初中数学的应用问题.ppt

初中数学的应用问题,主讲：刘小欢,数学应用问题是指运用数学知识解决生活、生产实际问题的一类数学题。实际数学应用问题主要有：（1）传统的经典性问题。如行程、工程问题、百分比浓度问题、调配问题、增长率问题等；（2）课改以来发展性问题。如与生活实际相关联的问题、与价格经济相关的问题、与几何计算、图形运动相关联的问题等。实际数学应用问题的题型也从封闭式发展为阅读理解题、探究题、开放性命题等多种形式，成为近年来普遍重视的一类数学题。无论是传统题还是新颖题，对初中数学学习来说，都必须学会审题设元、分析等量关系、列出方程或函数解析式、正确化简计算、检验答案的科学性，最后写出明确简洁的答案。,例1、客车和货车同时分别从甲、乙两城沿同一公路相向而行，相遇时货车比客车多行了120千米。客车再经过9小时到达乙城，货车再经过4小时到达甲城。求：（1）客车、货车的速度；（2）甲、乙两城间的路程。（要求：先用一种方法完整解答后，再用另一种不同的方法设出未知数，列出方程式或方程组）（1997年宁夏中考题）,分析：可以直接设客车、货车的时速分别为x（千米/时）和y（千米/时）。相遇后，客车行程为9x，货车行程为4y；相遇前，客车行程为4y，货车行程为9x，相遇前两车行驶时间相同，因此建立方程组。,解：设客车、货车的时速分别为x（千米/时）和y（千米/时），则经检验，它是方程组的解。9x+4y=600千米。答：客、货车的速度分别是40千米/时、60千米/时。甲、乙两城间路程为600千米。方法二：如果设甲乙两城间行程2x千米，则相遇时客车行了(x-60)千米，货车行了(x+60)千米，依题意可列方程：,例2为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划经过若干年开发“改造后可利用土地”360平方千米。实际施工中，每年比原计划多开发2平方千米，按此进度预计可提前6年完成开发任务，问实际每年可开发多少平方千米？（2002年福州市中考题）,分析：这是一道和课本例题相同的题，但是放在改革大发展的时代背景下叙述，更具有现实意义，解法常规。解：设实际每年可开发X平方千米。按题意，得：经检验X1=12和X2=-10都是原方程的解，但X2=-10不合题意舍去。答：实际每年可开发12平方千米。,例3社区艺术节需用红纸花3000朵，某班全体学生自愿承担这批红花的制作任务。在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加。这样，参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班平均每人要完成的数量多15朵。这个班级共有多少名同学？,分析：可以直接设元，利用实际每人做的数量比计划每人做的数量多15朵建立等量关系。,解：设这个班共有X名学生。按题意，得经检验它们都是分式方程的根，根据题意舍去负值。答：这个班级共有50名学生。,例4为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固。由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此加固工程所需天数比原计划缩短了2天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？（2004年上海市中考题）,分析：本题需要同学们静下心来读懂题意，搞清楚三个时间节点，原计划现在计划实际进度。找出中心句子“现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此加固工程所需天数比原计划缩短了2天”才能正确地布列方程。即便如此，要完整地解答题目还需要进一步地思考和运算。,例4为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固。由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此加固工程所需天数比原计划缩短了2天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？,解：设现在计划每天加固x米，根据题意，得,实际要求每天加固224米，所以再增加224-160=64（米）。,答：在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加64米。,例5一桶中装满浓度是20%的盐水40千克，若倒出一部分盐水后，再加入一部分水，倒入水的重量是倒出盐水重量的一半，此时盐水浓度是15%，求倒出盐水多少千克？,分析：可以用倒出盐水后剩下盐水的含盐量与加水后盐水含盐量相等来做等量关系：加水前之盐=加水后之盐。,浓度问题中的基本数量关系为：溶质（盐）=溶液（盐水）*浓度，溶液（盐水）=溶剂（水）+溶质（盐）。,解：设倒出x千克盐水，则(40-x)*20%=(40-x+0.5x)*15%,解得x=16。答：倒出盐水16千克。,例6某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件收入600万元，占全年经营收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？（2001年上海市中考题）,分析：2000年总收入为600/0.4=1500（万元），每年递增率为x，则有1500（1+x）2=2160，注意本题要求的是2001年总收入。,解：2000年总收入为600/0.4=1500（万元）。设年增长率为x，则1500（1+x）2=2160(1+x)2=1.44,x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)2001年总收入为1500（1+x）=1500*1.2=1800（万元）。答：2001年预计经营总收入为1800万元。,例7（1）据2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达365万平方千米，其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方千米。问水蚀和风蚀造成的水土流失面积各多少万平方千米？（2）某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失面积400平方千米，该省逐年加大治理力度，计划今明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324平方千米。求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数。（2002年北京市西城区中考题）,解：（1）设水蚀造成水土流失面积为x平方千米，则风蚀造成的水土流失面积为（x+26）平方千米。按题意，得x+(x+26)=365,x=165,x+26=191.(2)设该省今明两年治理每年增长的百分数为y，则可布列方程：400+400(1+y)+400(1+y)2=1324,100y2+300y-31=0.(10y+31)(10y-1)=0,y1=-3.1(舍去),y2=0.1=10%.答：（1）风蚀191平方千米，水蚀165平方千米；（2）平均每年增长10%。,例8小王在超市买某种品牌的牛奶若干盒，付款24元；过了一段时间再去该超市，发现这种牛奶让利销售，每盒让利0.4元，他同样用24元钱比上次多买2盒，求他第一次买了多少盒这种牛奶？,分析：这是一道常见题型，但我们可以有多种解法。可以直接设元，也可间接设元。,解法一：设他第一次买了x盒，由题意可列出方程：,答：他第一次买了10盒。,解法二：设他第二次买了x盒，由题意可列出方程：,解法三：设他第一次买的牛奶每盒x元，由题意可列出方程：,解法四：设他第二次买的牛奶每盒x元，由题意可列出方程：,例9红星中学某班前年暑假将勤工俭学挣得的2000元按一年定期存入银行。去年暑假到期后取出1000元寄往灾区，将剩下的1000元和利息继续按一年定期存入银行，待今年毕业后全部捐给母校。若今年到期后取得本息和1155元。问银行一年定期存款的年利率是多少？,分析：这是利率问题，我们注意到一年到期后取出了1000元。,解：设银行一年定期存款的年利率是x,由题意列出方程：,答：银行一年定期存款的年利率是5%。,例101个盒身和2个盒底盖能做1个盒子。如果一张白卡纸能做2个盒身，或者做3个盒底盖，现有28张白卡纸，共可以做几个盒子？其中几张白卡纸做盒身，几张白卡纸做盒底盖？,分析：这是配套问题。关键在于抓住题目中的第一句话“1个盒身和2个盒底盖能做1个盒子”由此得出盒身与盒底盖之比为1：2。,解：设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。由题意得：,所以可做24个盒身，48个盒底盖。按照1：2的比例可以做24个盒子。,答：共可以做24个盒子；其中用12张白卡纸做盒身，用16张白卡纸做盒底盖。,例1：在一个电阻的两端测得电压是6伏，如果给这个电阻串联一个8欧姆的电阻，总电压仍保持6伏，那么流过这个电阻的电流将减小0.2安培，求这个电阻的值。,分析：由欧姆定律I=U/R可知，电流表的读数I1=6/R，I2=6/（R+8），由题意就可列出方程：,解：设这个未知电阻的值为R，那么由题意可列出方程：,解这个方程，30（R+8）-30R=R（R+8）化简得，R2+8R-240=0，（R-12）（R+20）=0R1=12，R2=-20（不合题意，舍去）答：这个未知电阻的值为12欧姆。,例2：有一种用特殊材料制成的质量为30克的“泥块”，现把它切开为大、小两块，将较大“泥块”放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小“泥块”放在该天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑该天平的臂长不等，其它因素忽略不计，请你依据杠杆的平衡原理，求出较大“泥块”和较小“泥块”的质量。,分析：由杠杆原理F1l1=F2l2可知这架不等臂天平的两臂长分别可看作是杠杆中的动力臂和阻力臂，因此我们可设左臂长为l1，右臂长为l2，它们可看作是本题的辅助元，再设大泥块的质量为x克，小泥块的质量为y克。由题意可列出方程：x+y=30(1)xl1=27l2(2)8l1=yl2(3)(2)/(3)得：,l1,l2,l1,l2,x,y,x,解：设天平左臂长为l1，右臂长为l2；再设大泥块的质量为x克，小泥块的质量为y克。由题意可列出方程：x+y=30(1)xl1=27l2(2)8l1=yl2(3)(2)/(3)并化简得：xy=8*27(4)把方程（1）和（4）联立起来，解这个方程组得：x=18，y=12。答：大泥块的质量为18克，小泥块的质量为12克。,l1,l2,l1,l2,x,y,例3某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，请你研究一个商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为使销售获利最多，你选择哪种进货方案？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。（2001年黑龙江省中考题）,分析：这是一道开放性命题，与传统应用题相比有着更大的灵活性及更实际的实用背景。这类问题近年来较受关注。关键在于读题审题。,例3某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，请你研究一个商场的进货方案；,解：（1）1设购甲种电视机x台，乙种电视机y台，则2设购甲种电视机x台，丙种电视机z台，则3设购乙种电视机y台，丙种电视机z台，则所以可以设计为购甲、乙各25台或甲35台，丙15台。,分析：这是一个分类讨论的问题，所以我们分三种情况讨论。,（2）方案1获利150*25+200*25=8750（元）；方案2获利150*35+250*15=9000（元）。所以选方案2获利最多。,（3）如果同时购进3种不同型号的电视机，则,消去z,解这个方程组，得x=35-2/5y,注意到它们都是正整数，所以有以下四组解：,例4、某书店去批发市场购买某种图书，第一次购书用去100元，按该书定价2.8元出售并售完。第二次购书时，每本批发价比第一次高0.5元。用去了150元，所购书数量比第一次多10本。当这批书售出4/5时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书。问该书店第二次售书是赔钱了，还是赚钱了？赔或赚了多少？（2002年辽宁省中考题）,分析：仔细揣摩题目你会发现“第二次购书时，每本批发价比第一次高0.5元。用去了150元，所购书数量比第一次多10本。”这句话才是问题的核心，是布列方程的依据，因此我们可设第一次的批发价为x元/本，根据题意列出方程。本题的难点在于不是直接设元，需要同学们细细思考；而且需要同学们具备一定的市场经济知识。比如：批发价要低于定价等。,先分析这个中心句子“第二次购书时，每本批发价比第一次高0.5元。用去了150元，所购书数量比第一次多10本”。,解：设第一次购书的批发价为x元/本,则有,当x=2.5时，第二次购书的批发价为2.5+0.5=3元，超过了该书的定价2.8元不符合实际情况，应该舍去；当x=2时，第二次购书的批发价为2.5元，符合题意。,第二次购书：150/2.5=60（本），全部售完后收回：60*4/5*2.8+60*1/5*1.4=151.2（元），所以赚了151.2-150=1.2元。,例5、甲、乙两只渡轮分别从A、B两码头相向而行，第一次在距A码头700米处相遇；继续航行，甲轮到达B码头、乙轮到达A码头后分别立即返航，它们在距B码头400米处再次相遇。求两码头之间的距离。,演示,分析：由“两次相遇时间均相等”可以列出方程。我们把它们的速度设为辅助元。,解：设两码头之间的距离为s米,由题意，得,例6某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程，如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天。（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数；（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元。在规定时间内，A）请甲工程队单独完成此项工程；B）请乙工程队单独完成此项工程；C）请甲、乙两工程队合作完成此项工程。以上三种方案哪一种花钱最少？（2003年桂林市考题）,分析：本题的关键在于求解出第一小题，它是工程问题。因此我们可设甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别为x天、(x+10)天，由题意可列出方程：,解:(1)设甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别为x天、(x+10)天，由题意可列出方程：,答：甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别为20天、30天。,（2）按题意，如果A）由甲工程队单独完成，则需支付20*2000=40000元；B）由乙工程队单独完成，则需支付30*1400=42000元；C）由甲、乙工程队合作，则需支付12*（2000+1400）=40800元。,比较三种方案，容易得到结论：由甲工程队单独完成花钱最少。,例7某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将亏损25元，而按定价的九折出售将获利20元，问这种商品的定价是多少元？,分析：我们必须知道这样的事实，无论是亏损还是获利都是指实际售出价与进价（即成本）的差价。因此本题以进价（成本）为等量关系建立方程。,解：设这种商品的定价是x元，于是有：0.75x+25=0.9x-20,解得x=300.,我们还可以这样验算：300*0.75=225，因此进价为225+25=250，300*0.9=270，因此进价也为270-20=250，符合题意。,答：这种商品的定价是300元。,例8某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门，两道侧门。安全检查中，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生互相拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生。问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。,分析：仔细读题后你会发现“当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生”这是破解本题的题眼所在，也是解决第一小题的关键。,（1）解：设平均每分钟一道正门和一道侧门各通过x、y名学生,（2）实际拥挤状况下出门的效率将降低20%，意思是,所以，5分钟可以撤离5（96*2+64*2）=1600（人），而该校学生总数不超过4*8*45=1440（人）。因为1440小于1600，显然符合安全规定。,例9已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米。现计划用这两种布料生产M、N西装型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N型号的时装x套，用这批布料生产这两种型号的时装所获得的总利润为y元。（1）求y（元）与x（套）的函数解析式，并求自变量x的取值范围；（2）在生产这批时装当中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？（2000年湖北黄冈市中考题）,分析：因为布料是有限的，所以求自变量x的取值范围是本题的关键。仔细审题可以发现通过布列一元一次不等式组来解决它；容易得到y=45(80-x)+50 x=5x+3600,它是一次函数，k=5大于0，由一次函数的性质可知：y随着x的增大而增大，由上面的定义域就可以