形式，才以便于求极限。因此为了求的极限，必须设法把加以简化直至解出极限.但是如何加以简化并没有一般的方法，下面我们通过例题加以介绍.例1. 设，求级数的和.分析 要寻求之和，只要将其部分和用已知级数部分和与已知数列表示出来.解 : 因， 则， 于是.1.2 利用公式的四则运算求级数的和 利用一些常见数列的求和公式，诸如等差数列，等比数列等公式，结合其四则运算的运算性质求级数的和。.1.2.1等差级数求和 等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.，其中为首项，为公差证明： +得：因为等差级数所以此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2.21.2.2 首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.例2.求.解：，两式相加得：，即：.1.2.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当=1，；当1，其中为首项，为公比.证明：当=1，易得，当1， ， ，-得.可以导出一种方法“错位相减”见下1.2.41.2.4 错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和. 设为等差数列,公差为d,为等比数列,公比为q，则称为混合级数,这类级数的求和问题一般采用错位相减法.事实上,设 两边同时乘以公比q得 ,即 式 减去 式 得 我们这种求级数和的方法为错位相减法. 例3.求级数 的和. 解： -，得: 于是 ， 故 .1.2.5裂项相消法 对于常数项级数，若能将其一般项写成数列)的相邻两项之差 ，则 的部分和为 ， 若 ， 则 ，也就是说的和为. 我们称上述求级数和的方法为裂项相消法. 利用裂项相消法求级数的和,关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式,通常经过变形,有理化分子或分母,三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的.以下用具体例子来进行说明. 例4.求级数之和。解：由一般项，令，则由， ，于是得 =. 若级数的分母或分子为若干个整式的乘积，经过变形或有理化处理后，可直接进行裂像相消法。例5.求无穷级数 的和.解：因为 , 又因为,所以. 如果一个级数的通项是一个三角函数式,则可考虑利用三角函数公式,将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.例6.求级数的和. 解：先考虑变换问题的数学形式,由 再联想到正切的差角公式再设 则原级数的部分和为所以, 如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式,则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法.例7.求和=解:先对通项分母中的和式进行有理化,得 ， 于是有 所以 . 1.2.6 分和法 将数项级数的和进行重排，而后运用裂项相消法或错位相减法等上述方法进行求和，再将求出的和求出极限S即可。 例8. 求级数的和.解： 所以,故=. 1.2.7 方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例9. 计算.解 : 记 .两边同时乘以，得即，解此方程，便得 (当时).1.3 利用原级数化为子序列法我们知道，若与有相同极限S，则.因此对于级数，若通项 (当时)，则部分和的子序列收敛于S，意味着也收敛于S，从而.我们把与称为互补子序列.这个原理可推广到一般：若的通项(当时)，的子序列S （是某个正整数），则.我们把这种方法称为子序列法.例10.计算解： 此级数的通项趋近于零，所以只求的极限即可而，例11 . 计算.解 : 此级数的通项趋近于零，所以只求的极限，注意公式， 其中为Euler常数，（当时）.因此，对原级数， 故原级数和 .1.4利用幂级数理论求级数的和若收敛，则有=，将转化成，对求有两种常用方法：方法1：利用逐项微分法求和 方法论述： 数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.说明： ，方法的效果取决于是否容易求和，是否为的简化，若，为n的多项式并且含有因子n是、时效果更好.方法2：利用逐项积分法求和方法论述：将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.说明： (i)，当为多项式时，应分解为等式子的组合. （ii）由Abel第二定理：若幂级数的收敛半径，则幂级数在任意闭区间上都一致收敛.计算收敛的数项级数的和，只需求在内的和函数，令，取极限，则.例12. 求数项级数的和.解 构造幂级数，求得收敛半径.收敛区间是.设它的和函数是，即.由幂级数可逐项可导，有.，有.因为，所以.即.令，有例13. 计算解 由于而的收敛半径为1，且在收敛，令，在等式两端取极限，有 即.例14.求级数和.解：建立函数项级数s(x)=由函数敛散性知识可知其收敛域为，将函数项级数逐项求导可得：，由此可知满足微分方程，且易知，解此常微分方程得：，令则可以求出原级数和：. 例15.计算，其中.解：记 1.5三角型数项级数转为复数系级数 将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.利用复数的Euler公式和De Moiver公式.说明 ： 用于三角级数求和问题设为复数，令，是实数有 例16设，求.解：由于，令为复数，其中，其中，得：而另一方面=+取实部对应原级数和即得：即：当，且时. 1.6 构造法将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例17请计算下面的级数式子：记，其中.解：构造函数式子：,此函数在单调递减.由于，令，满足=0，.代入题目中的级数式子得：=.2.函数项级数求和方法函数项级数：其中每一项都定义在E上的一个函数，则称级数为函数项级数。而函数项级数求和是在确定的收敛域内刻画出一个新的函数。 2.1逐项求导求级数和 定理：若函数项级数在a，b上每一项都有连续的导函数，为的收敛点，且在a，b上一致收敛，则 。 具体方法： 根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。 说明： 泰勒定理：若函数在的某领域内存在阶的连续导数，则= ，这里是拉格朗日余项即.设在区间内等于它的泰勒级数的和的充要条件：对一切满足不等式 的，有，上式右边称为在处的泰勒展开式. 由泰勒展开式可知右边是个级数，而在求解级数时我们可以逆向来看，已知以级数和像求的方向行进，找准各阶对应的导数形式，并按泰勒级数的样子提炼出.但在实际应用中在处的级数应用较多，称为麦克劳林级数. 而由泰勒级数的定义可以将一些基本初等函数推导出来，再有基本初等函数推导复合函数的级数和形式，反过来即是求级数和.这也不失为一种求级数和的选择.这中方式在前面函数项级数求和的过程中已经有所运用，在此总结是为了形成一种较为普遍的方法.即使是级数逐项求导积分法也是基于此理论基础之上的.例18求解.解：由莱布尼茨定理可以判断此交错级数收敛，且收敛区间为-1,1,将级数逐项求导可得：(利用易知麦克劳林展式)再积分回去便得到级数和.2.2逐项积分求级数和定理：若函数项级数在a，b上一致收敛，且每一项都连续，则 。通过级数逐项积分收敛半径不变原理，对原级数逐项积分后化为一些已知的展开式求和，例19计算.解：记，对其逐项积分得：=，其中， 所以=.2.3将原级数分解转化为已知级数将原级数分解为已知的级数是一种基本的技巧，通过转化，将级数化简为我们所了解的知识来解决原复杂问题。这种步步分解，由难转易的方法在很多地方都是个很不错的想法，因此在解决级数和的问题时我们也引入这思想.我们已知在幂级数中已知的麦克劳林展式有好几个，我们要将这几个基本初等函数的展式牢记于心，还要学会利用拉格朗日展式的角度逆向思考级数求和的问题.我们简单的引入一个问题来说明这种方式，主要是引入这种思想.常见的麦克劳林展开式 ， , ， , .例20计算.解：记，利用的麦克劳林展式得：=.2.4方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解出函数项级数和.例21.计算函数项级数解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为， 逐项求导得即： 解此微分方程得：.2.5积分型级数求和积分型级数求和：如果要直接求和会带来困难，通常积分也很难算出结果，所以要转化，变形，可以化简积分式子。通过变量替换等积分技术化简积分式子，然后求此类型级数的和，所以如何处理积分因子是关键，我们可以通过下面的例题进行分析解决。例22计算级数.分析:由于积分式子的区间为，由于三角函数的最小正周期为2，从而可以作变换，带入积分式子中可以解答。 解：因为，作变量替换得：再根据：得： = =.所以原级数=. 2.6利用傅立叶级数求级数和通过构造法构造函数，然后用延拓的方式求此函数的傅立叶展式，再由收敛定理求解函数值即可求出原级数和，关键在于准确找出傅立叶函数.周期为2k的函数的傅里叶级数 设f（x)是以2k为周期的-k，k上按段光滑的函数，则对均有，其中 例23计算.解：构造傅立叶函数= ,其中作偶延拓得: = ,由此可知傅立叶系数为：，其中 ，（其中）.由狄利克雷收敛条件可知：，其中现在令得：，进而可得：.说明：有了以上结果数项级数的关于就可以套用公式了，下面例题就是直接利用了。例24计算，其中满足.解：任意（0，1），记=，由魏尔斯特拉斯定理，因为级数收敛，所以题目中级数在（0，1）上一致收敛.， ， 因为，所以带入上面式子可得级数和为. 2.7三角级数对应复数求级数和为了求三角级数互或的和，常把它们视为复数域内幂级数和的实部和虚部的系数例25.计算.解：由复数域上幂级数的麦克劳林展式可知：，及，由，对应实部得，其中，.2.8利用三角公式化简级数三角级数还可以利用三角公式化简三角级数，化简后的级数可能比原级数容易求解些，通常复杂级数求和都是要转化，转化为能求和的方向.例26计算.解：由三角函数的积化和差公式可知：原级数= ，其中未知数满足：.2.9针对2.7的延伸在此对2.8的延伸，并不是意味着2.8是个通用的级数和式子，只是看见了另外的一个题可以运用2.8，在此列出是为了表明在求级数和的过程中一些复杂级数可以由另外一些级数求和的，因此遇见复杂级数求和的时候要多注意平常积累的例子，想想平时有没有遇见类似的级数求和问题.例27计算.解：令，由2.8可知= 其中未知数满足，令，.有，由，当时，有，于是. 2.10添加项处理系数例28计算，其中.解：令，当时，=，其中，当:时，于是：.2.11应用留数定理计算级数和 定理：若函数满足以下两个条件：（1）在复平面具有孤立奇点，且这些孤立奇点不为整数及，除去上述奇点外在其它各处都解析；（2）.证明：研究围道积分又由函数满足留数定理的条件，则根据定理我们可以得到如下的等式： （1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，两边取极限得即：，所以，对（1）式取极限得到0=.所以.证明完毕.例29求级数（不为0）的和.解：令，当不为零时，满足定理的两个条件，那么.即：，当趋近于零时，将上式变形可得：容易证得等式左边的两个级数是收敛的.故上式两端取极限可得上述级数和,2.12利用函数求级数和定理1 ： 设为自然数，为实数，且，则.定理2 ：设为自然数，为非负整数，是实数，大于，有.定理3 ： 设为自然数，级数在0,1上一致收敛于函数 ,则.这三个定理的证明涉及函数，此处证明从略.只说明这三个定理应用于求解级数和的问题.分析这三个定理可以看它们用于解决一些自然数连续性相乘且置于分母的级数和.将级数和中某些数赋予给定理中的相应的、，再将按定理套用，可以将定理左边的级数化为右边的积分求解.运用定理的关键在于准确找出、，只要这项工作完成，那么剩下的就是积分的问题.例30：计算.解：对应上述三个定理，此级数根据定理1，将置为-1，置为3，为置1则可以将级数化为积分式子，求解具体过程从略.3.运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思想是: 将待求和的级数用一些已知级数来表示, 通过代入已知级数求得待求级数的和. 以下运用例子来说明该方法.例31. 求.解: 原式可以用级数表示如下.考虑级数, 其收敛半径为1, 故当时收敛, 设其和函数为, 下面在区间内求. 由于,所以 令, 即得.例32. (1)求级数的和;(2)求级数的和.解 : (1) 由于所以, 故.(2) 因为 ,所以, 从而.例33. 求下列级数的和:(1); (2).解: (1)由于, 令,得的和, 因此.(2)由于当时, 有 , 故令即得,于是有