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应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,第1节微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西定理,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,一、罗尔定理,（iii）f(a)=f(b).,若函数f(x)满足下列条件：,（i）在闭区间a,b上连续；,（ii）在开区间(a,b)内可导；,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,罗尔定理的几何意义:,如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平等于轴的切线.,值得注意的是，该定理要求函数y=f(x)应同时满足三个条件.若定理的三个条件不完全满足的话，则定理的结论可能成立，也可能不成立.(如图3-2),应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,区间内有不可导的点,两端点的函数值不相等,区间内有不连续的点,图3-2,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,并指出它们所在的区间。,分别在区间(1,1),(1,2),(2,3)内。,证：,显然,f(x)分别在闭区间1,1,1,2,2,3上连续，,例1设函数f(x)=(x+1)(x1)(x2)(x3)，,证明方程f(x)=0有三个实根，,且f(1)=f(1)=f(2)=f(3),.由罗尔定理，,在(1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点1,2,3，,使得f(1)=f(2)=f(3)=0,即方程f(x)=0有三个实根，,在开区间(1,1),(1,2),(2,3)内可导，,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,二、拉格朗日中值定理,若函数f(x)满足下列条件：,（i）在闭区间a,b上连续；,则至少存在一点(a,b)，使,（ii）在开区间(a,b)内可导，,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,拉格朗日定理的几何意义：,曲线y=f(x)在该点的切线斜率与弦AB的斜率相等.（如图3-3）,如函数f(x)在闭区间a,b上连续，,在开区间(a,b)内可导，,则在(a,b)内至少有一点，,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,设函数f(x)在开区间(a,b)上可导，且f(x)0，,则f(x)在I上为常数。,设在区间I上，,推论1,推论2,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,例2证明：,且,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,所以，,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,（i）在闭区间a,b上连续；,则至少存在一点(a,b)，使,（ii）在开区间(a,b)内可导，,三、柯西定理,若函数f(x)及F(x)满足:,且f(x)在(a,b)内恒不为零,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,例3对函数
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