高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第22练 基本量-破解等差、等比数列的法宝课件 理.ppt

专题5 数 列,第22练 基本量破解等差、等比数列的法宝,题型分析高考展望,等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.,常考题型精析,高考题型精练,题型一 等差、等比数列的基本运算,题型二 等差数列、等比数列的性质及应用,题型三 等差、等比数列的综合应用,常考题型精析,题型一 等差、等比数列的基本运算,例1 已知等差数列an的前5项和为105，且a102a5. (1)求数列an的通项公式； 解 设数列an的公差为d，前n项和为Tn， 由T5105，a102a5，,解得a17，d7. 因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*).,(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm. 解 对mN*，若an7n72m，则n72m1. 因此bm72m1. 所以数列bm是首项为7，公比为49的等比数列，,点评 等差(比)数列基本运算的关注点 (1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素. (2)解题思路：设基本量a1和公差d(公比q)； 列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量.,变式训练1 (1)(2014安徽)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_. 解析 设等差数列的公差为d，则a3a12d， a5a14d， (a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，,1,(2)(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于( ) A.21 B.42 C.63 D.84 解析 设等比数列an的公比为q， 则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21， 解得q23(舍去)或q22， 于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.,B,题型二 等差数列、等比数列的性质及应用,例2 (1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_. 解析 因为an是等差数列， 所以a3a7a4a6a2a82a5， a3a4a5a6a75a525， 即a55，a2a82a510.,10,(2)设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40等于( ) A.150 B.200 C.150或200 D.400或50 解析 依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列， 因此有(S20S10)2S10(S30S20)，,即(S2010)210(70S20)， 故S2020或S2030. 又S200， 因此S2030，S20S1020，S30S2040，,答案 A,点评 等差(比)数列的性质盘点,变式训练2 (1)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是_.,a1a2010. a1a20a7a14，a7a1410.,当且仅当a7a14时取等号. 故a7a14的最大值为25. 答案 25,(2)在等差数列an中，a12 016，其前n项和为Sn，若 2，则S2 016的值为_.,所以S2 0162 016.,2 016,题型三 等差、等比数列的综合应用,例3 (2015陕西)设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nN，n2. (1)证明：函数Fn(x)fn(x)2在 内有且仅有一个零点(记为xn)，且 证明 Fn(x)fn(x)21xx2xn2， 则Fn(1)n10，,又Fn(x)12xnxn10(x0)，,因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)0，,(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)与gn(x)的大小，并加以证明.,设h(x)fn(x)gn(x),当x1时，fn(x)gn(x)；,所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减， 所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)， 综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)； 当x1时，fn(x)gn(x). 方法二 由已知，记等差数列为ak，等比数列为bk，k1,2，n1， 则a1b11，an1bn1xn，,bkxk1(2kn)，,当x1时，akbk，所以fn(x)gn(x)，,(k1)xk2(xxk11)， 而2kn，所以k10，nk11， 若0x1，xxk11，mk(x)0； 若x1，xxk11，mk(x)0， 从而mk(x)在(0,1)上递减，在(1，)上递增， 所以mk(x)mk(1)0， 所以当x0且x1时，akbk(2kn)，,又a1b1，an1bn1， 故fn(x)gn(x)， 综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)； 当x1时，fn(x)gn(x).,点评 (1)对数列an，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定an、Sn. (2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法.,变式训练3 (2015北京)已知等差数列an满足a1a210，a4a32. (1)求an的通项公式； 解 设等差数列an的公差为d. 因为a4a32，所以d2. 又因为a1a210，所以2a1d10，故a14. 所以an42(n1)2n2(n1,2，).,(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？ 解 设等比数列bn的公比为q. 因为b2a38，b3a716， 所以q2，b14. 所以b64261128. 由1282n2，得n63， 所以b6与数列an的第63项相等.,高考题型精练,1.(2014重庆)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是( ) A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 设等比数列的公比为q，,答案 D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(2014天津)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于( ),D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为( ) A.110 B.90 C.90 D.110 解析 a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116， 又a7是a3与a9的等比中项，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(a112)2(a14)(a116)，解得a120.,答案 D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(2014大纲全国)等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析 数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8 lg(a1a2a8)lg(a1a8)4 lg(a4a5)4lg(25)44.,C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 设等差数列an的公差为d，若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错； 若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错；,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错. 答案 C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A.2 B.3 C.4 D.5,解析 由等差数列的前n项和及等差中项，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,即正整数n的个数是5. 答案 D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1 (n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53， 23,19,37,82中，则6q_. 解析 由题意知，数列bn有连续四项在集合53， 23，19,37,82中， 说明an有连续四项在集合54，24，18,36,81中，由于an中连续四项至少有一项为负，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,q1， an的连续四项为24,36，54，81，,6q9.,答案 9,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100， a80. a7a10a8a90， a9a80. 数列的前8项和最大，即n8.,8,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.(2015浙江)已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_. 解析 因为a2，a3，a7成等比数列， 所以a a2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2a1a21， 2a1a1d1即3a1d1，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.公差不为0的等差数列an的部分项ak1，ak2，ak3，构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_. 解析 根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列， 设等差数列的公差为d， 则有(a1d)2a1(a15d)， 解得d3a1， 故a24a1，a616a1 a1(n1)(3a1)64a1，解 得n22，即k422.,22,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由an(1an1)an1得 an(1an1)(19an2)(1a1)a10.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以Sna1an1， ,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1